Tra fantasia e scienza… Tra irrazionalità e razionalità…

C’erano una volta … gli irrazionali

Intorno al 5° secolo a.C. i più grandi intellettuali greci erano convinti che dietro ogni costruzione geometrica, ogni fenomeno celeste o astrologico, si celasse un rapporto fra numeri sempre calcolabile o individuabile.

Coloro che più di tutti sostenevano questa teoria erano i “Pitagorici”, seguaci delle dottrine di Pitagora di Samo. Ovviamente ben presto si dovettero scontrare con un ostacolo insuperabile: gli irrazionali.

Gli irrazionali sono numeri decimali illimitati aperiodici, che quindi non si possono scrivere sotto forma di frazione.

Un bel giorno infatti, studiando il rapporto fra un lato di un quadrato e la sua diagonale, si resero conto che lo stesso non era rappresentabile tramite numeri razionali. Tentarono invano di celare la loro scoperta, ma come sempre la realtà venne a galla, questa volta per colpa di Ippaso di Metaponto. 6

Egli infatti dimostrò l’incommensurabilità della radice quadrata di 2, facendo crollare tutte in una volta le certezze dei Pitagorici, che lo costrinsero al suicidio. Ö2=1,414213...

Purtroppo per i Pitagorici e ancor più per tutti gli studenti da quel giorno in poi, gli irrazionali “spopolarono”, andando a costituire un insieme assai più vasto di quello dei numeri reali.

Una lettera: un mare di cifre « Esplorare pi greco è come esplorare l'Universo… » 9

La Storia Il simbolo π per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics, benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò di uso comune dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π è la prima lettera di περίμετρος (perimetros), che significa «misura attorno» in greco. Inoltre il simbolo π venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che, nel 1706 lo usò in onore di Pitagora (l'iniziale di pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola). Tuttavia, ancora nel 1739 lo svizzero Eulero usava il simbolo p.

La Cronologia Nell‘antichità: 550a.C.: Nell‘Antico Testamento si dice (non esplicitamente) che il π è uguale a 3; *III secolo a.C.: Archimede, utilizzando l'esaustione e il metodo di compressione, calcola su poligoni di 96 lati che 223/71 < π < 22/7, e trova inoltre l'approssimazione π = 211875/67441 = 3,14163. Nel Medioevo: *1220: Fibonacci usa il valore 3,141818.

Misure moderne: 1621: Willebrord Snell perfeziona il metodo di Archimede; 1655: John Wallis trova un prodotto infinito razionale per π e Isaac Newton scopre il calcolo infinetesimale e calcola il π fino alla 16ª cifra decimale; 1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo π si diffonde; 1775: Eulero deriva una serie di arcotangenti rapidamente convergenti e ipotizza che π possa essere trascendente.

Misure contemporanee: 1976: Eugene Salamin e Richard Brent svilupparono indipendentemente un algoritmo quadraticamente convergente per il calcolo del Pi greco, algoritmo che poi risultò molto simile a quello per la valutazione degli integrali ellittici di Carl Friedrich Gauss; 2002: Yasumasa Kanada, 1 241 100 000 000 cifre (1,2 bilioni) calcolate in più di 600 ore utilizzando 64 computer Hitachi SR8000/MPP.

Conclusione Ecco come da ciò possiamo ancora osservare un chiaro esempio di una mente declinabile a qualsiasi tipo di oggetto matematico.

C’erano una volta le classi contigue

Un tempo vi erano 2 classi contigue che vivevano con i propri zii Un tempo vi erano 2 classi contigue che vivevano con i propri zii. Questi erano alquanto bizzarri, e venivano chiamati per la loro follia simpaticamente “irrazionali”.

Tra queste 2 classi vi erano continuamente dissapori Tra queste 2 classi vi erano continuamente dissapori. Una delle due classi infatti si vantava con l’altra e la derideva sostenendo di essere la più importante, in quanto conteneva tutti gli elementi che superavano √2 per eccesso.

E l’altra in risposta, cosciente di essere inferiore rispetto a sua sorella, poiché conteneva tutti gli elementi i cui valori erano approssimati per difetto, si lamentava tutto il giorno.

