BRACHISTOCRONA COS’È? La curva, una semiellisse perfetta che si forma sul collo delle rane quando gracidano La traiettoria ottimale per una pista da sci, in modo che lo sciatore la possa percorrere nel tempo minimo La curvatura da dare allo scafo di una barca a vela, in rapporto all’albero, in modo da evitarne il rovesciamento, studiata dal matematico del 1800 Georgiu Brachistocronos

BRACHISTOCRONA 1696 JOHANN BERNOULLI: Determinare lineam curvam data duo puncta in diversis ab horizonte distantiis & non in eadem recta verticali posita connectentem, super qua mobile propria gravitate decurrens & a superiori puncto moveri incipiens citissime descendat ad punctum inferius.

BRACHISTOCRONA Il nostro scopo è stabilire quale sia la curva che unisce 2 punti posti ad altezze differenti nel più breve tempo possibile.

retta Secondo il principio di Erone, qualora la velocità sia costante, il percorso più breve per unire A e B toccando la retta r è la spezzata APB tale che gli angoli i e r siano uguali. P i = r RIFLESSIONE Infatti la luce, quando si riflette su uno specchio, segue proprio questo cammino.

Analizziamo il caso in cui la velocità non è costante Cosa succede in questo caso? BAGNINO Un bagnino, che si trova sulla spiaggia vede un bagnante in difficoltà nel mare. Qual è il percorso che permette al bagnino di raggiungerlo nel più breve tempo possibile? V1 V2 V1 > V2

RIFRAZIONE La luce, nel caso in cui la velocità non sia costante, non segue più il principio di Erone, ma quello di Fermat, verificato dalla legge di Snell-Descartes. LEGGE DI SNELL: sen i sen r = V1 V2 V1 > V2 PRINCIPIO DI FERMAT: La luce percorre cammini di tempo minimo, e quindi spazi maggiori nella parte di piano in cui la velocità è maggiore. i ≠ r

La velocità è proporzionale alla radice della quota Il problema è trovare la curva che minimizzi il tempo di percorrenza da A a B La velocità è proporzionale alla radice della quota

Il problema è trovare la curva che minimizzi il tempo di percorrenza da A a B  ∆t 

Per la legge del bagnino, quando la velocità è minima, si devono percorrere spazi il più breve possibili, quindi, se la velocità è nulla, devo partire in verticale. Soluzione con segmento T (s) = 2 / √g Soluzione con circonferenza T (c)  2,6 / √2g  1,84 / √g Il segmento non è quindi la soluzione al problema, si dovrà usare una curva.

γ (θ) = r ( θ – senθ ; 1 – cos θ ) La cicloide è la curva descritta da un punto fissato su di una circonferenza in rotazione Equazione parametrica della cicloide: γ (θ) = r ( θ – senθ ; 1 – cos θ ) γ ’ (θ) = r ( 1 – cosθ ; sen θ ) 0 ≤ θ ≤ 2π

Condizioni indispensabili alla curva Brachistocrona Rapporto costante sen α = cost √yc Partenza verticale

Proviamo con la circonferenza yc = r sen α √yc sen α = √yc r Essendo r costante, il rapporto non può esserlo, perché y varia sulla circonferenza

Proviamo con la curva più astrusa che ci viene in mente, la cicloide sen α = w ● t t = 1/√2 (√1 - cos θ ; sen θ / √1 - cos θ) sen α = √1 - cos θ /√2 ossia la componente orizzontale del versore t

Il rapporto è quindi costante per tutti i punti della curva La y è la componente verticale dell’equazione della cicloide: y = r ( 1 – cos θ) sen α √1 - cos θ/√2 1 = = √yc √r √1 – cos θ √2 √r Il rapporto è quindi costante per tutti i punti della curva

La cicloide è la soluzione al problema della brachistocrona !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Progetto e realizzazione a cura di: Abram Marco De Martin Polo Daniele Gambarotto Andrea Gozzi Martin Pellin Marco Walzl Alice Si ringrazia per la collaborazione: Prof. Tamanini Italo Prof. Gottardi Diego