Trasformazioni geometriche

Trasformazione È una corrispondenza tra punti del piano Noi ci occuperemo solo delle trasformazioni che sono corrispondenze biunivoche I punti trasformati della figura F formano una nuova figura F’, detta figura trasformata A seconda del tipo di corrispondenza, alcune caratteristiche di F rimangono inalterate, altre no

Invariante Si dice invariante ogni proprietà che rimane inalterata a seguito di una trasformazione Felix Klein (1849-1925) matematico tedesco descrive la geometria come lo studio delle proprietà delle figure aventi carattere invariante rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni Quindi classificare i vari gruppi di trasformazioni equivale a classificare le varie geometrie

Geometria euclidea La geometria euclidea del piano, per esempio, è lo studio delle proprietà delle figure che si mantengono invarianti rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni le cosiddette trasformazioni rigide (movimento rigido)

Isometrie Iso (uguale) metria (distanza) Dette anche congruenze (movimenti rigidi) Def.: “una trasformazione che lascia invariata la distanza è detta isometria” Un caso particolare di isometria è la trasformazione identica che associa ad ogni punto del piano sé stesso

Isometrie Simmetrie Traslazioni Rotazioni Centrale Assiale Proprietà delle simmetrie: scheda di lavoro Elementi uniti di una trasformazione Traslazioni Rotazioni

Simmetria centrale La simmetria centrale di centro O è quella trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che O sia il punto medio del segmento PP’ E quindi: Scheda di lavoro

Simmetria centrale La simmetria centrale conserva La distanza L’allineamento (e l’ordinamento) dei punti L’ampiezza degli angoli La conservazione dell’allineamento e degli angoli è una conseguenza della conservazione della distanza, perciò valgono per qualsiasi isometria Due rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono parallele

Simmetria centrale nel piano cartesiano Simmetria rispetto all’origine

Simmetria centrale nel piano cartesiano Simmetria rispetto ad un punto M M è il punto medio di AA’

Simmetria assiale (riflessione) La simmetria assiale di asse a è quella trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che a sia asse del segmento PP’ E quindi: Scheda di lavoro

Simmetria assiale nel piano cartesiano Simmetria rispetto all’asse delle x

Simmetria assiale nel piano cartesiano Simmetria rispetto all’asse delle y

Simmetria assiale nel piano cartesiano Simmetria rispetto a una retta di equazione y=h Da fare

Simmetria assiale nel piano cartesiano Simmetria rispetto a una retta di equazione x=k Da fare

Simmetria assiale nel piano cartesiano Simmetria rispetto alla bisettrice I e III quadrante

Simmetria assiale nel piano cartesiano Simmetria rispetto alla bisettrice II e IV quadrante

Elementi uniti di una trasformazione Un punto P è unito se il suo trasformato P’ coincide con P In una simmetria centrale ci sono punti uniti? centro di simmetria In una simmetria assiale ci sono punti uniti? punti dell’asse

Elementi uniti di una trasformazione Una retta r è unita se la sua trasformata r’ coincide con r In una simmetria centrale ci sono rette unite? ogni retta passante per il centro di simmetria In una simmetria assiale ci sono rette unite? asse di simmetria (caso particolare) ogni retta perpendicolare all’asse In generale una figura F è unita se la sua trasformata F’ coincide con F (viene trasformata in se stessa)

Elementi uniti di una trasformazione Rispetto a quali simmetrie sono uniti: Un angolo assiale: bisettrice Un segmento centrale: punto medio; assiale: asse Un parallelogramma centrale: punto di incontro delle diagonali Una circonferenza centrale: centro; assiale: ogni diametro

Traslazione La traslazione di vettore è quella trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che Scheda di lavoro Composizione di due simmetrie centrali

Traslazione nel piano cartesiano Da fare Simmetria rispetto alla bisettrice II e IV quadrante