Il Piano Cartesiano 

Piano Cartesiano Il PIANO CARTESIANO è una struttura matematica che permette di identificare la posizione di un oggetto mediante numeri detti coordinate 1 2 3 4 5  1 dimensione: Es. una fila. La posizione dell’oggetto è individuabile con UNA coordinata:  (3) 1 2 3 4  2 dimensioni: Es. battaglia navale. La posizione dell’oggetto è individuabile con DUE coordinata:  (3; 2) 1 2 3 4  3 dimensioni: Es. oggetto nello spazio. La posizione dell’oggetto è individuabile con TRE coordinata:  (3; 4; 2) 

L’asse verticale è chiamata Notazione Y L’asse verticale è chiamata asse delle ORDINATE o Y ORDINATE asse delle asse delle ASCISSE X L’asse orizzontale è chiamata asse delle ASCISSE o X 

 (3; 2)  (X; Y) Notazione La posizione di un oggetto nel piano Y asse delle ASCISSE X ORDINATE Y La posizione di un oggetto nel piano cartesiano è individuata da due numeri: COPPIA ORDINATA di COORDINATE  (3; 2)  (X; Y) ORDINATA perché la prima coordinata è SEMPRE la X la seconda coordinata è SEMPRE la Y 

Rappresentazione di un Punto X Y O Un oggetto viene rappresentato con un PUNTO A  Al quale viene associata una lettera A, B, …. 

Distanza tra due Punti Distanza tra due punti posti su un segmento VERTICALE X Y O 1 2 3 4 Due punti posti su un segmento verticale sono caratterizzati dalla stessa coordinata X A La loro distanza AB si determina attraverso la relazione B AB = YA – YB cioè … la distanza tra due punti posti su una verticale è la differenza tra la coordinata Y del punto più alto e la coordinata Y del punto più in basso AB = YA – YB = 4 – 1 = 3 u 

Distanza tra due Punti Distanza tra due punti posti su un segmento ORIZZONTALE X Y O 1 2 3 4 Due punti posti su un segmento orizzontale sono caratterizzati dalla stessa coordinata Y A B La loro distanza AB si determina attraverso la relazione AB = XB – XA cioè … la distanza tra due punti posti su una verticale è la differenza tra la coordinata X del punto più a destra e la coordinata X del punto più a sinistra AB = XB – XA = 3 – 1 = 2 u 

Unità di Misura La lettera u che compare al termine dei calcoli sta per unità di misura Nel ‘mondo reale’ le unità di misura sono rappresentate da metri, centimetri, chilometri, … Nel disegno, NON essendo sempre possibile riprodurre le distanze reali, viene utilizzata come unità di misura la distanza tra due tacche consecutive È sempre possibile risalire alle distanze reali se si conosce a quale lunghezza corrisponde l’unità del disegno. Es. se un segmento nel disegno risulta lungo 5u e so che u=150m, posso affermare che la distanza reale tra i due punti è: distanza reale = 5u = 5150= 750m 

   Esercizio … Soluzione … La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3). Calcolare la distanza che deve percorrere Dino per recarsi a scuola, esprimere il risultato in metri e Km sapendo che una unità equivale a 105 metri. X Y O 1 2 3 4 Comincio col disegnare il piano cartesiano Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4; 3) … Soluzione …  D   A Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza) Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u Calcolo la lunghezza reale trasformando le unità prima in metri e poi i metri in chilometri Percorso = 7u = 7 x 105m = 735 m Percorso = 735m : 1000 = 0.735 Km 

