La geometria delle trasformazioni 1

Il programma di Erlangen Geometria e trasformazioni 2

Programma di Erlangen (Felix Klein, 1872) La geometria è lo studio delle proprietà invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni. Le proprietà geometriche delle figure non sono determinate dalla forma della figura ma dalle trasformazioni che possono agire su di essa. 3

Geometria del piano  : piano della geometria elementare figura piana: un qualsiasi sottoinsieme del piano (punti, rette, triangoli, rettangoli, circonferenze, dischi, etc.) trasformazione piana: una qualunque funzione biunivoca T :   . 4

Composizione di trasformazioni Date due trasformazioni piane T1 :    e T2 :    la trasformazione composta è la funzione T2  T1 :    definita applicando prima T1 e poi T2, ossia ponendo (T2  T1)(P) = T2(T1(P)) per ogni punto P del piano . 5

La composizione di due funzioni biunivoche è ancora una funzione biunivoca Quindi, la composizione di due trasformazioni piane è ancora una trasformazione piana. L’insieme S() di tutte le trasformazioni del piano  è chiuso rispetto alla composizione (e possiede una struttura di gruppo).

Struttura di gruppo di S() la composizione è un’operazione interna;   la composizione è un’operazione associativa: T1  (T2  T3) = (T1  T2)  T3 esiste un elemento neutro, la funzione identità E :   P  P, tale che T  E = E  T = T esistono le trasformazioni inverse: per ogni trasformazione T esiste una trasformazione inversa T-1 tale che T  T-1 = T-1  T = E. 7

Figure piane equivalenti Due figure piane F1 ed F2 sono equivalenti, o congruenti, se esiste una trasformazione piana T che porta la prima figura nella seconda, ossia se F2 = T(F1). In questo modo abbiamo definito una relazione tra le figure del piano che generalizza la relazione di uguaglianza. Più precisamente questa relazione è una relazione di equivalenza. 8

Relazioni di equivalenza riflessività: ogni figura è equivalente a sé stessa; simmetria: se una figura F1 è equivalente ad una figura F2 allora anche la figura F2 è equivalente alla figura F1; transitività: se una figura F1 è equivalente ad una figura F2 e la figura F2 è a sua volta equivalente ad una figura F3 allora la figura F1 è anch’essa equivalente alla figura F3. 9

Geometrie piane Dare una geometria piana significa assegnare un sottogruppo G di S() delle trasformazioni ammissibili. La geometria è lo studio delle proprietà che restano immutate comunque si applichi una delle trasformazioni ammissibili. Ossia una proprietà geometrica di una figura piana F è una proprietà che vale per F e per ogni altra figura T(F) che si può ottenere da F mediante una trasformazione piana T appartenente al gruppo G. 10

Classificazione Due figure piane F1 ed F2 sono equivalenti, o congruenti, se esiste una trasformazione piana T appartenente al gruppo G che porta la prima figura nella seconda: F2 = T(F1). Affinché questa relazione sia una relazione di equivalenza occorre che G sia un gruppo. Classificare le figure significa determinare le classi di equivalenza, ossia i tipi di figure. 11

Geometria euclidea metrica Supponiamo che  sia dotato di un’unità di misura e quindi di una distanza d(P,Q) tra i punti. Una isometria è una trasformazione T :    che conserva le distanze, ossia tale che d(T(P),T(Q)) = d(P,Q) per ogni punto P e Q del piano. Esempi: traslazioni, rotazioni, simmetrie. Figure invarianti: rette, rette parallele, rette perpendicolari, triangoli, circonferenze. Proprietà invarianti: lunghezze, aree, angoli. 12

Geometria euclidea simile Una similitudine è una trasformazione T :   che conserva i rapporti tra le distanze. Esempi: traslazioni, rotazioni, omotetie. Proprietà invarianti: rapporti tra le distanze, parallelismo tra rette, ampiezza degli angoli, rettangoli, il teorema di Pitagora. Proprietà non invarianti: lunghezze, aree. Le isometrie sono particolari similitudini. Allora ogni proprietà simile è anche una proprietà metrica. 13

