GLI INSIEMI Presentazione a cura della Prof.ssa anNUNZIAta DI BIASE

Concetto d’insieme Rappresentazione degli insiemi Insiemi uguali, diversi, disgiunti, finiti ed infiniti Insieme vuoto, unitario e coppia Sottoinsiemi ed insieme delle parti Operazioni con gli insiemi Prova di verifica

Concetto d’insieme La parola insieme è sinonimo di aggregato, collezione, raccolta…di oggetti. Il concetto matematico di insieme è un concetto primitivo ossia non definibile. Costituisce un insieme, dal punto di vista matematico, ogni raggruppamento di oggetti, persone, simboli, numeri o cose (che vengono detti elementi) aventi una proprietà caratteristica comune. In un insieme non ha importanza né la natura degli elementi, né che essi siano dello stesso tipo e né l’ordine in cui essi sono disposti, ma quello che conta è che dato un insieme, si possa con “assoluta precisione” dire se un dato oggetto appartiene, oppure no, ad esso e che i suoi elementi siano tutti distinti tra loro. Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B, C,…gli elementi con le lettere minuscole dello stesso alfabeto: a, b, c,…

i ragazzi simpatici della tua classe; le città più belle d’Italia; Non sono insiemi i raggruppamenti individuati dalle seguenti proposizioni: i ragazzi simpatici della tua classe; le città più belle d’Italia; i fiumi più lunghi d’Europa; perché i concetti di: bellezza, bruttezza, bontà, ecc. sono concetti soggettivi e possono dare adito ad equivoci o incertezze. Sono insiemi invece i raggruppamenti individuati dalle seguenti frasi: le città della Campania con più di 10000 abitanti; i rettangoli che hanno la base lunga 25 cm; il computer in figura, i cui elementi sono:

Unità centrale di elaborazione Elementi monitor mouse cd-rom

RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI Gli insiemi si possono indicare nei seguenti modi: tabulare (o per elencazione), caratteristica, diagramma di Eulero-Venn. Forma Tabulare: all’interno di una coppia di parentesi graffe, si elencano TUTTI gli elementi che appartengono all’insieme, separandoli con una virgola. Es: l’insieme delle note musicali A = do, re, mi, fa, sol, la, si. Es: l’insieme delle lettere della parola mamma; B = m, a.

Forma Caratteristica: all’’interno di una coppia di parentesi graffe, si scrive l’elemento generico dell’insieme e la proprietà caratteristica che li accomuna. A = x / x è una nota musicale; B = x / x è una lettera della parola mamma. Rappresentazione Eulero-Venn: Un insieme può anche essere rappresentato in modo grafico, racchiudendo i suoi elementi all’interno di una linea chiusa non intrecciata. Gli elementi dell’insieme vengono evidenziati con punti interni alla linea, gli elementi che non appartengono all’insieme con punti esterni. A B do re mi fa sol la si m a

Insiemi uguali, diversi,disgiunti, finiti ed infiniti Due insiemi si dicono: uguali quando sono formati dagli stessi elementi; es: A = m, a; B = a, m e si scrive A = B , diversi quando non tutti gli elementi sono uguali; es: A = m, a; B = m, b; A = B, disgiunti quando nessun elemento di A appartiene a B; es: A = m, a; B = c, d. Un insieme si dice: finito quando si possono elencare tutti gli elementi; es: l’insieme dei fogli di un quaderno, infinito in caso contrario; es: gli insiemi numerici: N, Q a, R a, Z, Q, R.

Insieme vuoto, unitario e coppia Un insieme si dice VUOTO quando non contiene elementi e si indica con il simbolo:  oppure  . Es: l’insieme dei numeri pari che hanno 5 come ultima cifra; A =  Un insieme si dice UNITARIO quando contiene solo un elemento. Es: l’insieme dei numeri interi pari compresi tra 3 e 5; A = 4. Si chiama COPPIA un insieme formato da due elementi distinti. Es: l’insieme formato dalle lettere della parola mamma; A = m, a. Es: l’insieme formato dai due sportivi in figura.  

SOTTOINSIEMI Dati due insiemi A = 2, 4, 6, 8, 10 e B = 4, 8 , si dice che B è un sottoinsieme di A se TUTTI gli elementi di B appartengono anche ad A. Si dice anche che B è incluso in A. Se invece B = 4, 9 si dice che B non è sottoinsieme di A, perché non tutti i suoi elementi appartengono ad A, infatti 4 appartiene ad A, ma 9 no. Si dice anche che B non è incluso in A. A A B B B incluso in A B non incluso in A L’insieme vuoto può essere considerato sottoinsieme di qualunque altro insieme. Ogni insieme A ha almeno due sottoinsiemi: l’insieme A stesso e l’insieme vuoto; tali insiemi si dicono sottoinsiemi impropri di A. Qualunque altro sottoinsieme che non sia improprio si dice proprio. 6 8 2 10 10 2 9 4 8

