EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 1 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Allievo

Prima che tu inizi a svolgere gli esercizi è bene che legga con molta attenzione le poche pagine di teoria, schematizzate in modo da rendere meno pesante la lettura. Ricorda che questo non sostituisce il libro di testo di cui devi fare sempre un buon uso. Prendi appunti cerca di costruire mappe concettuali e se non hai chiaro qualche concetto chiedi aiuto all’insegnante. Buon Lavoro

Molto spesso la risoluzione di problemi tratti dalla fisica, chimica, economia, elettronica ecc.inducono a risolvere equazioni non lineari. Le più semplici sono quelle di secondo grado o equazioni quadratiche. Ricordiamo che il grado di una equazione ridotta in forma normale è il massimo esponente della variabile. ax +bx+c=0 2 a,b,c vengono chiamati coefficienti dell’equazione. Il coefficiente a deve essere diverso da zero altrimenti l’equazione diventa un’equazione di primo grado. Il coefficiente c è detto termine noto

EQUAZIONE PURA (b=0) SPURIA (c=0) MONOMIA(b=c=0) Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente b=0 Allora l’equazione si presenta nella forma ax2 + c=0 per risolverla si procede così: ax2 = - c x2 = - c a x1=-c/a; x2=--c/a ma sappiamo che sotto radice ci può essere solo un numero positivo allora a e c devono avere segni diversi. Se b=c=0 allora l’equazione si riduce alla semplice forma : ax2 =0 le cui soluzioni che sono sempre due (anche se coincidenti) sono : x1=x2=0 Se c=0 l’equazione diventa ax2 + bx=0 Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma si scrive: x(ax+b)=0 e utilizzando la legge di annullamento del prodotto si ha: x=0 e ax+b=0 allora le soluzioni sono x=0; x=-b/a (eq. Primo grado)

Risoluzione di una equazione di secondo grado ax +bx+c=0 2 Per risolvere una equazione di 2° si applica la formula risolutiva: x = -b + 2a 1,2 Il simbolo sotto radice prende il nome di DELTA o DISCRIMINANTE e il suo valore è dato dall’espressione = b - 4 a c 2

>0 Positivo due radici reali e distinte Dato che il discriminante è un numero sotto posto il segno di radice dobbiamo distinguere tre casi cioè quando è maggiore di zero, minore di zero o uguale a zero >0 Positivo due radici reali e distinte = b - 4 a c 2 =0 Nullo, due soluzioni reali e coincidenti x=-b/a <0 Negativo due radici complesse coniugate

In pratica per risolvere un’equazione completa di secondo grado applicando la formula risolutiva conviene procedere seguendo i seguenti passi: 1° passo: Se l’equazione non è nella forma ax2+bx+c= 0 occorre riportarla a tale forma utilizzando la proprietà delle uguaglianze e delle operazioni 2° passo: Per evitare inutili complicazioni di calcolo bisogna fare in modo che il coefficiente di x2 sia positivo: se non lo è basta moltiplicare ambo i membri per -1 3° passo: Si controllano i coefficienti a,b,c per vedere se sono multipli di uno stesso numero. Se lo sono si provvede ad eseguire le opportune semplificazioni 4° passo: Si calcola il discriminante (DELTA) dell’equazione e se ne controlla il segno: se esso è positivo l’equazione ha due soluzioni reali e distinte, se è uguale a zero le soluzioni sono reali e coincidenti, se è negativo l’equazione ammette soluzioni complesse.

Esercizi guidati 5x2-6x+1=0 è già nella forma normale e nessuna semplificazione è possibile fra i coefficienti che sono a=5; b=-6; c=1 Calcoliamo il discriminante: b2 - 4ac= (-6)2-4(5)(1)= 36-20= 16 16 >0 due soluzioni reali e distinte date da x1,2= -b+D x1= 6 + 16 =6+4 = 1 x2= 6 - 16= 6-4 = 2 = 1 2a 10 10 10 10 10 5 -8x2+24x-18=0 a=-8; b=24; c=-18 Essendo a=-8 negativo moltiplichiamo ambo i membri per -1: 8x2-24x+18=0 quindi dividiamo ambo i membri per 2: 4x2-12x+9=0 a=4; b=-12; c=9 Calcoliamo il discriminante: b2 - 4ac= (-12)2-4(4)(9)= 144-144= 0 Delta è zero le due soluzioni sono reali e coincidenti date da x1=x2= - b = - 12=- 3 2a 8 2

