LICEO SCIENTIFICO FILIPPO SILVESTRI PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE 2011/2012 La magia dei frattali

La maggior parte degli oggetti della natura sono caratterizzati da un carattere irregolare e non possono essere studiati usando le proprietà della geometria euclidea. Questo ha giustificato l'introduzione di un nuovo tipo di geometria da parte del matematico Benoit B. Mandelbrot (1982): la geometria frattale . Durante una passeggiata in campagna oltre alla bellezza dell'ambiente, un occhio più esperto può cogliere nella forma di tutti questi oggetti delle particolari proprietà geometriche. Prendiamo in esame una comune felce. Ciò che si nota immediatamente è che una parte di essa è simile alla felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa.

Allo stesso modo si può procedere innumerevoli volte fino a ridursi a parti sempre più piccole. Nella figura accanto sono evidenziati i primi tre passi di questo confronto. La parte evidenziata in rosso è la copia in piccolo dell'intera foglia. La parte evidenziata in blu a sua volta è la copia ridotta della parte in rosso. Infine la parte celeste è la copia ridotta della parte blu. Questa proprietà prende il nome di autosimilarità (o autosomiglianza) : una parte dell'oggetto è simile al tutto. In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico.

Definizione di frattale Consideriamo un insieme di N trasformazioni del piano cartesiano: { T 1 , T 2 , T 3 , ..., T N } ed applichiamole allo stesso sottoinsieme A del piano. Come risultato otterremo una famiglia di N sottoinsiemi del piano cartesiano { T 1 ( A ), T 2 ( A ), T 3 ( A ), ..., T N ( A )}. Sia A 1 l'insieme ottenuto come unione di questi sottoinsiemi. Applichiamo di nuovo le N trasformazioni all'insieme A 1 così ottenuto e consideriamo l'unione degli N insiemi immagine. Chiamiamo questo insieme A 2 . Continuando allo stesso modo, otteniamo una successione di insiemi { A 1 , A 2 , A 3 , ...}. Il problema che ci poniamo è il seguente: continuando in questo modo, la successione di insiemi convergerà ad un insieme A oppure no? Sotto certe condizioni la successione di insiemi convergerà ad un insieme limite F definito come frattale IFS (Iterated Function System) ovvero "frattale ottenuto iterando un insieme di trasformazioni del piano". Per chiarire la definizione di frattale esaminiamo l'esempio seguente.

Un esempio: la costruzione della felce Un esempio: la costruzione della felce. La costruzione di un frattale, quale la felce, è strettamente legata alle trasformazioni affini. Infatti basta applicare più volte un certo numero di trasformazioni affini per ottenere una figura come quella precedente. Si parte da una forma iniziale qualsiasi. Questo e' l'insieme iniziale A. Tale insieme viene trasformato: si ruota e si rimpicciolisce tre volte applicando tre distinte trasformazioni geometriche. L’insieme A viene cancellato e restano solo i tre quadrilateri ottenuti dalle tre affinità, cioè l'insieme A 1 . All' insieme A 1, applicando di nuovo le tre trasformazioni ricaviamo l'insieme A 2 . Anche in questo caso l'insieme precedente non viene più visualizzato. Procedendo di nuovo in questo modo e cancellando il passo precedente si ottiene l'insieme A 3 . Si noti che la successione di insiemi { A 1 , A 2 , A 3 , ...} converge ad un insieme A che è proprio la felce. A A1 A2 A3 A4 A5

Un fiocco di neve frattale! La figura a lato mostra come generare il cosiddetto fiocco di neve di von Koch: si prende un segmento , lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmenti uguali a quello eliminato; ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti e si continua a ripeterla per un numero infinito di volte.  La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale e come tutte le curve frattali è dotata di affascinanti proprietà matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare. Se il nome "fiocco di neve" vi sembra poco appropriato per la curva, forse cambierete idea osservando ciò che si ottiene applicando il procedimento appena descritto ai lati di un triangolo.

Possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la proprietà dell'autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente; questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito. 

∞ Quanto è lunga la Costa della Sardegna?   Quanto è lunga la Costa della Sardegna? La domanda può sembrare banale ma la risposta, se non avete mai sentito parlare dei frattali, vi sorprenderà: la sua lunghezza è infinita! Come si può arrivare a giustificare una simile affermazione?  Beh, diciamo subito che si tratta solo di una estrapolazione matematica, tuttavia il risultato lascia senza parole…  ∞

Un tratto di costa può essere visto come un tratto di curva frattale Un tratto di costa può essere visto come un tratto di curva frattale. La scioccante risposta alla domanda posta in precedenza, dipende dalla scala alla quale viene fatta la misurazione: una valutazione sommaria fornisce un risultato relativamente basso che però cresce a dismisura, fino a giungere all’incredibile risultato dell’infinito. Come già detto si tratta di una estrapolazione matematica, che non tiene infatti conto del limite della materia.

Il triangolo di Sierpinski Un altro esempio di frattale è il Triangolo di Sierpinski. Cerchiamo le trasformazioni geometriche che applicate al frattale, lo trasformano nelle tre copie che abbiamo individuato. Abbiamo tre copie e di conseguenza cerchiamo tre trasformazioni. Si tratta di tre trasformazioni geometriche. Per ottenere un'espressione analitica delle trasformazioni, occorre fissare un opportuno sistema di riferimento. Per semplicità supponiamo che il frattale sia costruito dentro il quadrato di lato unitario e l'origine sia posta nell'angolo a sinistra in basso. T1= T2 = T3=

Dimensione Frattale In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata con D è una quantità statistica che dà un'indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione di dimensione frattale non è unica, infatti vi sono diverse specifiche definizioni. Alcune tra le più importanti sono la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand.

