Figure equivalenti e aree Misura di figure Figure equivalenti e aree

Cosa vuol dire misurare una figura? Possiamo misurare la parte di piano che occupa. Parlando di misura la parola “uguaglianza”, “congruenza” non è più giusta. Due figure che hanno la stessa misura non è detto che siano congruenti! Introduciamo il concetto di EQUIVALENZA tra figure

Figure equivalenti Due figure si dicono EQUIVALENTI se vale almeno una delle tre affermazioni che seguono: Sono congruenti Sono equicomposte o equiscomponibili Sono ottenute per sottrazione di figure uguali da figure uguali in partenza (equicompletabili)

Congruenti Perfettamente sovrapponibili mediante movimento rigido (rotazione, traslazione, roto-traslazione)

Equicomposte o equiscomponibili

Ottenute per sottrazione di figure uguali da figure uguali in partenza

Due poligoni EQUIVALENTI Due poligoni equivalenti hanno la stessa estensione AREA = misura dell’estensione di una superficie (parte di piano) Quindi: Due poligoni EQUIVALENTI hanno la stessa AREA

Come misurare un’area? Misurare  confronto Come unità di misura conviene scegliere una piccola area quindi una piccola figura Proviamo ad effettuare un RICOPRIMENTO della figura da misurare Per avvicinarsi il più possibile alla misura “reale”, le unità di misura che affianchiamo non devono sovrapporsi, non devono creare buchi, non devono lasciare avanzi.

Ricoprimenti Ricopriamo un rettangolo con CERCHI

Ricopriamo un rettangolo con PENTAGONI

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI (senza buchi)

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI e ROMBI

Ricopriamo un rettangolo con ROMBI

Ricopriamo un rettangolo con RETTANGOLI

Ricopriamo un rettangolo con QUADRATI

Perché l’area si ottiene da un prodotto di lunghezze? L’area come prodotto di lunghezze deriva dal fatto che consideriamo come unità di misura un poligono che si possa affiancare in modo tale da non lasciare buchi e che abbia i lati sottomultipli dei lati della figura da misurare. Affinchè l’unità di misura sia la stessa sia per la lunghezza sia per la larghezza, conviene scegliere come unità di misura un QUADRATO di lato unitario.

Area di poligoni

Rettangolo A = b · h N.B. Tracciando una diagonale del rettangolo, si ottengono due triangoli rettangoli congruenti. Quindi per il triangolo rettangolo vale A = (b· h)/2

Parallelogrammo Un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza A = b · h

Triangolo Ogni diagonale del parallelogrammo lo divide in due triangoli congruenti (acutangoli o ottusangoli) quindi per ogni triangolo A = (b· h)/2

Quadrato A = l · l = l 2 l l

Rombo Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha per lati le diagonali del rombo A = (d1· d2)/2 Osservazione: Questo vale per qualsiasi quadrilatero avente le diagonali perpendicolari

Considerando il quadrato come rombo Le due diagonali sono congruenti quindi A = (d· d)/2 = d2 / 2

Trapezio Un trapezio è equivalente alla metà di un parallelogrammo di uguale altezza ed avente per base la somma delle basi del trapezio stesso. A= (b1+ b2)· h /2