Un bel giorno allora il capo degli irrazionali, un tale √2, stufo di sentire la prima classe che si pavoneggiava 24/24h e la seconda che si lamentava giorno e notte, decise di indire una gara.

Disse loro che questa gara serviva a trovare la migliore tra le due classi, ma in realtà lo scopo era far capire loro che erano entrambe indispensabili al mantenimento della tribù degli irrazionali.

Dopo essersi scontrate in tutte le sfide possibili, e tuttavia senza successo il√2, ormai stufo, disse:

“E’ giunto il momento di dirvi quello che avrei dovuto dirvi da tempo “E’ giunto il momento di dirvi quello che avrei dovuto dirvi da tempo. Saprete tutto. Vi chiedo solo un po’ di pazienza. Avrete modo di urlare…di fare quello che volete…quando avrò finito. Non ve lo impedirò.”

E dopo quest’inizio trionfale, essendosi accorto di avere catturato la loro attenzione, raccontò loro TUTTO

Narrò loro di come i loro parenti, i numeri irrazionali, non erano affatto “folli”, ma erano la stirpe più potente nella razza dei numeri, in quanto in età ellenistica misero in ginocchio persino i più affermati filosofi greci.

Le definì poi come due classi di numeri i cui elementi sono gli infiniti valori approssimati rispettivamente per difetto e per eccesso di √2.

E Dio solo sa, sentendosi in tal modo definite, come si sentirono importanti… e della stessa utilità 

Svelò poi loro il misterioso significato di cosa vuol dire l’essere “SEPARATE”, cioè che ogni elemento della prima classe è sicuramente minore di ogni elemento della seconda classe (e qui partì un’occhiataccia dalla seconda alla prima classe)

Ed infine raccontò loro della cosa che avevano sentito più parlare nella loro vita, senza comprenderne mai veramente appieno il significato…

Disse loro dell’AVVICINAMENTO INDEFINITO, cioè della possibilità di una scelta di un elemento della prima classe e di uno della seconda in modo che la loro differenza sia minore di un numero qualunque.

Lo mostrò anche praticamente :”scelgo un numero piccolissimo, ad esempio 0,000001 (un milionesimo): posso prendere un numero nella prima classe ed un numero della seconda classe tali che la differenza sia ancora più piccola.

Basta prendere due numeri con piu' di 6 cifre decimali, ad esempio prendo quelli con 7 cifre decimali 3,0000001 2,9999999      la loro diffferenza vale 3,0000001 - = 0,0000002 cioe' due decimilionesimi che e' meno di un milionesimo”

All’udire queste parole le 2 classi capirono di essere entrambe utili alla matematica e all’umanità intera, e in quel momento decisero di chiamare l’irrazionale per eccellenza,

il √2, poiché aveva finalmente loro separato da litigi e screzi, appunto l’ELEMENTO SEPARATORE delle classi contigue.

E da allora il √2, le classi contigue e gli irrazionali tutti continuano a tediare milioni di studenti in tutto il mondo!

Costruzione geometrica delle radici quadrate dei numeri naturali

La spirale di Teodoro La spirale di Teodoro è una costruzione classica che riguarda i numeri irrazionali. Essa permette di costruire geometricamente le radici quadrate dei numeri interi partendo da un triangolo rettangolo isoscele avente i cateti di lunghezza unitaria. Consideriamo il triangolo OAB di figura in cui OA=1:

Per il teorema di Pitagora abbiamo allora che OB ha lunghezza pari a radice quadrata di 2. Se ora, come in figura, costruiamo un nuovo triangolo rettangolo, retto in B, con cateti OB e BC, di cui l'ultimo di lunghezza unitaria...

…sempre per il teorema di Pitagora è chiaro che l'ipotenusa OC di OBC ha come lunghezza la radice quadrata di 3. Se ripetiamo questo procedimento possiamo ottenere facilmente tutte le radici quadrate dei numeri naturali.

Ed ora concludiamo il nostro studio con…

…la determinazione del valore della radice quadrata di 2 fino alla 5° cifra decimale, mediante l’uso di un foglio elettronico.

Alla stesura di questo lavoro hanno collaborato: Cavone Marco Del Core Enrico Sgobba Fabrizio V Internazionale A.S. 08/09