Giuseppina Trifiletti breve ripasso sulle equazioni diofantee Giuseppina Trifiletti

IL CASO PIÙ SEMPLICE l’equazione può non avere soluzioni, può averne un numero finito o un numero infinito. Ammette almeno una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b)

PROBLEMA 3 All'ultimo salone francese del rompicapo matematico, 100 giovani visitatori hanno speso 2000 franchi. Ogni liceale ha speso 100 franchi, ogni studente di scuola media ha speso 20 franchi e ogni scolaro di scuola elementare 5 franchi. Trova il numero degli scolari di scuola elementare, degli studenti delle medie e dei liceali.

da cui si ottiene l’equazione diofantea Indichiamo con x, y, z il numero di studenti rispettivamente della scuola elementare, media, superiore. da cui si ottiene l’equazione diofantea

Le soluzioni devono essere numeri interi positivi (si suppone che alla mostra erano presenti allievi dalle elementari alle superiori, escludiamo quindi lo 0. Per ragioni di divisibilità per 3, z deve essere un multiplo di 3 minore o uguale a 15 (essendo 18x19>300) otteniamo così 5 soluzioni x = num. scolari elementari Y = num. studenti medie Z = num. studenti superiori 16 81 3 32 62 6 48 43 9 64 24 12 80 5 15

Soluzione particolare dell’equazione Come possiamo trovare le stesse soluzioni utilizzando il teorema sulle equazioni diofantee? Soluzione particolare dell’equazione non accettabile

Ma per il problema x, y, z devono essere interi e positivi Soluzione generale dell’equazione Ma per il problema x, y, z devono essere interi e positivi N.B.

soluzioni del problema 94 1800/19 95 100 r

r numero intero qualunque * Perché siamo certi che le formule * sono le soluzioni di un’equazione diofantea di primo grado nelle due variabili x,y (N.B. x0,y0 è una soluzione particolare dell’equazione)? Per accertarsi di questo basta sostituire le formule nell’equazione ax+by=c e si ottiene un’uguaglianza vera. Perché siamo certi che non ce ne sono altre?

k è una costante e può anche non essere un numero intero, (x, y) soluzione generica e (x0y0) soluzione particolare, quindi è vero che e anche segue k è una costante e può anche non essere un numero intero, ma deve essere k=r/MCD(a,b), dato che ka e kb devono essere numeri interi

Esempio, se x e y possono essere k è una costante e può anche non essere un numero intero, nell’esempio, anche x e y possono non essere numeri interi, ma, nel nostro caso, le soluzioni (x,y) devono essere interi, quindi deve essere k=r/MCD(a,b) - dove r è un numero intero qualunque - dato che ka e kb devono essere numeri interi.

* le formule delle soluzioni si possono semplificare r numero intero qualunque * Le formule * si possono semplificare, se nell’equazione iniziale ax+by=c si divide a, b e c per il MCD(a,b). In questo caso l’equazione e le formule, dopo la semplificazione, diventano

SOLUZIONI IN R Se a e b NON sono CONTEMPORANEAMENTE NULLI l’equazione ammette INFINITE SOLUZIONI che sono coppie di numeri reali, ma non sono tutte le coppie di numeri reali (graficamente, sul piano, le soluzioni dell’equazione sono tutti i punti di una retta) Se a e b sono CONTEMPORANEAMENTE NULLI allora, se anche c vale 0, e cioè si ottiene 0=0, le soluzioni sono tutte le coppie di numeri reali (graficamente sono tutti i punti del piano). Se invece c non è 0 allora l’equazione non ammette soluzioni, perché si ottiene l’uguaglianza falsa c=0 (graficamente neanche un punto del piano).