INTRODUZIONE AI CIRCUITI RESISTIVI NON LINEARI Analisi qualitativa: generazione di armoniche a cura di Prof. G. Miano and Dr. A. Maffucci Università di Napoli FEDERICO II I resistori non lineari, come vedremo, possono produrre armoniche. Questa è un’importante proprietà, di grande interesse dal punto di vista applicativo. Essa è una diretta conseguenza del fatto che la proprietà di omogeneità non vale per i resistori non lineari. (cambio slide automatico) A Leaning Object produced for the EU IST GUARDIANS Project

Circuito lineare tempo invariante Un resistore lineare tempo invariante non produce armoniche. + Un circuito resistivo lineare tempo invariante non può produrre armoniche. Ora cercheremo di spiegare meglio cosa vogliamo dire con questa affermazione. Consideriamo il circuito semplice costituito da un generatore di tensione sinusoidale di pulsazione omega e da un resistore lineare tempo-invariante. Ricordiamo che un resistore lineare tempo-invariante è un resistore con resistenza costante nel tempo. L’andamento temporale dell’intensità della corrente elettrica che attraversa il circuito è data dall’espressione (cambio slide automatico)

Circuito lineare tempo invariante Un resistore lineare tempo invariante non produce armoniche. + Dunque, anche l’intensità della corrente elettrica è una funzione sinusoidale di pulsazione omega. Nell’espressione dell’intensità della corrente elettrica non compaiono altri termini sinusoidali con pulsazioni diverse da quella del generatore. Questa è una diretta conseguenza del fatto che la relazione caratteristica è lineare e la resistenza elettrica è costante nel tempo. Cosa accade quando la resistenza elettrica varia nel tempo? (cambio slide automatico)

Circuito lineare tempo-variante + Consideriamo il caso in cui la conduttanza del resistore varia nel tempo secondo la legge qui riportata, dove Go, G1 e omega1 sono parametri assegnati: la conduttanza elettrica varia periodicamente rispetto al valore medio G0. La condizione G0 maggiore di G1 garantisce che la conduttanza è istante per istante sempre positiva. L’espressione dell’intensità della corrente elettrica è data da (cambio slide automatico)

Circuito lineare tempo-variante + Utilizzando le identità notevoli della trigonometria, si ottiene facilmente (cambio slide automatico)

Circuito lineare tempo-variante Un resistore lineare tempo-variante produce armoniche. + Dunque, la forma d’onda dell’intensità della corrente elettrica contiene tre termini, tutti di tipo sinusoidale, ma con pulsazioni diverse, cioè contiene tre armoniche. Abbiamo un’armonica con la stessa pulsazione del generatore, (cambio slide automatico)

Circuito lineare tempo-variante Un resistore lineare tempo-variante produce armoniche. + un’armonica con pulsazione uguale alla somma della pulsazione del generatore e della pulsazione caratteristica del resistore tempo variante, (cambio slide automatico)

Circuito lineare tempo-variante Un resistore lineare tempo-variante produce armoniche. + e un’armonica con pulsazione uguale alla differenza di queste due pulsazioni. (cambio slide automatico)

Circuito lineare tempo-variante Un resistore lineare tempo-variante produce armoniche. + Quindi, una tensione sinusoidale applicata ad un resistore lineare tempo-variante genera, oltre a un’armonica di corrente alla stessa pulsazione della sorgente, due armoniche di pulsazione omega + omega1 e omega - omega1. Tale proprietà è alla base di diversi schemi di modulazione nei sistemi di telecomunicazione. (cambio slide automatico)

Circuito non lineare tempo invariante + v - Cosa accade quando il resistore è non lineare? Considereremo solo resistori tempo invarianti. Affronteremo questo problema gradualmente, considerando dapprima due casi particolari: la situazione in cui la curva caratteristica del resistore è antisimmetrica rispetto all’origine del piano tensione - corrente e la situazione in cui la curva caratteristica è simmetrica. Infine, tratteremo il caso più generale di curva caratteristica asimmetrica. (cambio slide automatico)