Consideriamo un segmento AB e sezioniamolo in parti con un fattore di scala s=1/2: otterremo N=2 segmenti identici e simili all'originale. Se utilizziamo invece un fattore di scala s=1/3, otterremo N=3 segmenti identici e simili all'originale, e così via. Se facciamo lo stesso procedimento su un quadrato, con s=1/2 otteniamo N=4 pezzi, con S=1/3 otteniamo N=9 pezzi. Se infine ripetiamo lo stesso procedimento su un cubo otteniamo N=8 con s=1/2, N=27 con s=1/3, e così via. 

Prendiamo in esame un quadrato di lato 1 che abbiamo già considerato nella introduzione della autosimilarità. Poiché il quadrato è un sottoinsieme del piano, lo rappresentiamo in un piano, che supponiamo di avere quadrettato con dei quadrati di lato s. Ci proponiamo di contare, al variare di s, il numero N(s) di quadretti occupati, magari parzialmente, dal nostro quadrato. E' chiaro che, in perfetta analogia con quello che abbiamo ottenuto nel caso dell'autosimilarità , potremo costruire la seguente tabella

Si constata quindi che, se indichiamo con d la usuale dimensione topologica di questi oggetti, vale la seguente formula: N=s-d ovvero

Consideriamo ora un triangolo, isoscele e di lato 1 per semplicità, e applichiamo lo stesso procedimento.

Se applichiamo questo procedimento al triangolo di Sierpinski, otteniamo: D=log 3 / log 2 = 1,585 Infatti, il triangolo di Sierpinski può essere diviso in 3 parti simili all'intero triangolo. Ciascuna di esse si ottiene grazie ad un'omotetia di rapporto K=1/2.

Proviamo a ripetere il calcolo con il merletto di Koch: se sezioniamo con un fattore 1/3 otteniamo 4 parti identiche e simili all'originale, se usiamo un fattore 1/9 otteniamo 16 parti identiche e simili all'originale, e così via. Questa volta il rapporto , ancora costante, vale log4/log3=1.2619. Anche ora il rapporto è non intero e strettamente maggiore della dimensione topologica della curva che è uno. 

Inizia a sorgere il sospetto che questi rapporti abbiano un ben preciso significato e che sia giustificato attribuire loro un nome specifico che ricordi la somiglianza con la formula della dimensione valida per segmento, quadrato e cubo. In realtà il fatto che il Triangolo di Sierpinsky questo numero sia maggiore di uno soddisfa una certa idea intuitiva che ci fa pensare che la dimensione uno, attribuita con il metodo tradizionale, sia un po' troppo poco per un insieme che ha così tanti punti. Analogo discorso per il merletto di Koch, dove il fatto che questo rapporto sia maggiore di uno è in accordo con l'idea intuitiva che l'oggetto sia un po' più di una curva, anche se non è chiaramente una superficie, che avrebbe dimensione due. 

La definizione appena data è uno dei metodi, ma non l'unico, per introdurre la cosiddetta dimensione frattale. L'aggettivo frattale è dovuto al fatto che essa può essere espressa da un numero non intero. E' opportuno, per sgomberare il campo da equivoci, segnalare che il concetto di dimensione frattale appena introdotto è completamente diverso da quello usuale di dimensione topologica. La dimensione topologica continua ad avere un chiaro e preciso significato, solo che oltre a questo numero che caratterizza una determinata proprietà degli oggetti, ora ne abbiamo considerato un altro, che caratterizza un'altra proprietà degli stessi oggetti dFr=dtop dFr>dtop

Triangolo di Sierpinski Osserviamo che la definizione di dimensione frattale aggiunge, per ora solo per gli insiemi autosimili, un nuovo numero tra quelli che possiamo collegare agli insiemi di punti dello spazio, numero che va ad aggiungersi alla cardinalità e alla dimensione. Per fare un esempio possiamo raggruppare quanto finora detto nella seguente tabella: Segmento Quadrato Cubo Triangolo di Sierpinski Merletto di Koch Dimensione 1 2 3 Dimensione frattale 1,585 1,262

In realtà i frattali sono in grado di rappresentare egregiamente un gran numero di diversi oggetti e fenomeni della Natura. Ne sono alcuni esempi il tratto di costa ma anche i rami o le radici di un albero, una nuvola, le ramificazioni di un fulmine e la dentellatura di una foglia.

Le spirali sono alla base del mondo vivente Le spirali sono alla base del mondo vivente. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l'intero codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale come quella dell'ammonite, vissuto 300.000.000

Mariarosaria Tricarico E la dirigente scolastica del nostro Liceo Si ringraziano le professoresse dell’Università Federico II che ci hanno guidato alla scoperta dei modelli matematici. Francesca Visentin Mariarosaria Tricarico Le professoresse del Liceo F. Silvestri, che ci hanno accompagnato in questa esperienza Maria Rosaria Parlato Paola Scelzo E la dirigente scolastica del nostro Liceo Enrichetta Idato

Hanno partecipato al progetto: De Rosa Giuseppe De Grado Concetta Di Cicco Valentina Brunetti Federico Maestri Alberto Buonocunto Valentina Zito Valerio Marsei Alessia Scognamiglio Ciro Esposito Dario Salerno Claudia Poliso Gianluca Sannino Sara Acampora Anna Oratore Elena Cozzolino Eva Marotta Pasquale De Ponte Andrea