Geometria affine Una affinità è una trasformazione T :    che conserva le rette, ossia l’allineamento dei punti. Proprietà invarianti: parallelismo di rette, congruenza tra segmenti, ellissi, le mediane di un triangolo si intersecano in un unico punto . Proprietà non invarianti: lunghezze, angoli, rapporti tra distanze, circonferenze, rettangoli. Le isometrie e le similitudini sono affinità. 14

Le Trasformazioni Geometriche Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono tra gli oggetti geometrici quando subiscono trasformazioni

La trasformazione identica o identità è quella che associa ad ogni punto se stesso Si dice involutoria una trasformazione che, applicata due volte, coincide con la trasformazione identica Si chiamano invarianti le caratteristiche che rimangono inalterate Varianti le caratteristiche che si modificano Elementi uniti gli elementi che hanno per trasformati se stessi

Invarianti Le principali caratteristiche che una trasformazione può lasciare invariate sono: La Lunghezza dei segmenti L’ampiezza degli angoli Il parallelismo Le direzioni Il rapporto tra i segmenti L’orientamento dei punti del piano

Trasformazioni geometriche Si possono suddividere in tre categorie: Trasformazioni che si ottengono mediante deformazioni (esempio: disegno su tela elastica) Trasformazioni che si ottengono per proiezioni (esempio: ombra di un oggetto) Trasformazioni che si ottengono mediante movimenti (esempio: immagine riflessa)

La figura rappresenta un’incisione di M.C.Escher (1898-1972). Essa fornisce un esempio di riflessione sulla sfera; è interessante notare che le linee rette degli spigoli della stanza dove si trova l’artista sono diventate linee curve.

Classificazione delle trasformazioni basata sugli invarianti

modelli di trasformazione nel PIANO omeomorfismi proiettività affinità omotetia isometria identità Le classificazioni rappresentate nello schema sono via via più restrittive. Vengono identificate in base a numero e tipo di proprietà mantenute dalle figure dopo una trasformazione.

TOPOLOGIA Esistono altre trasformazioni che non portano rette in rette: deformazioni continue che conservano le “intersezioni”. I ponti di Königsberg 22

OMEOMORFISMI Gli omeomorfismi, detti anche trasformazioni topologiche, conservano la continuità A curve chiuse corrispondono curve chiuse A curve aperte corrispondono curve aperte A curve intrecciate corrispondono curve intrecciate con lo stesso numero di nodi( i punti in cui le curve intersecano se stesse ) Se un punto è intersezione di due curve, il punto che gli corrisponde risulta intersezione delle curve corrispondenti Una tazza ed una ciambella sono omeomorfi. Dalla "deformazione senza strappi" mostrata in figura si può infatti costruire un omeomorfismo fra i due oggetti.

proiettività La proiettività avviene mediante delle proiezioni a partire da un punto detto "centro di proiezione". Un esempio noto di proiettività è l’ombra di un oggetto sottoposto a una lampadina, fonte di luce relativamente vicina a noi. Notiamo che l’ombra del tavolo provocata dalla lampadina è deformata rispetto alla figura di partenza: mantiene solo l’allineamento dei punti delle rette e la convessità (o la concavità) della figura

affinità Le trasformazioni affini sono particolari proiettività che mantengono anche il parallelismo tra rette. Se consideriamo ancora l’esempio comune dell’ombra, un’affinità è una trasformazione che può derivare da una fonte di luce molto lontana, tendente all’infinito, come il sole, i cui raggi sembrano essere paralleli tra loro.

OMBRE: AFFINITA’ e PROIETTIVITA’ Le ombre generate dal sole sono trasformazioni affini (conservano il parallelismo). Quelle generate da una sorgente di luce sono proiettive (conservano l’allineamento). 26

omotetia L’omotetia è una particolare affinità che conserva la forma delle figure e, in particolare, la congruenza fra gli angoli; inoltre fra i segmenti esiste un rapporto costante, detto rapporto di similitudine. Detto k il rapporto di similitudine: • se k > 0 l'omotetia si dice diretta. • se k < 0 l'omotetia si dice inversa. • se k =1 si ha l'identità; • se k = −1 si ha la simmetria rispetto all'origine. B’ Il triangolo rosso è stato trasformato con l’omotetia in quello blu, un triangolo simile. Si può applicare lo stesso procedimento anche a figure più complesse. B C C’ A A’

Una trasformazione che consiste in un ingrandimento o riduzione ha come invariante globale la FORMA delle figure. Sono suoi invarianti : L’ampiezza degli angoli Il parallelismo Il rapporto tra segmenti

Sono isometrie le traslazioni, le rotazioni e le simmetrie. isometria Le isometrie sono trasformazioni che conservano le distanze tra i punti, perciò le figure trasformate risultano congruenti a quelle di partenza. Sono isometrie le traslazioni, le rotazioni e le simmetrie.

un' identità tutti i punti sono uniti. L' identità è la trasformazione di ogni punto del piano associato a se stesso. In un' identità tutti i punti sono uniti.