Circuito non lineare tempo invariante + v - v i Una curva caratteristica antisimmetrica rispetto all’origine del piano tensione - corrente può essere descritta attraverso un polinomio algebrico in cui sono presenti solo le potenze dispari, ad esempio, un polinomio di terzo grado (cambio slide automatico) Curva caratteristica antisimmetrica

Circuito non lineare tempo invariante + v - v i In questo caso la forma d’onda dell’intensità della corrente elettrica è data da (cambio slide automatico) Curva caratteristica antisimmetrica

Circuito non lineare tempo invariante + v - v i Utilizzando le identità notevoli della trigonometria si ha (cambio slide automatico)

Circuito non lineare tempo invariante Anche un resistore non lineare tempo invariante produce armoniche. + v - v i Dunque, anche in questo caso, la forma d’onda dell’intensità della corrente elettrica contiene più di un’armonica, pur essendo la caratteristica del resistore tempo-invariante. C’è un’armonica con la stessa pulsazione del generatore (cambio slide automatico)

Circuito non lineare tempo invariante + v - v i e un’armonica con pulsazione uguale a tre volte quella del generatore. (cambio slide automatico)

Circuito non lineare tempo invariante Un resistore non lineare tempo-invariante con una caratteristica antisimmetrica produce armoniche dispari. + v - v i Quindi, una tensione sinusoidale applicata ad un resistore non lineare tempo invariante con curva caratteristica antisimmetrica genera, oltre a un termine di corrente sinusoidale alla stessa pulsazione della sorgente, un termine sinusoidale con pulsazione pari a tre volte il valore della pulsazione della sorgente. (cambio slide automatico)

Circuito non lineare tempo invariante + v - v i Consideriamo, ora, l’altro caso particolare, cioè quello in cui la curva caratteristica del resistore non lineare è simmetrica rispetto all’origine del piano tensione - corrente. Una curva di questo tipo può essere descritta attraverso un polinomio algebrico in cui sono presenti solo le potenze pari, ad esempio, il monomio di secondo grado (cambio slide automatico) curva caratteristica simmetrica

Circuito non lineare tempo invariante + v - v i In questo caso la forma d’onda dell’intensità della corrente elettrica è data da (cambio slide automatico) curva caratteristica simmetrica

Circuito non lineare tempo invariante + v - v i Utilizzando di nuovo le identità notevoli della trigonometria si ha (cambio slide automatico)

Circuito non lineare tempo invariante Un resistore non lineare tempo invariante produce armoniche. + v - v i In questo caso, a differenza di quanto abbiamo visto nel caso precedente, non c’è il termine sinusoidale alla pulsazione della sorgente, ma c’è un termine a pulsazione doppia, (cambio slide automatico)

Circuito non lineare tempo invariante Un resistore non lineare tempo-invariante con una caratteristica simmetrica produce armoniche pari. + v - v i e un termine costante nel tempo, (cambio slide automatico)

Circuito non lineare tempo invariante Un resistore non lineare tempo-invariante con una caratteristica simmetrica produce anche una componente continua. + v - v i pur essendo il valore medio della sorgente uguale a zero. Quindi, una tensione sinusoidale applicata ad un resistore non lineare tempo invariante con curva caratteristica simmetrica genera un termine costante e un termine sinusoidale a pulsazione doppia della sorgente. Non genera nessun termine con pulsazione uguale a quella della sorgente. (cambio slide automatico)

diodo a giunzione pn i v Curva caratteristica antisimmetrica + Cosa accade quando la curva caratteristica del resistore non lineare è asimmetrica ? La curva caratteristica del diodo a giunzione pn è un esempio di curva caratteristica asimmetrica. Ora analizzeremo in dettaglio questo circuito. La curva caratteristica del diodo a giunzione pn può essere approssimata attraverso la legge esponenziale. (cambio slide automatico) Curva caratteristica antisimmetrica