   Esercizio … Soluzione … La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3). Sapendo che Dino per andare a scuola percorre 1.225 Km determinare a quanti metri corrisponde una unità X Y O 1 2 3 4 Comincio col disegnare il piano cartesiano Faccio coincidere la scuola con l’origine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D(4; 3) … Soluzione …  D   A Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza) Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità DA = YD - YA = 3 – 0 = 3u OA = XA – XO = 4 – 0 = 4u Percorso = DA + OA = 4 + 3 = 7u Trasformo i Km in m 1.225 Km x 1000 = 1225 m Calcolo a quanti metri corrisponde una unità. Calcolo la lunghezza reale di una unità 1u = 1225 m : 7 = 175 m 

sono state inserite slide prese dalla presentazione Prima di proseguire apriamo una parentesi per rivedere alcuni concetti riguardanti Rette parallele Rette perpendicolari. E fornire alcuni simbolismi e notazioni che serviranno da qui in avanti. sono state inserite slide prese dalla presentazione “rette e segmenti” 

Notazione 

Notazione Punto: Segmento: Retta: Angolo: lettere MAIUSCOLE dell’alfabeto latino: A; B … P la coppia di lettere MAIUSCOLE che rappresentano gli estremi del segmento: AB; … P Q Segmento: Retta: lettere minuscole dell’alfabeto latino: a; b … r a Angolo: Lettere dell’alfabeto greco: a; b; … 

Rette Perpendicolari Retta e Segmento 

rette PERPENDICOLARI () 2 rette si dicono PERPENDICOLARI se intersecandosi formano 4 angoli retti w v s 90° 90° r 90° 90° w  v perché le rette incidenti NON formano 4 angoli retti w  v ? s  r perché rette incidenti formanti 4 angoli retti 

si chiama ASSE del SEGMENTO la retta PERPENDICOLARE al segmento passante per il suo PUNTO MEDIO M P Q w r Evidenziamo il punto medio w NON è ASSE di PQ perché NON passa per M w è ASSE di PQ ? A B M w NON è ASSE di PQ perchè w  PQ w M P Q w è ASSE di PQ ? r è ASSE di AB perché r  AB r passa per M (punto medio di AB) 

è il segmento PIÙ CORTO congiungente il punto con la retta DISTANZA punto-retta La DISTANZA di un punto da una retta è il segmento PIÙ CORTO congiungente il punto con la retta P E D H B A C r Quale è il segmento più corto ? Cosa si può dire riguardo l’angolo formato con la retta ? PH è il segmento più corto Forma un ANGOLO RETTO con la retta 

il punto d’intersezione H di r con la perpendicolare PIEDE dell’ALTEZZA Il PIEDE dell’ALTEZZA è il punto d’intersezione H di r con la perpendicolare condotta da P a r P r H piede dell’altezza 

Rette Parallele Retta e Segmento 

2 rette si dicono PARALLELE se NON si intersecano mai rette PARALLELE (//) 2 rette si dicono PARALLELE se NON si intersecano mai r s P P' Q Q' R R' = = w v 2 rette sono PARALLELE se la loro distanza NON cambia w // v perché la loro distanza CAMBIA w // v ? 

Distanza tra due Rette 

È possibile calcolare (misurare) la distanza tra due rette SOLO se le due rette sono PARALLELE 

Vediamo come determinare la distanza tra DISTANZA tra due RETTE Vediamo come determinare la distanza tra due rette parallele Scegliere su una delle due rette un punto r s A H Tracciare da questo punto la perpendicolare alla seconda retta. (chiamiamo H l’intersezione tra la perpendicolare e la seconda retta) La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele 

  DISTANZA tra due RETTE NO NO H La distanza AH cambia se La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele La distanza AH cambia se si prende A in un’altra posizione sulla retta r ?  La distanza AH cambia se si prende A sulla retta s ? NO  NO 

Chiudiamo la parentesi vediamo come applicare questi concetti in un piano cartesiano 

Rappresentazione di una Retta Detta ‘volgarmente’ una retta è: “una linea dritta infinita” r In un piano cartesiano una retta può essere rappresentata in tre modi: X Y O Perpendicolare all’asse X (oppure parallela all’asse Y) Perpendicolare all’asse Y (oppure parallela all’asse X) Obliqua rispetto gli assi 

 Rappresentazione di una Retta Retta perpendicolare all’asse X X (oppure parallela all’asse Y) X Y O r Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno la STESSA COORDINATA X  È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a tutti i suoi punti retta: X = 2 

 Rappresentazione di una Retta Retta perpendicolare all’asse Y Y (oppure parallela all’asse X) X Y O r Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno la STESSA COORDINATA Y  È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a tutti i suoi punti retta: Y = 3 

Rappresentazione di una Retta Retta OBLIQUA X Y O r Dal disegno si osserva che i punti della retta cambiano sia la COORDINATA Y che la COORDINATA X Quindi è troppo difficile descriverla ora, lo si farà alla scuola superiore. 