Trasformazioni geometriche: LE ISOMETRIE Sono trasformazioni geometriche nelle quali la figura trasformata rimane congruente alla figura iniziale, conservandone sia la forma e sia la dimensione. Le trasformazioni isometriche si ottengono mediante movimenti rigidi delle figure, che cambiano unicamente la loro posizione nel piano.

ISOMETRIE Una trasformazione geometrica si chiama isometria o congruenza quando, comunque si scelgano due punti A e B del piano, se A’ e B’ sono i loro corrispondenti , il segmento A’B’ risulta congruente al segmento AB

LE ISOMETRIE In matematica, e in particolare in geometria, si definisce isometria (o trasformazione rigida) una trasformazione che non modifica le distanze tra i punti (e, di conseguenza, le ampiezze degli angoli). A B C A' B' C' F F‘

Le isometrie Le principali isometrie sono: Traslazioni Rotazioni Simmetria assiale Simmetria centrale

Proprietà delle isometrie In una isometria: a una retta corrisponde una retta a rette incidenti corrispondono rette incidenti a retta parallele corrispondono rette parallele a ogni triangolo corrisponde un triangolo ad esso congruente ad ogni angolo corrisponde un angolo ad esso congruente

Identità L’identità è una trasformazione geometrica che fa corrispondere a ogni punto il punto stesso e quindi a ogni figura la figura stessa Poiché a un segmento corrisponde lo stesso segmento, l’identità è una ISOMETRIA. Inoltre un’ identità è una trasformazione involutoria in cui tutti gli elementi sono uniti

La traslazione La figura F con un lato appoggiato sulla retta r è stata spostata con un movimento rigido ottenendo F’. F’ r F Destro destro Il movimento che ha portato F in F’ è una traslazione: ogni punto di F si è spostato della stessa lunghezza (6 cm), nella stessa direzione (parallelo ad r) e nello stesso verso ( a destra) dando origine ad F’.

Gli elementi che caratterizzano la traslazione sono quindi tre: La sua lunghezza (6 cm) La sua direzione (parallela ad r) Il suo verso (da sinistra a destra) Queste tre caratteristiche definiscono un segmento orientato, chiamato vettore, indicato con v o con AB

TRASLAZIONE Fissato nel piano un vettore v, se a un punto P del piano si fa corrispondere un punto P’ tale che PP’ = v si ha una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano, che si chiama Traslazione di vettore v. v P’ P

Teorema: la traslazione è un’isometria Per individuare un vettore occorre indicare: La sua direzione, cioè la retta a cui appartiene Il suo verso, che indica il senso di percorrenza La sua intensità o modulo, che rappresenta la lunghezza del segmento AB Teorema: la traslazione è un’isometria Con questo teorema affermiamo che due figure che si corrispondono in una traslazione sono congruenti.

Inoltre la traslazione ha come caratteristiche invarianti: L’allineamento dei punti La lunghezza dei segmenti L’ampiezza degli angoli Il parallelismo Le direzioni Il rapporto tra segmenti L’orientamento dei punti del piano

La rotazione Un’altra trasformazione che mantiene invariate tutte le misure lineari e angolari è la rotazione attorno ad un punto. Per definire una rotazione è necessario che siano dati: Un punto, detto centro di rotazione L’ampiezza dell’angolo di rotazione Il verso di rotazione (orario o antiorario)

ROTAZIONE Siano dati in un piano un punto O e un angolo α di dato verso; per ogni punto del piano, si consideri la trasformazione che associa a un punto P il punto P’ tale che sia OP congruente a O’P’ e l’angolo POP’ congruente ad α Si ottiene una corrispondenza biunivoca che si dice Rotazione di ampiezza α intorno al centro O . P’ . α . P O

