Scuola Media Statale “Giuseppe Giuliano“ 04100 LATINA, via Cisterna 6 Scuola Pilota “Laboratorio a distanza MatMedia” Tel 0773/696950 Fax 0773/413493 E-mail medgiul@tin.it 2° Seminario Territoriale, 4 novembre 1999

a cura della Prof.ssa Gentile Agnese Un’idea: per sviluppare le capacità di osservazione e descrizione per riconoscere proprietà varianti e invarianti per cogliere analogie e differenze per risolvere problemi con IL PIANO CARTESIANO a cura della Prof.ssa Gentile Agnese NOTA: a) La presentazione è stata realizzata con Microsoft PowerPoint ‘97 b) L’avanzamento delle diapositive e dell’animazione delle stesse avviene con un clic del mouse; c) Nelle note del relatore, i commenti introdotti dal punto elenco, corrispondono alle fasi dell’animazione.

LE COPPIE ADDITIVE DEL 10 : dalle coppie ai punti alla legge (secondo numero) 1° numero 2° numero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x+y>10 x+y=10 Consideriamo la tabella con le coppie additive del 10 ¤ Rappresentiamo le coppie sul piano A questo punto sono doverose alcune osservazioni sulla particolarità dei punti rappresentati ¤ I punti sono allineati su una retta ¤ I punti rappresentati hanno per somma 10 (l’invariante è cioè x+y=10, dove per x intendiamo 1° num. e per y intendiamo 2° num. ) Ciò fa sorgere due domande : a) Se prendiamo un altro pt.sulla retta, troveremo anche in questo caso che x+y=10? b) Può accadere che sia x+y=10 se il pt. non è sulla retta? Chiederemo ai ragazzi di studiare il problema considerando p.ti.sulla retta e fuori ¤ Esaminiamo la 2°dom., indichiamo un pt.al di sotto di essa (2,4) e controlliamo cosa accade: 2+4<10 cioè x+y<10 ¤ Ciò vale per tutti i p.ti al di sotto della retta ¤ Indichiamo un pt.al di sopra di essa (5;8) e controlliamo cosa accade: 5+8>10 x+y>10 ¤ Ciò vale per tutti i pt.al di sopra di r ¤ Diapositiva successiva x+y<10 (primo numero)

Dai punti alle coppie alla legge (TAV 1) (secondo numero) 1° numero 2° numero 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Abbiamo cominciato con le coppie additive e siamo arrivati a disegnare la retta ed a scrivere la sua equazione. Talvolta è necessario procedere nella direzione opposta. Fissati i punti osserviamo che anche questi sono allineati lungo una retta anche se questa ha direzione diversa dalla precedente (dal basso a sinistra all’alto a destra). ¤ Completiamo la tabella e cerchiamo di scoprire l’invariante. ¤ 1° numero - 2° numero = 2 ¤ x - y = 2 ¤ Diapositiva successiva 1° numero - 2° numero = 2 x - y = 2 (primo numero)

Dai punti alle coppie alla legge (TAV 2) (secondo numero) 1° numero 2° numero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E’ abbastanza curioso come le difficoltà tendono a presentarsi più facilmente nelle situazioni semplici che in quelle complicate. Una cosa può essere tanto semplice da diventare per così dire invisibile. Per esempio se è dato il grafico di questa retta, ¤ Completiamo come al solito la tabella, i ragazzi ¤ Si accorgono SI’ che i due numeri sono uguali ¤ Ma arrivano molto lentamente alla legge x = y che esprime tale circostanza ciò può dipendere dal fatto che mentre “addiziona”, “sottrai” sono operazioni aritmetiche familiari, immediatamente riconoscibili, “lascia il numero così com’è” non è operazione che necessita di spiegazioni, di conseguenza tale idea può non venir subito in mente ai ragazzi ¤ Diapositiva successiva 1° numero = 2° numero x = y (primo numero)

Dai punti alle coppie alla legge (TAV 3) (secondo numero) 1° numero 2° numero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2° numero = 2 Questa è un’altra linea che crea difficoltà. ¤ I punti su questa linea sono la rappresentazione nel piano delle coppie di questa tabella. Cosa si può dire di essi? Qual è la condizione di appartenenza alla retta? Non ci sono “operazioni” tra il primo ed il secondo numero che portano ad un risultato fisso, sempre uguale. ¤ L’unica costante è il valore del secondo numero. ¤ Y = 2 ¤ Diapositiva successiva y = 2 (primo numero)

Dai punti alle coppie alla legge (TAV 4) (secondo numero) 1° numero 2° numero 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 Considerazioni analoghe valgono per questa retta. ¤ Le coordinate dei punti sono …si completerà la tabella ¤ L’invariante è 1° numero=3 ¤ Ossia x= 3 ¤ Diapositiva successiva 1° numero = 3 x = 3 (primo numero)

VERSO I POLIGONI: dai punti alla caratterizzazione dei segmenti paralleli agli assi (TAV1) x y 3 4 5 6 7 8 y = 4 3  x  8 Consideriamo ora un’insieme finito di punti allineati parallelamente all’asse delle ascisse. ¤ Possiamo considerarli come punti a coordinate intere appartenenti a questo segmento. ¤ Completiamo la tabella. ¤ Osserviamo che i punti hanno tutti la stessa ordinata. ¤ Mentre l’ascissa varia tra 3 e 8. ¤ Diapositiva successiva

