Logica Matematica Seconda lezione

Teoria Formale Assiomatica L Linguaggio formale per il calcolo proposizionale.

Espressione. 1 Una sequenza finita di simboli si chiama È dato un insieme al più numerabile di simboli. In L i simboli sono: connettivi primitivi ,  negazione, implicazione parentesi (,) lettere enunciative A1, A2,...An. Una sequenza finita di simboli si chiama Espressione.

sono particolari espressioni individuate dalla definizione seguente: 2 Le formule ben formate sono particolari espressioni individuate dalla definizione seguente: (a) Le lettere enunciative sono f.b.f. (b) Se A e B sono f.b.f. lo sono anche (A) e (AB). A: negazione di A; AB: A implica B.

Si privilegia un insieme di f.b.f. da chiamare Assiomi. 3 Si privilegia un insieme di f.b.f. da chiamare Assiomi. La teoria si dice assiomatica se esiste un procedimento che permette di decidere effettivamente se una fbf è un assioma. Nel nostro caso gli assiomi (o, più precisamente, schemi di assiomi) sono:

Schemi di Assiomi di L A1 (A  (BA)) Da A segue ( B implica A). A2 ((A(BC)) ((AB)(AC)) ) Se da A segue (B implica C), da (A implica B) segue (A implica C). A3 ((B  A)  (( B  A) B)). Se da (non B) segue (non A), da ((non B) implica A) segue B. RITORNO

Regole di inferenza 4 Esiste un insieme finito di relazioni tra fbf dette regole di inferenza. In L abbiamo una sola regola di inferenza, il Modus Ponens (M P): - Date le fbf. A e AB, - B risulta conseguenza diretta di A e AB.

Dimostrazione Sequenza di formule ben formate i cui elementi sono assiomi o conseguenze dirette di fbf precedenti per mezzo di una delle regole di inferenza (M P).

Teorema Una fbf A con la proprietà che esiste una dimostrazione la cui ultima fbf è A.

Decidibilità La teoria si dice decidibile quando esiste un procedimento meccanico che permette di stabilire se una qualsiasi fbf è un teorema oppure no.

Conseguenza Una fbf A si dice conseguenza di un insieme di fbf. se A è l’ultima fbf di una sequenza che contiene assiomi, conseguenze dirette e fbf. di . Si ha, in tal caso, una deduzione di A da . Si usa scrivere:  | A. Quando  è l’insieme vuoto, si scrive | A. In quest’ultimo caso, A è un teorema.

Esempio di teorema in L Lemma 1.7 | AA. 1) ( (A  ((AA)A) )  3) ( (A(AA))  (AA) ) 2), 1), MP 4) ( (A(AA)) (A1) 5) (AA) 4), 3), MP Nelle applicazioni degli schemi di assiomi si sostituisce B con (A A) Schemi di assiomi

Principio d’induzione finita Data una proposizione Pn, si supponga che siano soddisfatte le seguenti condizioni: 1) P1 è vera; 2) Supposta vera Pn, si riesce a dimostrare che è vera anche Pn+1. ___________________ Si può, allora, affermare che Pn è vera per ogni n.

Principio d’induzione finita:esempio La somma dei primi n numeri dispari è n2. L’affermazione è vera per n=1. Supposto, per ipotesi induttiva, che l’affermazione sia vera per n numeri dispari (cioè che 1+3+...+2n-1= n2), bisogna far vedere che essa risulta vera anche per n+1.

Principio d’induzione finita:esempio Infatti, l’(n+1)esimo numero dispari si scrive 2(n+1)-1 = 2n+1 e, sommandolo a n2, si ottiene n2+2n+1=(n+1)2

Teorema di deduzione Se ,A | B allora  | AB. (Se B è una conseguenza delle ipotesi  e A, allora AB è una conseguenza di ). In particolare, nel caso in cui  è l’insieme vuoto, si ha che: se A |B allora | AB. (Se B è una conseguenza di A, allora AB è un teorema).

