La costruzione dei concetti matematici: la misconcezione. Una misconcezione è un concetto errato e dunque costituisce genericamente un evento da evitare; essa però non va vista sempre come una situazione del tutto o certamente negativa: non è escluso che per poter raggiungere la costruzione di un concetto, si renda necessario passare attraverso una misconcezione momentanea, ma in corso di sistemazione. Meloni Gianna Irre Veneto

Le immagini deboli e instabili che un allievo si fa di un concetto possono essere delle misconcezioni, tali immagini, essendo in continua evoluzione nella complessa scalata verso la costruzione di concetti, non sempre risultano un ostacolo all’apprendimento futuro degli allievi, a meno che esse non diventino forti e stabili modelli erronei di un concetto. Meloni Gianna Irre Veneto

Si crea una sorta di rispondenza diretta “Farsi un modello di un concetto, dunque, significa rielaborare successivamente immagini (deboli, instabili) per giungere ad una di esse definitiva (forte, stabile)” (D’Amore) Quando all’allievo si propone un’immagine forte, convincente, persistente e univoca di un concetto, l’immagine si trasforma in modello intuitivo. Si crea una sorta di rispondenza diretta tra la situazione proposta ed il concetto matematico che si sta utilizzando. Meloni Gianna Irre Veneto

Più forte è il modello intuitivo, più difficile è infrangerlo per assimilare e accomodare una nuova immagine più comprensiva del concetto. Le misconcezioni allora diventano forti ostacoli per i successivi apprendimenti difficili da essere superati. Meloni Gianna Irre Veneto

Misconcezioni “inevitabili” ed “evitabili” Un insegnante mostra per la prima volta ad un bambino di scuola dell’infanzia un modello di cubo rosso, di legno, di una certa dimensione e gli dice: Guarda, questo è un cubo. Il bambino potrebbe considerare tutte queste informazioni percettive come caratterizzanti dell’oggetto del quale si sta parlando. Meloni Gianna Irre Veneto

Meloni Gianna Irre Veneto Esame all’Università. Spiega che cos’è un angolo. Un angolo è la lunghezza dell’arco. Allora man mano che ti sposti l’angolo diventa sempre più ampio? é vero non ci avevo mai pensato! Meloni Gianna Irre Veneto

Nella prima situazione, le misconcezioni sono una conseguenza dell’esigenza di dover dire e mostrare qualcosa per poter spiegare un concetto. Possono essere viste come inevitabili momenti di passaggio che derivano dalle rappresentazioni che gli insegnanti sono costretti a fornire per poter presentare un concetto, che potrebbero contenere delle “informazioni parassite” rispetto al concetto matematico che si vuole trattare. Meloni Gianna Irre Veneto

Si è costretti a fare i conti con rappresentazioni realizzate per mezzo di segni in quanto: non c’è noetica (acquisizione concettuale di un oggetto) senza semiotica (rappresentazione realizzata per mezzo di segni). “In Matematica l’acquisizione concettuale di un oggetto passa necessariamente attraverso l’acquisizione di una o più rappresentazioni semiotiche” (D’Amore) Meloni Gianna Irre Veneto

Qualsiasi rappresentazione: un disegno, una frase, un grafico, un modello tridimensionale,… non avrà mai le caratteristiche concettuali di astratezza, idealità, perfezione, generalità tipiche della matematica e questo potrebbe essere la fonte delle misconcezioni inevitabili. Meloni Gianna Irre Veneto

con la semiotica di un concetto, potrebbe accadere che l’allievo Dovendo fare i conti con la semiotica di un concetto, potrebbe accadere che l’allievo confonda la semiotica con la noetica, associando le caratteristiche peculiari della specifica rappresentazione al concetto stesso. L’inevitabilità del passaggio attraverso la semiotica, rende le misconcezioni che ne derivano inevitabili. Meloni Gianna Irre Veneto

essere rosso, di legno, di quelle dimensioni; tutte caratteristiche Inizialmente l’allievo di scuola dell’infanzia potrebbe credere che il cubo debba essere rosso, di legno, di quelle dimensioni; tutte caratteristiche che derivano dalla semiotica (l’immagine proposta) e dall’associazione della rappresentazione al concetto. Meloni Gianna Irre Veneto

Ma se l’insegnante avrà in seguito la sensibilità didattica di creare le condizioni per superare queste misconcezioni, mostrando modelli di cubo, non di legno, non rossi, non di quelle dimensioni, per poi fornire nel tempo diverse rappresentazioni in vari registri, il bambino compirà dei passi in avanti nella costruzione del concetto, ampliando le vecchie immagini-misconcezioni, fino a creare una nuova immagine in grado di contemplare tutte le successive sollecitazioni proposte. Meloni Gianna Irre Veneto

Lentamente l’allievo annullerà i tratti distinti dell’oggetto che non lo caratterizzano dal punto di vista matematico per puntare l’attenzione su quelli che invece lo rappresentano in questo contesto; in tal modo si eviterà il formarsi di modelli parassiti nella mente dell’allievo. Meloni Gianna Irre Veneto

conversione ad altri registri, Se si rimane nella stessa o unica rappresentazione, senza quindi trattamento e conversione ad altri registri, si potrebbero verificare ostacoli di tipo didattico per il futuro apprendimento. In questo caso le misconcezioni non sono più del tipo “inevitabili”, ma “evitabili”. Meloni Gianna Irre Veneto

Nella seconda situazione, la continua e univoca rappresentazione fornita da insegnanti diversi, anno dopo anno, ha dato forza nella mente dello studente a caratteristiche “parassite” della semiotica a sfavore della noetica. Questo ha comportato che l’allievo identificasse “quell’archetto” all’angolo. Meloni Gianna Irre Veneto