VERSO I POLIGONI: dai punti alla caratterizzazione dei segmenti paralleli agli assi (TAV2) x y 4 2 3 5 x = 4 2  y  5 Per analogia sarà più facile determinare le condizioni che individuano ¤ Questo segmento... ¤ Scriviamo le coordinate dei p.ti in tabella ¤ Osserviamo che i p.ti hanno tutti la stessa ascissa x = 4 ¤ Mentre l’ordinata varia tra 2 e 5 ¤ Diapositiva successiva

VERSO I POLIGONI: (TAV3) 3  x  8 y = 4 ¤ Riprendiamo il segmento parallelo all’asse delle x. ¤ Le condizioni che lo identificavano erano 3 x  8 e y = 4 ¤ Proviamo ad eliminare la seconda Se evidenziamo in rosso tutti i punti a coord. intere che soddisfano questa condizione otterremo ¤ Questo insieme di punti ¤ Questo LUOGO GEOMETRICO (fascia) se includiamo anche i punti a coordinate non intere ¤ Diapositiva successiva

VERSO I POLIGONI: (TAV4) x = 4 2  y  5 ¤ Riprendiamo ora l’altro segmento, quello parallelo all’asse delle Y. ¤ Le coordinate che lo identificavano erano x = 4 e 2  y  5 ¤ Proviamo ad eliminare la prima ¤ Per analogia i punti a coord. intere che soddisfano questa condizione sono… ¤ E questo è il LUOGO GEOMETRICO dei punti con 2  y  5 se includiamo i p.ti a coordinate non intere ¤ Diapositiva successiva

VERSO I POLIGONI: IL RETTANGOLO (TAV5) 3  x  8 2  y  5 Domanda: Ci sono punti che verificano le due condizioni contemporaneamente? ¤ La prima condizione ¤ E’ soddisfatta dai punti appartenenti a questo luogo (colore rosso) ¤ La seconda condizione ¤ E’ soddisfatta dai punti appartenenti a questo luogo( colore verde) E’ evidente quindi che i punti che verificano contemporaneamente le due condizioni sono quelli appartenenti al rettangolo ( intersezione delle due fasce, dei due luoghi) ¤ Diapositiva successiva

Trova tutti i rettangoli a dimensione intera con RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA GEOMETRICO PER VIA ANALITICA Trova tutti i rettangoli a dimensione intera con a - perimetro minore di 20 e b - area maggiore di 12. ¤ Il testo del problema ¤ Diapositiva successiva

a) Perimetro minore di 20 TAV1 (altezza) 2p > 20 b+h >10 x+y>10 2p = 20 b+h =10 x+y=10 Consideriamo innanzi tutto i rettangoli con perimetro 20 ¤ Cliccando 9 volte compariranno in successione i rettangoli isoperimetrici con 2p = 20 e dimensioni diverse da 0 ¤ I vertici di questi rettangoli sono allineati ¤ Appartengono alla stessa retta ¤ Che ha per equazione x + y = 10 ¤ Consideriamo ora un rettangolo il cui vertice sia al di sotto della retta [nell’esempio è il p.to (1;6)] ¤ Osserviamo che 2p < 20 ¤ Consideriamo ora un rettangolo il cui vertice sia al di sopra della retta [nell’esempio è il p.to (8;7)] ¤ Osserviamo che 2p > 20 ¤ I rettangoli che ci interessano sono quindi quelli i cui vertici cadono nella zona al di sotto della retta ¤ Diapositiva successiva 2p < 20 b+h <10 x+y<10 (base)

b) Area maggiore di 12 TAV2 (altezza) A > 12 b x h >12 xy>12 Consideriamo innanzi tutto i rettangoli con area 12 ¤ Cliccando 6 volte compariranno in successione i rettangoli equiestesi con A=12 ¤ I vertici di questi rettangoli ¤ Appartengono a questa curva (ramo di iperbole) ¤ E si tratta di rettangoli eqiestesi con A=12 ¤ Consideriamo ora un rettangolo il cui vertice sia al di sotto del ramo di iperbole nell’esempio il p.to (1;5) ¤ Osserviamo che A < 12 ¤ Consideriamo ora un rettangolo il cui vertice sia al di sopra del ramo di iperbole nell’esempio il p.to (8;4) ¤ Osserviamo che A > 12 ¤ I rettangoli che ci interessano sono quindi quelli i cui vertici cadono nella zona al di sopra della curva ¤ Diapositiva successiva A < 12 b x h <12 xy<12 A = 12 b x h =12 xy=12 (base)

TAV3 (altezza) A > 12 b x h >12 xy>12 2p < 20 A > 12 Siamo quindi arrivati alla conclusione del problema ¤ La zona blu ¤ Corrisponde ai rettangoli che hanno 2p < 20 ¤ La zona gialla ¤ Corrisponde ai rettangoli che hanno A > 12 ¤ Quindi i rettangoli che risolvono il problema sono quelli i cui vertici cadono nell’intersezione delle due zone ¤ Questi sono i vertici ¤ Questi i rettangoli (cliccando più volte compariranno i 9 rettangoli soluzione del problema) 2p < 20 A > 12 2p < 20 b+h <10 x+y<10 (base)

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