Dimostrazione Sia B1, B2,...Bn=B una deduzione di B da ,A. Il teorema è vero per n=1: - Se B1 è un assioma o B1  , poiché anche (B1  (AB1)) è un assioma , per MP si ottiene  | AB1. - Se B1 è A, per il lemma precedente si ha che |AA e, a maggior ragione,  | AA. SCHEMI DI ASSIOMI

 | ABi. Per ipotesi induttiva, sia il teorema vero per ogni k<i:  | ABk. Bisogna far vedere che:  | ABi. Se Bi è un assioma, Bi  , Bi è A, si procede come nel caso i=1.

Se Bi è ottenuto per MP da due elementi precedenti della sequenza, essi dovranno assumere la forma Bj e (BjBi) e, per ipotesi induttiva, si avrà : | ABj e  | A(BjBi). Ma ((A  (BjBi) )  ( (ABj)  (ABi) )) è un assioma e, per MP applicato due volte, si otterrà, finalmente,  | ABi.

Proposizione 1.11 Ogni teorema di L è una tautologia. Infatti, gli assiomi sono tautologie e l’MP fa passare da tautologie a tautologie.

Corollario 1.9a) AB, BC | AC Dimostrazione 1) A B ip 2) BC ip. 3) A ip. 4) B 1, 3, MP 5) C 2, 4, MP _________________ AB, BC , A | C Per il teorema di deduzione RITORNO

Corollario 1.9b) A (BC), B | AC Dimostrazione 1) A  (BC) ip 2) A ip. 3) B ip. 4) BC 1, 2, MP 5) C 3, 4, MP _________________ A  (BC), B, A | C Per il teorema di deduzione A(BC), B | AC RITORNO

Lemma 1.10 a) | BB. 1) (B B)((BB)  B) A3 2) ( B B) lemma 1.7 3) ( B   B)  B 1, 2, cor. 1.9b 4) B  (B   B ) A1 5) B  B 3, 4, cor.1.9a Corollario 1.9a) Corollario 1.9b) Assiomi

Lemma 1.10 b) | B B. 1) (BB)((BB) B) A3 2) (B B) Lemma1.10a 3) ( B B)  B 1, 2, MP 4) B  (B  B ) A1 5) B   B 3,4,cor. 1.9a ASSIOMI RITORNO

7) (BA) ((BA)B) A3 8) (BA)  B 6, 7, MP 9) B 5, 8, MP C) | A  (AB). 1) A ip. 2) A ip. 3) A (BA) A1 4) A(BA) A1 5) BA 2, 3, MP 6) BA 1, 4 MP 7) (BA) ((BA)B) A3 8) (BA)  B 6, 7, MP 9) B 5, 8, MP ________________________________________ Perciò A, A | B e, per il teorema di deduzione, | A(AB). RITORNO

d) | (BA) (AB) 1) BA ip. 2) A ip. 3) (BA )  (BA)B A3 4) A(BA) A1 5) (BA)B 1, 3, MP 6) AB 4, 5, cor. 1.9a 7) B 2, 6, MP Perciò (BA), A |B) e, con due successive applicazioni del teorema di deduzione | (BA) (AB)

e)| (AB)(BA) 1)AB ip. 2)A A parte a) 3)AB 1, 2, cor.1.9a) 4)BB parte b) 5)AB 3, 4, cor.1.9a) 6)(AB)  (BA) parte d) 7)(BA) 5, 6. MP _____________________________________ Perciò AB | BA e, per il teorema di deduzione |  (AB)  (BA).

5)((AB)B).(B(AB)) Lemma 1.10 e) 6)A(B (AB) 4, 5, cor.1.9a f) | A(B (AB) 1) A ip. 2) AB ip. 3) B 1, 2, MP Perciò A, AB | B e, per il teorema di deduzione, | A((AB)B). 4)A((AB)B) 5)((AB)B).(B(AB)) Lemma 1.10 e) 6)A(B (AB) 4, 5, cor.1.9a RITORNO

g) | (AB)((AB)B) 1) (AB) ip. 2) AB ip. 3) (AB) (BA) parte e) 4) B A 1, 3, MP 5) (AB) (BA) parte e) 6) B A 2, 5, MP 7) (B A)(B A)B A3 8) (B A)B 6, 7, MP 9) B 4, 8, MP Perciò AB, AB| A e, per il t. di deduzione | (AB)((AB)B). RITORNO

Lemma 1.12 Sia A una fbf e B1,..., Bk le lettere enunciative che occorrono in A. Per una data assegnazione di valori di verità a B1,..., Bk, siano B’1,..., B’k tali che B’i sia Bi se Bi assume il valore di verità V, B’i sia Bi se Bi assume il valore F. In maniera analoga A’ sarà A se quest’ultima assume il valore V, A’ sarà A se A assume il valore F. Allora B’1,..., B’k | A’.