Insieme delle parti Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti, e si indica con P (A), l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di A. Il numero degli elementi dell’insieme delle parti di A, dipende dal numero degli elementi di A. Se A ha n elementi, P (A) ne ha 2n . Sia A = . Poiché A non contiene elementi, l’unico suo sottoinsieme è l’insieme vuoto stesso, infatti 20 = 1 e P (A) = . Sia A l’insieme delle consonanti della parola “mamma”; poiché A = m, i soli sottoinsiemi che si possono formare sono i due insiemi impropri  e A stesso, infatti 21 = 2 e P (A) = , A. Sia A l’insieme delle lettere della parola “mamma”; poiché A = m, a i sottoinsiemi che si possono formare sono quattro: due impropri e due propri, infatti 22 = 4, e P (A) = , A, m,  a .

Sia A l’insieme dei numeri interi pari compresi tra uno e sette; poiché A = 2, 4, 6 i sottoinsiemi che si possono formare sono otto: due impropri e sei propri, infatti: 23 = 8 e P (A) = , A,  2 , 4 ,  6 ,  2, 4 ,  2, 6 ,  4, 6 . P (A) E così via. 4 A 6 2 4 6

Operazioni fra insiemi Le OPERAZIONI tra due o più insiemi sono: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, prodotto cartesiano. Dati due insiemi A = 2, 3, 4e B = 3, 5, si dice loro unione l’insieme D i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è l’unione di A e B si scrive: D = AUB = 2, 3, 4, 5. L’unione gode della proprietà commutativa, perché invertendo l’ordine degli insiemi il risultato non cambia. A B D 3 5 2 3 4 2 3 4 5

Dati due A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice loro intersezione l’insieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C è l’intersezione di A e B si scrive: C = A n B = 3. Se i due insiemi sono disgiunti l’intersezione è uguale al vuoto. L’intersezione gode della proprietà commutativa. A C B 3 5 2 4

Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice insieme differenza l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B e si scrive A – B = 2, 4; invertendo gli insiemi si ottiene B – A = 5, da ciò si può dedurre che la differenza NON gode della proprietà commutativa, perché i risultati ottenuti sono diversi. A B C = A – B D = B – A 2 4 3 5

Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice differenza simmetrica l’insieme degli elementi di A e di B esclusi gli elementi comuni e si scrive: A B = 2, 4, 5. La differenza simmetrica gode della proprietà commutativa. A A B B 2 3 4 4 5 3 5

Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A x B l’insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene all’insieme A e il secondo all’insieme B. Es: se A = 2, 3, 4 e B = 3, 4 allora A x B = (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4), (4; 3), (4; 4); B x A = (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 2), (4; 3), (4; 4). Esso NON gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano può essere rappresentato nei seguenti modi: diagramma cartesiano diagramma a frecce tabella a doppia entrata diagramma ad albero

diagramma cartesiano A x B     B 4 ( 2 ; 4 ) ( 3 ; 4 ) ( 4 ; 4 ) 3 ( 2 ; 3 ) ( 3 ; 3 ) (4 ; 3 ) 2 3 4 A

diagramma sagittale ( o a frecce ) A x B   2 3 4 3 4

tabella a doppia entrata A x B 2 ( 2; 3) ( 2; 4) 3 ( 3; 3) (3; 4) 4 (4; 3) (4; 4)

diagramma ad albero A x B ( 2; 3) 2 (2; 4) (3; 3) 3 (3; 4) (4; 3) 4 (4; 4)

PROVA DI VERIFICA Ora prova tu: prendi penna e foglio e risolvi i seguenti esercizi. Riconosci quale delle seguenti frasi individuano un insieme e rappresentalo nel modo che ritieni più opportuno: il lago più piccolo d’Italia; i triangoli; i punti cardinali; i libri di avventure più avvincenti; i libri della biblioteca; i tuoi amici più cari; i poligoni che si disegnano più facilmente; i mesi dell’anno.

Utilizzando le frecce associa i seguenti simboli alle loro descrizioni: intersezione C diff. simmetrica U n inclusione unione

E’ dato il diagramma di Venn rappresentato in figura. Di’ quali delle seguenti affermazioni sono vere (V) e quali false (F): V F V F B è sottoinsieme di A A e D sono disgiunti D è sottoinsieme di A B e D sono disgiunti C è sottoinsieme di B B e C sono disgiunti B C

Osserva le seguenti figure e per ognuna determina gli insiemi: A; B; A U B; A n B; A – B; B – A; A B; fig.1 E fig.2 F 5 A B 6 5 B 6 4 A 3 3 4 1 2 1 2

V F A u B = B u A A – B = B – A A n B = B n A A B = B A A x B = B x A Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere (V) e quali false (F): V F A u B = B u A A – B = B – A A n B = B n A A B = B A A x B = B x A

La presentazione è terminata.