diodo a giunzione pn i v Curva caratteristica antisimmetrica + Anche in questo caso la forma della corrente è una funzione periodica del tempo con periodo uguale a quello della sorgente. Però, a differenza dei due casi che abbiamo appena trattato, in questo caso l’intensità della corrente elettrica è una funzione del tempo che contiene un numero di armoniche infinito. Questa funzione può essere espressa in termini di funzioni sinusoidali attraverso la serie di Fourier. Per approfondire questa questione può essere utile descrivere, anche se solo in una forma qualitativa, l’andamento nel tempo dell’intensità della corrente elettrica. Ora determineremo qualitativamente la forma d’onda della corrente utilizzando un metodo di costruzione di tipo grafico. (cambio slide automatico) Curva caratteristica antisimmetrica

i v + Si consideri la curva caratteristica del diodo e si tracci la forma d’onda della tensione sul piano tempo - tensione (cambio slide automatico)

è il periodo del generatore v e(t) t T 2T + con l’asse dei tempi allineato con l’asse delle correnti del piano tensione - corrente su cui è riportata la curva caratteristica del diodo. Indichiamo con T il periodo della forma d’onda della sorgente. E’ facile, allora, costruire la forma d’onda della corrente riportando i punti della forma d’onda della tensione al variare del tempo attraverso la curva caratteristica del diodo, ad esempio, quando l’istante di tempo è uguale a zero, (cambio slide automatico) è il periodo del generatore

i v i(t) t t=0 e(t) t T 2T + è uguale a un quarto del periodo T, (cambio slide automatico)

i v i(t) t t=T/4 e(t) t T 2T + è uguale a un mezzo del periodo T, (cambio slide automatico)

i v i(t) t t=T/2 e(t) t T 2T + è uguale a tre quarti del periodo T, (cambio slide automatico)

i v i(t) t t=3T/4 e(t) t T 2T + è uguale a un periodo T, (cambio slide automatico)

i v i(t) t t=T e(t) t T 2T + e così via. (cambio slide automatico)

Anche la forma d’onda della corrente è periodica di periodo T=2/. v i(t) t T 2T e(t) t T 2T + Questa è la forma d’onda dell’intensità della corrente elettrica che attraversa il circuito. Come previsto, essa è periodica con periodo T. (cambio slide automatico) Anche la forma d’onda della corrente è periodica di periodo T=2/.

La semionda negativa è stata cimata. i(t) t T 2T e(t) t + La semionda negativa è stata praticamente “tagliata” da diodo a causa del fatto che la sua curva caratteristica è fortemente asimmetrica: quando il diodo è polarizzato inversamente l’intensità della corrente elettrica che lo attraversa è praticamente nulla, mentre quando è polarizzato direttamente l’intensità della corrente elettrica può assumere valori molto elevati. (cambio slide automatico) La semionda negativa è stata cimata.

e(t) t T 2T i(t) t T 2T Sebbene il valore medio di e(t) su un intero periodo sia uguale a zero, il valore medio di i(t) è sensibilmente diverso da zero, a causa della cimatura. Anche se il valore medio della tensione del generatore è uguale a zero, il valore medio dell’intensità della corrente elettrica è diverso da zero. Ciò è una conseguenza diretta del taglio della semionda negativa. Siccome la forma d’onda dell’intensità della corrente elettrica è periodica, essa può essere rappresentata come somma di funzioni sinusoidali attraverso la serie di Fourier. (cambio slide automatico)

Abbiamo un termine costante che rappresenta proprio il valore medio dell’intensità della corrente elettrica, (cambio slide automatico)

un termine sinusoidale di pulsazione pari a quella della sorgente, (cambio slide automatico)

un termine sinusoidale di pulsazione pari a due volte quella della sorgente, (cambio slide automatico)

e così via. In conclusione, quando la curva caratteristica è asimmetrica abbiamo sia la produzione delle armoniche dispari che si osservano nei resistori con curva caratteristica antisimmetrica (cambio slide automatico)

sia la produzione delle armoniche pari che si osservano nei resistori con curva caratteristica simmetrica, (cambio slide automatico)

