Una trattazione elementare esposta in modo essenziale e funzionale. MATEMATICA AVANZATA Calcolo combinatorio Una trattazione elementare esposta in modo essenziale e funzionale. Prof.ssa Anastasia Vitsas 1

Diapositiva sommario Disposizioni semplici Disposizioni con Ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con oggetti identici Combinazioni Semplici Combinazioni con Ripetizione

Premessa Calcolo Combinatorio Consideriamo un insieme di n oggetti: G={a1,a2,a3,…an} con nÎZ, di natura qualunque ma perfettamente distinguibili l’uno dall’altro in base a qualche caratteristica, ad esempio palline di diverso colore; lettere dell’alfabeto; numeri diversi; ecc. . Il “calcolo combinatorio” ha per scopo la costruzione e la misurazione del n° di raggruppamenti che, secondo un’assegnata definizione, si possono formare con una prefissata quantità degli n oggetti di G. 3

Disposizioni semplici Sia A= { a,b,c,d}. Tutte le sigle di due elementi che si possono formare con gli elementi di A sono: aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc dd 4X4=16 sigle di due elementi (disposizioni di classe 2 di 4 elementi)

Disposizioni semplici Calcolo combinatorio Disposizioni semplici 5

Osservazioni sulle Disposizioni Semplici

Disposizioni semplici Esempio Quanti numeri di 5 cifre, non ripetute, si possono formare con le 10 cifre del sistema di numerazione decimale? Soluzione: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 9XD’(9,4)=9.(9.8.7.6)=27.216

Disposizioni semplici Esempio Nel consiglio di amministrazione di una società formata da 10 membri si deve procedere alla elezione di 1 presidente, di 1 vicepresidente e di 1 segretario. In quanti modi è possibile la scelta? Soluzione: D’(10,3)=10.9.8=720

Disposizioni con Ripetizione Calcolo combinatorio Disposizioni con Ripetizione

Osservazioni sulle Disposizioni con Ripetizione

Esempio Calcolare: in quanti modi si possono presentare le facce di due dadi e quante sono le coppie formate da due numeri dispari, A={1,2,3,4,5,6} D(6,2)=62=36 B= {1,3,5} D(3,2)= 32=9 in quanti modi si possono presentare le facce di tre dadi e quante sono le terne formate da tre numeri dispari. A={1,2,3,4,5,6} D(6,3)=63=216 B= {1,3,5} D(3,3)= 33=27

Esempio Una colonna della schedina del Totocalcio è una disposizione di classe 13 estratta da S={1,x,2}. Quindi D(3,13)=3^13. Poichè gli elementi 1,X,2 si possono presentare anche ripetuti bisogna trovare il numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi a 13 a 13: Esempio Si devono disporre r palline in n scatole distinte in tutti i modi possibili. Per ognuna delle r palline può essere scelta una qualunque delle n scatole disponibili, e quindi il numero di tutte le possibili distribuzioni delle palline nelle scatole coincide con il numero delle disposizioni di classe r di n elementi, cioè è uguale a nr.

Calcolo combinatorio Applicazioni - 1 Quante parole anche prive di significato, si possono costruire con 3 lettere dell’alfabeto, tutte diverse tra loro? [disp. Semplici n=21, k=3 R.7980] In quanti modi diversi 7 persone si possono sedere su 5 poltrone allineate di un cinema? [D(7,5)] Quanti numeri di tre cifre, anche uguali tra loro, si possono costruire con i primi cinque numeri naturali? [D’(5,3)] Quante colonne d diverse si possono compilare nel gioco del totocalcio? [D’(3,13)]

Permutazioni semplici Calcolo combinatorio Permutazioni semplici

Permutazioni con oggetti identici Calcolo combinatorio Permutazioni con oggetti identici

Calcolo combinatorio Applicazioni - 2

Combinazioni Semplici Calcolo combinatorio Combinazioni Semplici

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 1/3

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 2/3

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 3/3

Combinazioni con Ripetizione Calcolo combinatorio Combinazioni con Ripetizione

Calcolo combinatorio Applicazioni - 3

Libro di Testo : M.Trovato Probabilità –Statistica-Ricerca operativa ESERCIZI PAG:274 Dal n° 1 al n° 29