Esempio di applicazione del lemma 1.12

Dimostrazione del lemma 1.12 Se n=0 allora A è una lettera enunciative B1 e il lemma si riduce a B1| B1 e B1 | B1. Supponiamo che il lemma valga per tutte le fbf con un numero di connettivi primitivi j < n:

1) A è B. B ha meno occorrenze di A . a) B ha il valore V e A ha il valore F. B’ è B e A’ è A. Per ipotesi induttiva B’1,..., B’k | B e, poiché B  B** si ha, per MP, B’1,..., B’k | B, cioè B’1,..., B’k |A’ ** lemma 1.10b LEMMA 1.10

b) B ha il valore F e A il valore V. B’ è B e A’ è A. Per ipotesi induttiva B’1,..., B’k | B, cioè B’1,..., B’k | A’

Poiché B e C hanno meno occorrenze di A 2) A è (B C). Poiché B e C hanno meno occorrenze di A per ipotesi induttiva si avrà B’1,..., B’k | B’e B’1,..., B’k | C’. a) B ha il valore F e A il valore V. B’1,..., B’k | B e B’1,..., B’k | (BC)***. Ma (BC) è A’, per cui B’1,..., B’k | A’ *** Lemma 1.10c)

b)C ha il valore V e, quindi, A il valore V. B’1,..., B’k  C e, per lo schema d’assiomi A1 e MP, B’1,..., B’k  BC. Quindi, B’1,..., B’k  A’.

c) C ha il valore F e B il valore V, quindi A ha il valore F. B’1,..., B’k | C, quindi, B’1,..., B’k | (BC)****. Poiché (BC) è A’, si ha la tesi. **** Lemma 1.10f)

Teorema di completezza Se una formula ben formata è una tautologia, allora essa è un teorema di L.

Dimostrazione : essendo A una tautologia, essa ha sempre il valore V. Il lemma 1.12 dà le due relazioni di deduzione: B’1,...,B’k-1, Bk | A B’1,...,B’k-1,Bk|A. Per il teorema di deduzione si ha B’1,...,B’k-1 | Bk A B’1,...,B’k-1 | BkA. Si ha, quindi, B’1,...,B’k-1 | A.***** Applicando k volte questo procedimento si ottiene | A. ***** Lemma 1.10g)

Corollario 1.15 Il sistema L è consistente, cioè non esiste alcuna fbf. A tale che tanto A quanto A siano teoremi di L. Dimostrazione. Ogni teorema di L è una tautologia e, dato che la negazione di una tautologia non può essere, a sua volta, una tautologia, si ottiene la tesi.

Si osservi che L è consistente se e solo se non tutte le sue fbf sono teoremi. Infatti, se L è consistente , le negazioni dei teoremi sono fbf che non sono teoremi. .

Viceversa, se L è inconsistente (cioè, se ammette come teoremi una fbf e la sua negazione), allora, 1) A ip. 2) A ip. 3) A  (AB) lemma 1.10c 4) A  B 1, 3, MP 5) B 2, 4, MP

Perciò, se L è inconsistente, qualsiasi formula ben formata B è un teorema di L. Una teoria nella quale non tutte le fbf sono teoremi è detta assolutamente consistente..

Indipendenza di assiomi Proposizione 1.16. Ogni schema di assiomi A1-A3 è indipendente. Dimostrazione. Indipendenza di A1. Si considerino le seguenti tavole:

“Negazione” A A 0 1 1 1 2 0

“Condizionale”

Se una formula ben formata A assume sempre il valore 0, diciamo che A è una scelta. L’MP fa passare da fbf scelte a fbf scelte. Gli schemi di assiomi A2 e A3 sono scelti, mentre A1 non è scelto. Con tecniche analoghe si fa vedere l’indipendenza degli altri schemi di assiomi.