Figure sul reticolo cartesiano L'aggettivo cartesiano è riferito al matematico e filosofo francese René Descartes (1596 – 1650), italianizzato in Renato Cartesio, latinizzato in Renatus Cartesius . L'idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti da Cartesio. Nella seconda parte del suo Discorso sul metodo, Cartesio introdusse la nuova idea di specificare la posizione di un punto o di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura. Ogni punto del piano era collegato ad una coppia ordinata di valori numerici: le famose coordinate, che oggi si chiamano cartesiane. Tuttavia, poiché non riconosceva alcun ruolo ai numeri negativi, si limitò ad operare solo nel primo quadrante positivo. Realizzazione a cura del Prof. Francesco Porfido

PIANO CARTESIANO Per disegnare il piano cartesiano è sufficiente disegnare due rette orientate perpendicolari fra di loro Di solito si disegnano le due rette in modo che una sia orizzontale e l’altra verticale e il punto d’intersezione è chiamato origine degli assi, mentre le due rette , assi cartesiani La retta orizzontale è detta asse delle ascisse o asse delle x, la retta verticale è detta asse delle ordinate o asse delle y y x x

PIANO CARTESIANO Asse delle ordinate Unità di misura 1 Abbiamo così due assi orientati (cioè con un verso individuato da una freccia): l'asse delle x e l'asse delle y. Essi sono orientati da sinistra a destra (ascisse) e dal basso verso l'alto (ordinate).  Scegliamo un'unità di misura |-| che corrisponde ad un'unità intera, cioè ad 1. Se usi i fogli a quadretti, ad esempio, ti basterà prendere come unità di riferimento un quadretto. Riportiamo tale unità sui due assi y Asse delle ascisse x x

PIANO CARTESIANO 1 Assegniamo all’origine degli assi il valore x = 0 per l’asse delle ascisse e y = 0 per l’asse delle ordinate Nel caso dell'asse delle x a sinistra dello zero avremo i numeri negativi, e a destra i numeri positivi. Andando da sinistra verso destra i numeri aumentano di valore. Per l'asse delle y avremo i numeri negativi al di sotto dell'origine e al di sopra dell'origine quelli positivi, e muovendoci dal basso verso l'alto i numeri aumentano di valore. y 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 -2 -3 x

PIANO CARTESIANO 1 Ora possiamo rappresentare un qualsiasi punto P del piano cartesiano mediante una coppia ordinata di numeri reali Si proietta perpendicolarmente il punto sull’asse delle x Il valore 5 individuato sull’asse delle x si chiamerà ascissa del punto P Si proietta lo stesso punto sull’asse delle y Il valore 6 individuato sull’asse y si chiamerà ordinata del punto P Il punto P sarà rappresentato da una coppia di numeri P (5,6) Si legge: punto P di coordinate cinque e sei y 8 Ordinata di P 7 P 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 Ascissa di P -2 -3 x

PIANO CARTESIANO 1 In questo modo abbiamo un vero e proprio sistema di coordinate che da una parte associa ad ogni punto del piano cartesiano una e una sola coppia di numeri P → (xp , xp )  Dall'altra sappiamo che ad una qualsiasi coppia di numeri reali corrisponderà uno ed un solo punto del piano  (x , y) → punto Abbiamo realizzato così un tipo di corrispondenza coppie-punti che in Matematica si dice biunivoca. I numeri della coppia che individua il corrispondente punto nel piano cartesiano prendono il nome di coordinate del punto. y 8 Ordinata di P 7 P (5 , 6) 6 5 Ascissa di P 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 -2 -3 x

ESEMPIO DI RAPPRESENTAZIONE 1 Dobbiamo rappresentare i seguenti punti: A (-3 , 3 ) B (5, 6 ) C (3 , -2) Svolgimento: ci basta disegnare gli assi del piano cartesiano  come abbiamo fatto in precedenza, fissando un'unità di misura e graduando gli assi. Fatto ciò dobbiamo solo segnare i punti. Unendo i punti otteniamo un triangolo.  y 8 7 B (5 , 6) 6 5 4 A (-3 ,3) 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 -2 C (3 , -2) -3 x