La forma d’onda che si ottiene dalla composizione di tutte le armoniche del segnale dipende dal valore delle ampiezze e delle fasi delle singole armoniche. (cambio slide automatico)

Un resistore non lineare tempo invariante con caratteristica asimmetrica produce una componente continua, e armoniche pari e dispari. Il diagramma in cui si riporta l’andamento delle ampiezze delle armoniche al variare del numero armonico (cambio slide automatico)

Spettro di ampiezza della corrente 1 2 3 è il cosiddetto spettro di ampiezza del segnale, mentre il diagramma in cui si riporta l’andamento delle fasi delle armoniche prende il nome di spettro di fase. In generale, non è possibile esprimere in forma analitica l’andamento delle ampiezze e delle fasi al variare del numero armonico a causa della complessità introdotta dalla non linearità. Comunque, esistono algoritmi numerici semplici ed efficienti che consentono di determinare sia lo spettro di ampiezza che quello di fase di un segnale. Ad esempio, il simulatore PSpice consente di determinare lo spettro di ampiezza e di fase delle tensioni e correnti di un circuito funzionante in regime periodico. S

Raddrizzatore La componente continua di i(t) può essere eliminata attraverso un filtro passa-basso. Questa circostanza è alla base di tutti i circuiti rettificatori, che convertono correnti alternate in correnti continue. 1 2 3 Spettro di corrente Prima di chiudere con questo argomento, ricordiamo alcune delle applicazioni che si basano proprio sulla produzione di armoniche di un resistore non lineare. Una delle applicazioni più diffuse e importanti è il circuito raddrizzatore. In questo circuito, utilizzando un opportuno filtro, è possibile rimuovere tutte le armoniche ad eccezione del termine costante. (cambio slide automatico)

Raddrizzatore La componente continua di i(t) può essere eliminata attraverso un filtro passa-basso. Questa circostanza è alla base di tutti i circuiti rettificatori, che convertono correnti alternate in correnti continue. 1 2 3 Spettro di corrente In questo modo si produce una corrente costante nel tempo a partire da una tensione sinusoidale. Ciò è alla base di tutti i sistemi elettrici che convertono la corrente alternata in corrente continua.

Rilevatore di picco e(t) v(t) t t The filtered rectifier circuits find application in signal processing systems where it is required to detect the peak of an input signal. In such a case the circuit is called peak detector. A particularly popular application of the peak detector is the demodulation of an amplitude-modulated (AM) signals.

Moltiplicazione di frequenza Un’applicazione molto comune dei resistori non lineari è la conversione di segnali a bassa frequenza in segnale ad alta frequenza. Questa operazione è fondamentale in tutti i sistemi di comunicazione. Un’altra applicazione molto comune della proprietà di produrre armoniche dei resistori non lineari è la conversione di un segnale in bassa frequenza in uno in alta frequenza. Questa operazione è molto utilizzata nei sistemi di telecomunicazione per convertire segnali in bassa frequenza in segnali in alta frequenza. (cambio slide automatico)

Mixing di frequenza Dati due segnali sinusoidali a frequenza 1 e 2 è possibile, attraverso resistori non lineari, generare nuovi segnali sinusoidali a frequenza n1 + m2 con m ed n interi. Un’altra applicazione di questa proprietà è il mixing di due segnali a frequenze diverse. La modulazione di ampiezza si basa proprio sul mixing di due segnali a frequenze diverse. (cambio slide automatico)

Divisione in frequenza In molte applicazioni pratiche è richiesta la conversione di un dato segnale sinusoidale a frequenza 1 in un altro segnale sinusoidale a frequenza minore 2= 1/n, con n intero. Il segnale a frequenza più bassa è detto subarmonica del segnale originario. Un resistore non lineare non può generare subarmoniche. Con i resistori non lineari non è possibile realizzare armoniche con periodo più grande del periodo delle sorgenti, cioè armoniche con pulsazioni più piccole di quelle delle sorgenti, le cosiddette sub armoniche. Bisogna ricorrere a circuiti non lineari più complessi che contengono induttori e condensatori non lineari per poter generare sub armoniche.