  Esercizio … Soluzione … Descrivere la retta disegnata nel piano cartesiano  … Soluzione …  r r X Y O r r Y = 4 r Y = 3 r Y = 1 r Y = 0 X = 0 X = 3 X = 1 

Distanza Punto - Retta Vediamo come determinare la distanza tra un punto e una retta Determinare la distanza tra il punto P(1; 2) e la retta r: X=3 1.- Rappresentiamo il problema r 2.- Tracciamo l’altezza tra P e r, chiamiamo H il piede dell’altezza X Y O La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H P H 3.- Determiniamo le coordinate di H L’ascissa di H la ricavo dalla retta: XH = 3 L’ordinata di H la ricavo è quella del punto: YH = 2 4.- Calcoliamo PH PH = XH – XP = 3 – 1 = 2u 

Determinare la distanza tra il punto P(3; 1) e la retta r: Y=4 Distanza Punto - Retta Ora prova da solo r Determinare la distanza tra il punto P(3; 1) e la retta r: Y=4 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Tracciamo l’altezza tra P e r, chiamiamo H il piede dell’altezza X Y O H La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H 3.- Determiniamo le coordinate di H P L’ordinata di H la ricavo dalla retta: YH = 4 L’ascissa di H la ricavo è quella del punto: XH = 3 4.- Calcoliamo PH PH = YH – YP = 4 – 1 = 3u 

Distanza Retta - Retta Nelle slides 23, 24, 25 è stato mostrato come calcolare la distanza tra due RETTE PARALLELE 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette X Y O r: y=4 t: y=1 H 3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e l’altra retta, sia H il piede dell’altezza La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ascissa e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate y P Le coordinate y dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette. 4.- Calcoliamo PH d(r,t) = PH = YH – YP = 4 – 1 = 3u 

Determinare la distanza tra le rette r: x=0.5 e t: x=4 Distanza Retta - Retta … Soluzione …  Prova da solo Determinare la distanza tra le rette r: x=0.5 e t: x=4 1.- Rappresentiamo il problema r: x=0.5 t: x=4 2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette X Y O 3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e l’altra retta, sia H il piede dell’altezza La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata P H Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ordinata e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate x Le coordinate x dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette. 4.- Calcoliamo PH d(r,t) = PH = XH – XP = 4 – 0.5 = 3.5u 

Distanza Retta - Retta Riassumendo Date due rette parallele, la loro distanza è data dalla … Date due rette parallele DIFFERENZA DELLE COORDINATE NOTE X Y O H r: x=0.5 t: x=4 P X Y O H r: y=4 t: y=1 P d(r,t) = YH – YP d(r,t) = XH – XP 

Le rette parallele all’asse x alle rette parallele all’asse y Rette perpendicolari Le rette parallele all’asse x sono perpendicolari alle rette parallele all’asse y t: x=3 X Y O r: y=2 

Rette perpendicolari - INTERSEZIONE Le rette parallele all’asse x sono perpendicolari alle rette parallele all’asse y X Y O t: x=3 r: y=2 Determiniamo le coordinate del punto P intersezione delle due rette P è un punto della retta verticale e quindi ha la stessa ascissa di tutti gli altri punti della retta. Nel nostro esempio x=3 P P è un punto della retta orizzontale e quindi ha la stessa ordinata di tutti gli altri punti della retta. Nel nostro esempio y=2 Quindi le coordinate di P sono P = (3; 2) 

Fine