Teorema: la rotazione è un’isometria La rotazione quindi ha le proprietà delle isometrie ed in particolare trasforma una figura in un’altra ad essa congruente. Valgono le seguenti proprietà: Il solo punto unito è il centro di rotazione Non esistono rette unite se non quelle che si corrispondono in una rotazione pari ad un angolo piatto La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identità

La rotazione ha come caratteristiche invarianti: L’allineamento dei punti La lunghezza dei segmenti Il parallelismo L’ampiezza degli angoli Il rapporto tra segmenti L’orientamento dei punti del piano

Una Rotazione Particolare: La Simmetria Centrale Una rotazione di 180° attorno ad un punto C è una simmetria centrale. Il centro di simmetria è il centro della rotazione Teorema: la simmetria centrale è un’isometria Questo teorema garantisce che due figure simmetriche rispetto ad un punto sono congruenti Destro va in destro

SIMMETRIA CENTRALE Si dice simmetria centrale la trasformazione che fa corrispondere a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a un dato punto 0, detto centro della simmetria P’ . P

Simmetria centrale Fissato il punto O come centro di simmetria, il punto A’ è simmetrico di A rispetto al centro O se O è punto medio del segmento AA’ A’ O A 48

Ogni retta passante per il centro è una retta unita, ma non fissa perché cambia l’ordinamento dei suoi punti Come in ogni rotazione l’unico punto fisso è il centro Due segmenti, o rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli La simmetria centrale è involutoria

Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale Esistono situazioni in cui le figure mantengono le loro misure, ma si ‘ribaltano’ generando figure simmetriche rispetto ad un asse. Definizione: si dice simmetria assiale la trasformazione che, data una retta r, associa ad un punto P il suo simmetrico P’ rispetto ad r. La retta r prende il nome di asse di simmetria.

Simmetria assiale Fissata una retta r come asse di simmetria, il punto A’ è simmetrico di A rispetto alla retta r se r è l’asse del segmento AA’ A r A’ 51

Teorema: la simmetria assiale è un’isometria Sinistro  destro Segmenti corrispondenti sono uguali Si conservano gli angoli Triangoli corrispondenti sono congruenti Teorema: la simmetria assiale è un’isometria Questo teorema ci permette di dire che due figure che si corrispondono in una simmetria assiale sono congruenti.

Una retta a perpendicolare all’asse di simmetria ha per trasformata se stessa ed è quindi una retta unita. Attenzione però: non è una retta di punti uniti perché ciascun punto della retta non ha come trasformato se stesso. Una retta a // all’asse di simmetria ha per trasformata una retta a’ ancora // all’asse e quindi ad a stessa. Ogni punto dell’asse di simmetria è unito perché gli corrisponde se stesso

Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la trasformazione è involutoria; Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ si susseguono in senso antiorario e quindi l’ordinamento dei punti non è un’invariante (è un’isometria invertente)

Gli invarianti della simmetria assiale sono: L’allineamento dei punti Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettrice Un triangolo ha un asse di simmetria solo se è isoscele Il rombo ha due assi di simmetria (diagonali) Il cerchio infiniti assi di simmetria Gli invarianti della simmetria assiale sono: L’allineamento dei punti La lunghezza dei segmenti Il parallelismo Il rapporto tra segmenti L’orientamento dei punti del piano

ISOMETRIE IN NATURA E NELL’ARTE In natura si possono individuare forme geometriche interpretabili assumendo come modello le trasformazioni isometriche. Le più frequenti sono la simmetria centrale e la simmetria assiale, presenti in natura sia nelle forme più elementari quali le diatomee, i protozoi e i cristalli di neve, sia in fiori, piante, pesci, uccelli, mammiferi. Nell’arte sin dall’antichità le trasformazioni isometriche del piano sono state usate per creare fregi ornamentali e pavimentazioni, per decorare soffitti e pareti di palazzi, per disegnare tessuti, per costruire rosoni ed edifici monumentali, realizzare statue.

La simmetria centrale e la simmetria assiale sono involutorie La rotazione, in generale, non è involutoria a meno che l’angolo di rotazione non sia un angolo piatto o nullo. Se è piatto la rotazione è una simmetria centrale, se è nullo la rotazione coincide con l’identità La traslazione non è involutoria