Quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, ecc. I problemi della matematica Greca classica.

Sfortunatamente non ci sono rimasti testi e documentazioni primarie che ci possano dare un quadro del primo sviluppo della matematica greca. I codici esistenti sono di era cristiana ed islamica, a parte qualche frammento più antico trovato su papiri egizi. Ciò nonostante gli studi filologici classici hanno permesso di ricostruire testi che risalgono al IV sec. A.C. e così abbiamo edizioni affidabili di Euclide, Archimede, Apollonio ed altri grandi matematici dell’antichità.

Questi testi ci mostrano una matematica già completamente sviluppata, il cui divenire storico è molto difficilmente rilevabile.

Finalmente Euclide. Visse probabilmente durante il regno di Tolomeo I (306-283 A.C.) e lavorò ad Alessandria d’Egitto. La sua opera più famosa sono gli Elementi, in XIII Libri. Sono il primo testo di matematica preservato nella sua completezza. Con la Bibbia, gli Elementi sono probabilmente il libro più riprodotto e studiato nella storia del Mondo Occidentale. La trattazione di Euclide è basata su una deduzione logica di teoremi, partendo da definizioni, postulati, e/o assiomi.

L’ultimo dei grandi trattati matematici Alessandrini è la Collezione (Synagoge) di Pappo (inizio IV sec.).

Molti dei risultati di autori più antichi sono noti solo nella forma trasmessaci da Pappo, inclusi i tre famosi problemi matematici dell’antichità: La trisezione di un angolo La duplicazione del cubo (il problema di Delo); La quadratura del cerchio

Riga e compasso "ideali" Veniamo ora alla questione cruciale: cosa intendevano i geometri della Grecia classica quando parlavano di risoluzione di un problema?

Riga e compasso "ideali" Si intendeva la costruzione della soluzione (un certo segmento, un certo angolo)a partire dai dati, utilizzando gli strumenti (concettuali) che noi moderni chiamiamo Euclidei: la riga e il compasso.

Riga e compasso "ideali" Vanno fatte alcune precisazioni riguardo a questi due strumenti. La riga è usata esclusivamente per tracciare una retta per due punti dati;

Riga e compasso “ideali” il compasso per tracciare una circonferenza di dato centro e passante per un punto dato. Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare segmenti ed angoli servendosi esclusivamente di una riga e di un compasso idealizzati, ossia non graduati, senza quindi la possibilità di poter far riferimento alle tacche della riga per prendere misure o di poter ripetere una data apertura che il compasso aveva avuto in precedenza.

Riga e compasso "ideali" Cosa significa eseguire delle costruzioni con riga e compasso? Significa, partendo da almeno due punti sul piano, compiere un numero finito di operazioni con due strumenti "ideali": la riga (per tracciare rette) e il compasso (per tracciare circonferenze). Le operazioni grafiche di base impiegate negli Elementi sono esclusivamente le seguenti cinque:

Riga e compasso “ideali” 1.dati due punti, tracciare la retta passante per essi (o, per estensione, prolungare un segmento); 2.dati due punti A e B, tracciare una circonferenza di centro A e passante per B;

Riga e compasso “ideali” 3. determinare l'eventuale punto di intersezione di due rette; 4. determinare gli eventuali punti d'intersezione di una circonferenza con una retta; 5. determinare gli eventuali punti d'intersezione di due circonferenze.

Riga e compasso “ideali” In questo senso si dice che le costruzioni contenute negli Elementi di Euclide sono ottenute mediante riga e compasso. Si deve sottolineare come si debba prescindere dai materiali utilizzati e dai livelli di approssimazione degli strumenti meccanici: la scienza delle costruzioni con riga e compasso è rigorosamente teorica e non pratica.

Riga e compasso “ideali” Va inoltre ribadito che la riga ed il compasso "ideali", con i quali si affrontano i problemi costruttivi, non sono strumenti metrici: non vanno adoperati né la riga graduata né il compasso ad apertura graduata. Ad esempio, il problema della costruzione di un segmento di lunghezza doppia rispetto ad un segmento di lunghezza data si deve risolvere con le operazioni sopra elencate (segnatamente la 1 e la 4): non si può misurare il segmento e prolungarlo con un altro segmento della stessa misura.