L’archetto è diventato così l’elemento caratterizzante il concetto proposto e questo ha comportato che lo studente andasse alla ricerca della proprietà che maggiormente lo caratterizza: la sua lunghezza. Meloni Gianna Irre Veneto

In questo caso, la misconcezione sembra essere evitabile in quanto dipende da due diverse cause: la reiterata proposta della stessa rappresentazione, ma anche la scelta della rappresentazione stessa, che meno di altre rispetta le proprietà del concetto che si vuole far apprendere la limitatezza dell’archetto contrasta con l’illimitatezza dell’angolo. Meloni Gianna Irre Veneto

“In geometria sono molti gli allievi che hanno difficoltà a capire le indicazioni, i problemi e le spiegazioni fornite dall’insegnante o dal manuale, perché le loro concezioni geometriche rimangono strettamente legate alle figure e ai modelli concreti utilizzati come supporti visivi per formare queste concezioni. A mio avviso, questo è dovuto al fatto che i supporti visivi sono spesso utilizzati nelle ore di geometria in una maniera non soddisfacente. A volte i modelli utilizzati sono inadatti a rappresentare la nozione che si tratta e così gli allievi acquisiscono un’idea sbagliata per quanto riguarda il vocabolario geometrico”. (Maier) Meloni Gianna Irre Veneto

Le decisioni prese dall’insegnante incidono, a volte, a complicare l’apprendimento degli oggetti matematici. Sono le decisioni, derivanti: dalle proposte della noosfera (libri di testo, programmi, riviste,…), di fornire all’allievo giorno dopo giorno, sempre e solo univoche rappresentazioni convenzionali, che vengono accettate dall’allievo a causa del contratto didattico e del fenomeno della scolarizzazione. Meloni Gianna Irre Veneto

Misconcezioni relative agli enti primitivi della geometria Che cos’è per te un punto in matematica? “è un punto rotondo che forma le linee” (III media) “per me il punto può essere una cosa grandissima o microscopica perché è come un cerchio di diverse misure” (IV primaria) “il punto è una parte di piano indeterminato, perché può avere varie dimensioni, che costituiscono l’inizio, la fine o entrambi di un segmento, una retta” (III media) “non si sa ancora bene che cos’è un punto però per me è solo un punto su un foglio che può essere di diverse dimensioni”(IV primaria) “.”(Liceo) Meloni Gianna Irre Veneto

Si attribuisce a questo ente matematico: una forma tondeggiante, “Il punto è sferico” (ins.) “Il punto è un cerchio di diametro variabile” (ins) “Non credo che ci siano altri modi per rappresentare un punto se non quello di toccare leggermente un foglio con una penna (ins.) Si attribuisce a questo ente matematico: una forma tondeggiante, una certa dimensione variabile. Meloni Gianna Irre Veneto

Il punto è percepito e riferito all’unica rappresentazione che viene comunemente fornita dalla noosfera: un “tondino” disegnato su un foglio, di diametro variabile, avente una certa dimensione. Tali rappresentazioni convenzionali univoche rischiano di essere percepite come le uniche plausibili e possibili. Meloni Gianna Irre Veneto

Queste misconcezioni mettono in evidenza come si confonda la rappresentazione proposta con l’oggetto matematico che si vuole far apprendere. Meloni Gianna Irre Veneto

che stanno per concetti e che dovrebbe invece apprendere concetti; “Lo studente non sa che sta apprendendo segni che stanno per concetti e che dovrebbe invece apprendere concetti; se l’insegnante non ha mai riflettuto su questo punto, crederà che lo studente stia apprendendo concetti, mentre questi sta in realtà ‘apprendendo’ solo a far uso di segni”. (D’Amore) Meloni Gianna Irre Veneto

Occorre didatticamente fare molta attenzione alla scelta, ai contesti ed alle modalità d’uso dei segni che rappresentano l’oggetto matematico che si vuole far apprendere agli allievi. Meloni Gianna Irre Veneto

Occorre che l’insegnante sia a conoscenza del significato “istituzionale” dell’oggetto matematico che intende far apprendere e che indirizzi l’uso “personale” di questi oggetti in modo consapevole e critico per far sì che questo uso rimanga coerente rispetto alla disciplina di riferimento. Meloni Gianna Irre Veneto

Un punto in matematica dovrebbe essere Le diverse rappresentazioni del punto. Un punto in matematica dovrebbe essere un ente privo di dimensione, quindi la sua rappresentazione, necessaria per potersi capire, potrebbe essere di qualsiasi tipo, dato che non deve rispecchiare nessuna caratteristica particolare, se non quella di non poter essere eseguita. Meloni Gianna Irre Veneto

La varietà di rappresentazioni permetterà agli allievi di “purificare” l’oggetto dalle proprietà che non gli sono proprie come: la forma, la pesantezza, il colore, la dimensione … per poi indirizzarli verso i saperi “istituzionali”. Meloni Gianna Irre Veneto

Ieri le ho detto che un quadrato, rimane “Mia mamma di matematica non capisce proprio niente. Ieri le ho detto che un quadrato, rimane sempre un quadrato anche se lo metto così (disegna un quadrato con le diagonali orizzontali e verticali dal punto di vista dell’osservatore), ma lei dice che non è vero. Per riuscire a convincermi ha perfino detto che il quadrato non ha neanche più le diagonali perché non sono più in diagonale (nel senso di oblique), non riesce proprio a capire che rimangono ancora diagonali anche messe così. Meloni Gianna Irre Veneto

Non capisce che è solo un nome e non c’entra come sono messe, … Forse si chiamano proprio diagonali perché la gente pensa che devono essere messe in diagonali”. Un bambino di classe quinta. Un invito a ripensare criticamente le misconcezioni proprie e altrui. Meloni Gianna Irre Veneto