5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE Indice Generale

CARATTERISTICHE DINAMICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA Modello generale : equazione differenziale lineare a coeff. costanti qo ,qi sono funzioni del tempo SOLUZIONE DI EQ. DIFFERENZIALE

Forma simbolica con operatore Funzione di trasferimento sinusoidale

Utilizzo della funzione di trasferimento operazionale: definizione di modelli dinamici di sistemi composti se si possono trascurare gli effetti di carico

SOLUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFF. COSTANTI q0g : soluzione dell’ equazione q0p : integrale particolare che dipende dalla forma della funzione

q0g ha n costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni iniziali, cioè dai valori di all’ istante t=0 q0p non ha nessuna costante arbitraria per la determinazione di qog esiste un metodo generale che consiste nel risolvere l’ equazione algebrica associata

Per ogni radice reale singola s si somma nella soluzione q0g un termine del tipo cest Per ogni radice reale s n-pla si somma nella soluzione q0g un termine del tipo (c0+c1t+c2t2+ … +cn-1tn-1)est Per ogni radice complessa a+ib singola si somma nella soluzione q0g un termine del tipo c1eatsin(bt+c2) Per ogni radice complessa a+ib, ripetuta n volte, nella soluzione q0g si aggiunge un termine del tipo

è estremamente importante La funzione di trasferimento sinusoidale è una funzione complessa che può essere espressa nella forma polare è estremamente importante

QUESTA FUNZIONE CARATTERIZZA COMPLETAMENTE STRUMENTI IL MODULO M di questa funzione è il rapporto tra le ampiezze dell’ uscita (sinusoidale) e dell’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale LA FASE di questa funzione è pari alla differenza di fase tra l’ uscita (sinusoidale) e l’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale QUESTA FUNZIONE CARATTERIZZA COMPLETAMENTE STRUMENTI DI QUALSIASI ORDINE QUANDO L’ INGRESSO E’ DI TIPO SINUSOIDALE

DIMOSTRAZIONE PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO SINUSOIDALE Per ogni strumento la risposta A REGIME ad un ingresso sinusoidale del tipo è un’ uscita del tipo cioè con la stessa frequenza dell’ ingresso, diversi ampiezza e fase.

Se rappresentiamo le quantità dinamiche qi e qo con esponenziali complessi per la relazione di Eulero si ha

cioè: Sostituendo nell’ equazione differenziale che descrive il modello dello strumento di misura alle quantità qi e qo le loro rappresentazioni con esponenziali complessi si ha questa eq. complessa sarà soddisfatta se le parti reali dei due termini saranno uguali e lo stesso vale per le parti immaginarie.

Dalla eq. precedente si ha inoltre e quindi

STRUMENTO DI ORDINE ZERO Unico parametro che lo caratterizza : k=SENSIBILITA’ STATICA ESEMPIO: POTENZIOMETRO Eb L Xi e0

Funzione di traferimento sinusoidale dello strumento di ordine zero K STRUMENTO PERFETTO

STRUMENTO DI ORDINE UNO Sensibilità statica Costante di tempo

ESEMPIO : Termometro

Se consideriamo come qo lo spostamento xo K=1 poiché abbiamo considerato sia come ingresso che come uscita delle temperature Se consideriamo come qo lo spostamento xo sia KV il coefficiente di espansione volumetrica del liquido del termometro

Risposta al gradino dello strumento del primo ordine

Integrale generale della integrale particolare soluzione completa condizioni iniziali: quindi

= Differenza percentuale quindi  è il tempo necessario perché l’uscita raggiunga il 63,2% del valore finale

Risposta ad una rampa dello strumento del primo ordine

Come per il caso precedente l’integrale generale è e l’integrale particolare è La soluzione risulta quindi Con le condizioni iniziali: si ottiene

Il grafico di questa risposta è il seguente

Risposta in frequenza dello strumento del I ordine

Risposta all’impulso dello strumento del I ordine Definizione di impulso Funzione picco p(t)

Funzione impulso Per lo strumento del I ordine con ingresso p(t) Come per il gradino , la soluzione è Valida però solo fino al tempo t = T

Per t > T l’eq. Differenziale da risolvere è All’istante t = T sarà (I) Per t > T l’eq. Differenziale da risolvere è Che ha per soluzione La costante iniziale C si determina con la condizione iniziale (I) , si ottiene

E quindi La risposta all’impulso si ottiene facendo il limite di questa espressione per T  0 e applicando la regola di L’Hopital per la forma indeterminata 0/0 ( il limite del rapporto tra le derivate) si ottiene

Che riportata in un grafico ha l’andamento seguente Proprietà dell’impulso

STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE Dividendo, al solito , per ao e posti Sensibilità statica frequenza naturale non smorzata rapporto di smorzamento

ESEMPIO DI STRUMENTO DEL II ORDIINE : LA BILANCIA Si ottiene la funzione di trasferimento operazionale ESEMPIO DI STRUMENTO DEL II ORDIINE : LA BILANCIA

fi xo dove

Risposta in frequenza (Risposta ad un ingresso sinusoidale) In forma polare si ottiene : Modulo fase