Duplicazione del cubo Ci sono varie versioni che riportano ad Eratostene). Apollo, al quale nell’isola di Delo era stato dedicato un altare a forma cubica, annunciò ai Deliani che, per liberarsi dall’epidemia che li affliggeva, avrebbero dovuto costruire un altare doppio di quello esistente, mantenendone tuttavia la forma.

Duplicazione del cubo Secondo un’altra leggenda era stato Minosse re di Creta a voler raddoppiare la tomba a forma di cubo, eretta per suo figlio Glauco. Non riuscendo a comprendere cosa esattamente dovessero fare, si rivolsero a Platone. Quest’ultimo disse loro che il dio ma poneva questa sfida per rimproverare i Greci di aver lasciato lo studio delle matematica e per il loro disprezzo della geometria.

Duplicazione del cubo Si tratta di costruire con riga e compasso lo spigolo di un cubo che abbia volume doppio di un cubo dato. Era sorprendente che non si riuscisse a risolverlo vista la facilità con cui si può duplicare un quadrato

Duplicazione del cubo Se l è lo spigolo del cubo dato, occorre costruire un segmento di lunghezza che non sta nel "campo euclideo " delle lunghezze costruibili con riga e compasso.

Duplicazione del cubo In altri termini, se per semplicità, supponiamo che il cubo da “duplicare” abbia lato unitario (L1 = 1) allora:

Menecmo trovò un metodo adatto alla soluzione del problema. Egli però fu costretto a rinunciare al metodo della riga e del compasso Ragionando in termini moderni si consideri la parabola: y = x2 E la parabola: x = ½ y2

Le due parabole si intersecano in P

Il segmento OQ (l’ascissa di P) è il lato del cubo di volume doppio.

Le due curve si intersecano (oltre che nell’origine) in un punto P la cui ascissa è proprio uguale alla radice cubica di 2, cioè al lato del cubo di volume doppio; con una semplice sostituzione, e qualche passaggio algebrico, si ottiene la soluzione: y = x2 x = ½ y2 y = x2 x = ½ (x2)2 x = ½ x4 1 = ½ x3 x3 = 2 x = 3 2

Quadratura del cerchio Quello della quadratura del cerchio il più famoso dei problemi di costruzione con riga e compasso, per il quale sono state proposte una quantità notevolissima di "false dimostrazioni“ Il problema richiede che dato un cerchio di raggio r si costruisca il lato l di un quadrato che abbia la stessa area di tale cerchio.

Quadratura del cerchio

Quadratura del cerchio Poiché il lato del quadrato che si vuole costruire deve avere lunghezza dove p è, come dimostrato da Lindemann, un numero trascendente (non ottenibile cioè mediante alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali), risulta evidente l'impossibilità di risolvere il problema con riga e compasso.

Quadratura del cerchio Con la riga e il compasso a partire da una lunghezza s si possono costruire solamente lunghezze che stanno con s in un rapporto esprimibile con numeri razionali e con radici quadrate: ad esempio

Trisezione dell’angolo Il problema richiede, dato un qualsiasi angolo φ, di suddividerlo in tre angoli uguali. Sappiamo dalla trigonometria che è

Trisezione dell’angolo Ponendo dunque m = tan(φ) e x = tan(φ / 3) si ottiene l'equazione cubica: x3 − 3mx2 − 3x + m = 0 che (salvo casi particolari) è irriducibile; cosa che prova come il problema della trisezione dell'angolo non sia risolubile con riga e compasso.

In fondo che importa della duplicazione del cubo o della trisezione di un angolo? Qui emerge un fatto fondamentale che differenzia la matematica dalle altre scienze. La vera domanda interessante è la seguente: perché non riusciamo a costruire i segmenti che cerchiamo, usando riga e compasso? Non siamo abbastanza bravi (e questo succede abbastanza frequentemente) o non è possibile? Come possiamo dimostrare l’impossibilità delle costruzioni richieste?

Queste domande sono state feconde nei secoli producendo tanta matematica, tante nuove teorie e aprendo nuovi punti di vista suscettibili di sviluppi grandiosi. Hanno fatto crescere l’esigenza di un rigore logico sempre più netto, contribuendo alla costruzione della matematica moderna, anch’essa in cammino verso altri risultati, altre aperture sulla nostra mente, sul nostro pensiero e le sue strutture.