ESERCIZI

Una equazione di secondo grado si dice completa quando……….. Test 1 AIUTO 10 Una equazione di secondo grado si dice completa quando……….. a,b,c sono uguali a zero b e c sono diversi da zero C=0 a=0

Test 2 AIUTO 11 Quali soluzioni ammette una equazione di secondo grado che sia monomia? -b/a 1, -1 nessuna

Se Delta è maggiore di zero le soluzioni sono: Test 3 AIUTO 12 Se Delta è maggiore di zero le soluzioni sono: Reali e coincidenti Reali e negative Nulle Reali e distinte

Una equazione di secondo grado è pura quando: Test 4 AIUTO 13 Una equazione di secondo grado è pura quando: c=0 a=0 b=0 b=c=0

Test 5 AIUTO 6 X2-4x=0 è: Pura Spuria Completa Monomia

Le soluzioni dell’equazione : 3x2-x-10=0 è Test 6 AIUTO 15 Le soluzioni dell’equazione : 3x2-x-10=0 è 3, 4 2, -2 Sol. immaginarie -5/3, 2

3x-9x2=0 ammette come soluzioni Test 7 AIUTO 16 3x-9x2=0 ammette come soluzioni X=1 X=3 X=0; x=1/3 X=0 X=3; x=0

Quale dei seguenti numeri è radice dell’equazione: 9x-x2=0 Test 8 17 AIUTO Quale dei seguenti numeri è radice dell’equazione: 9x-x2=0 1 9 -2

Se Delta è uguale a zero le soluzioni sono: Test 9 AIUTO 18 Se Delta è uguale a zero le soluzioni sono: Una sola Due, ma coincidenti Una reale e una nulla Due coincidenti e nulle

La soluzione dell’equazione (x+2)2 - 4(x+1)=3x Test 10 AIUTO 19 La soluzione dell’equazione (x+2)2 - 4(x+1)=3x x=1; x=3 X=0 ; x=3 X= 1 ; x= 0 X= 3; x=-3

HELP ax +bx+c=0 2 I coefficienti b,c devono essere diversi da zero allora l’equazione si dice completa

Se b=c=0 allora l’equazione si riduce alla semplice forma : ax2 =0 HELP Se b=c=0 allora l’equazione si riduce alla semplice forma : ax2 =0 le cui soluzioni che sono sempre due (anche se coincidenti) sono : x1=x2=0

>0 Positivo due radici reali e distinte HELP >0 Positivo due radici reali e distinte = b - 4 a c 2 =0 Nullo, due soluzioni reali e coincidenti x=-b/a <0 Negativo due radici complesse coniugate

Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente b=0 HELP Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente b=0 Allora l’equazione si presenta nella forma ax2 + c=0 per risolverla si procede così: ax2 = - c x2 = - c a x1=-c/a; x2=--c/a ma sappiamo che sotto radice ci può essere solo un numero positivo allora a e c devono avere segni diversi.

Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente b=0 HELP Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente b=0 Allora l’equazione si presenta nella forma ax2 + c=0 per risolverla si procede così: ax2 = - c x2 = - c a x1=-c/a; x2=--c/a ma sappiamo che sotto radice ci può essere solo un numero positivo allora a e c devono avere segni diversi.

Se c=0 l’equazione diventa ax2 + bx=0 HELP Se c=0 l’equazione diventa ax2 + bx=0 Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma si scrive: x(ax+b)=0 e utilizzando la legge di annullamento del prodotto si ha: x=0 e ax+b=0 allora le soluzioni sono x=0; x=-b/a (eq. Primo grado)

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Se c=0 l’equazione diventa ax2 + bx=0 HELP Se c=0 l’equazione diventa ax2 + bx=0 Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma si scrive: x(ax+b)=0 e utilizzando la legge di annullamento del prodotto si ha: x=0 e ax+b=0 allora le soluzioni sono x=0; x=-b/a (eq. Primo grado)

>0 Positivo due radici reali e distinte HELP >0 Positivo due radici reali e distinte = b - 4 a c 2 =0 Nullo, due soluzioni reali e coincidenti x=-b/a <0 Negativo due radici complesse coniugate

HELP Per verificare che un numero è radice di una equazione devi sostituire al posto della variabile (x) il numero dato e verificare che ci sia un’uguaglianza osserva……. 1 x = 2 2 x x + 2 -3+6 = 2 2(1)+2=1-3+6 4 = 4

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