Metodi matematici per economia e finanza. Prof. F. Gozzi LUISS Corso di Metodi matematici per economia e finanza. Prof. F. Gozzi Lezione del xx/11/2009 Calcolo approssimato di integrali - Prof.ssa G. Rotundo

Testi di riferimento MATLAB – manuale di riferimento I. Capuzzo Dolcetta, M. Falcone, L’analisi al calcolatore, Zanichelli, ISBN 88 – 08 – 03904 - 8 J. Stoer, Introduzione all’analisi numerica, Zanichelli ed., 1974

Il problema di Cauchy Sotto opportune ipotesi è possibile dimostrare il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni. N.B.: il teorema di esistenza ed unicità fornisce un risultato soltanto in merito ad esistenza ed unicità, ma non illustra alcun metodo per trovare la soluzione. Domanda: come trovare le soluzioni? Anche quando la soluzione esiste ed è unica può essere molto complesso, se non impossibile, determinare la sua espressione analitica. Diventa quindi estremamente importante conoscere alcuni metodi numerici per approssimare la soluzione.

Osservazione Nel caso in cui f(t,x(t)) dipende solo da t il problema di Cauchy corrispondente si riduce al calcolo di una particolare primitiva di f(t).

Obbiettivo: calcolare l’integrale di una funzione reale su [a,b] Strumenti noti da matematica generale: il teorema fondamentale del calcolo integrale ( teorema di Newton-Leibniz), che risolve il problema nel caso in cui f è continua ed è nota una primitiva di f, cioè una funzione derivabile tale che F’(t)=f(t) per ogni x: a<x<b. In tal caso vale la formula:

Perché cambiare metodo? L’applicabilità pratica di questo metodo analitico è limitata, infatti: Esistono funzioni continue che si incontrano frequentemente nelle applicazioni dell’analisi matematica la cui primitiva non può essere espressa in termini di funzioni elementari ( per esempio sen(t)/t, 1/((1-t2)(1-k2t2))1/2, exp(-t2) Il calcolo può essere complicato ( p.es. nel caso di integrazione di funzioni razionali fratte, che si basano sulla conoscenza di radici di polinomi)

Obbiettivo: calcolare UN VALORE APPROSSIMATO dell’integrale Strumenti: metodi di integrazione numerica facilmente implementabili: Rettangoli, Trapezi, Simpson [...] Idea: integrare, invece di f, una sua approssimazione g che si sappia integrare in maniera esatta (a meno, ovviamente, di errori di arrotondamento).

Punto fondamentale Calcolare a priori l’errore commesso con la specifica procedura adottata. Serve per garantire l’affidabilità del metodo e bisognerà pertanto stimare In ciascun metodo la costruzione di g è fatta definendo una partizione dell’intervallo [a,b]. Precisamente, si fissa un intero positivo N e si divide l’intervallo di integrazione [a,b[ in parti uguali con i punti Il numero h=(b-a)/N è il passo della discretizzazione

METODO DEI RETTANGOLI a b Devo calcolare l’area sottesa dal grafico della funzione.

METODO DEI RETTANGOLI Idea: costruisco la partizione di [a,b] Obbiettivo: approssimare l’area con rettangoli di base (tk+1-tk) ed altezza uguale all’altezza della funzione nel punto intermedio di ciascun intervallo (tk+tk+1)/2 Preparo gli elementi che servono per questa approssimazione a=t0 t1 t2 b=tN

Considero i punti intermedi in ciascun intervallo a=t0 t1 t2 b=tN

Considero il valore della funzione in ciascun punto intermedio in ciascun intervallo a=t0 t1 t2 b=tN

Considero la funzione costante a tratti, avente, su ciascun intervallo, il valore costante uguale all’altezza della funzione calcolata nel punto intermedio dell’intervallo a=t0 t1 t2 b=tN

Considero la funzione costante a tratti, avente, su ciascun intervallo, il valore costante uguale all’altezza della funzione calcolata nel punto intermedio dell’intervallo Ovviamente g coincide con f in tutti i punti intermedi di ciascun intervallo. a=t0 t1 t2 b=tN

Approssimo l’area da calcolare con la somma delle aree (base x altezza) di questi rettangoli. Questo calcolo è immediato: tutte le basi hanno ampiezza costante (b-a)/N le altezze sono date dal valore della funzione nel punto intermedio dell’intervallo a=t0 t1 t3 b=tN

Osservazioni Il metodo dei rettangoli è ispirato dalla definizione di integrale definito. I è una particolare somma integrale. Il numero I dipende dalla partizione scelta e quindi dal passo h(=(b-a)/N).

Stima dell’errore

MEMO: da matematica generale Proprietà dell’integrale definito L’area si può calcolare dividendola in due parti: (a, c) e (c, b) y f(x) x a c b

Applico la proprietà dell’integrale ripetutamente: Posso ripetere il procedimento per g e quindi

MEMO In generale Il valore assoluto di una somma è minore od uguale alla somma dei valori assoluti

Scrivo l’espressione di g Ho applicato la proprietà del valore assoluto MEMO: teorema di Lagrange: sotto opportune ipotesi f(b)-f(a)=f ‘ (c ) (b-a), a<c<b Applico il teorema considerando b=t e a= (tk+tk+1)/2, c=k , t< k < (tk+tk+1)/2

Osservazione t tk (tk+tk+1)/2 tk+1 Un punto t dista dal centro dell’intervallo meno di metà della lunghezza dell’intervallo.

Utilizzo questa proprietà per svolgere il passaggio

Conclusione: ho dimostrato che

METODO DEI TRAPEZI Nel metodo dei rettangoli si approssima f con g costante a tratti a=t0 t1 t2 b=tN

METODO DEI TRAPEZI Nel metodo dei trapezi si approssima f con g costruita partendo dalle rette secanti in ciascun intervallo a=t0 t1 t2 b=tN Quindi la funzione g è lineare in ogni intervallo e coincide con f negli estremi di ciascun intervallo.

METODO DEI TRAPEZI Il metodo si chiama ‘dei trapezi’ perché approssimo l’area tramite trapezi (eventualmente degeneri) invece che tramite rettangoli. a=t0 t1 t2 b=tN Quindi la funzione g è lineare in ogni intervallo e coincide con f negli estremi di ciascun intervallo.

METODO DEI TRAPEZI L’approssimazione corrisponde al calcolo dell’area evidenziata in rosso. Obbiettivi: calcolo dell’area stima dell’errore

Osservazione: rispetto alla normale visualizzazione, i trapezi sono ruotati di 90 gradi: Base minore altezza Base maggiore MEMO: area di un trapezio (base minore + base maggiore)*altezza /2

Equazione di una retta che passa per i punti MEMO: da matematica generale y y2 y y1 (x1,y1) e (x2,y2) da cui x x1 x x2 da cui da cui

Calcolo della retta secante nel singolo intervallo tk t tk+1 f(tk+1) f(t) f(tk) … Applico la formula Considerando le particolari coordinate dei punti: t Osservo che la funzione g coincide con la funzione f negli estremi dei singoli intervalli ed è lineare in ogni intervallo.

Area approssimata = somma delle aree dei singoli trapezi Base minore+base maggiore altezza Perché gli intervalli hanno tutti la stessa ampiezza

Stima dell’errore Ipotesi in più: f derivabile due volte in (a,b) con derivata f’’ limitata. Calcolo l’errore nel singolo intervallo, poi sommo per ottenere l’errore totale. Inizio il calcolo partendo dall’espressione di g

Inoltre g ed f coincidono sui punti della partizione Per il teorema di Lagrange Inoltre g ed f coincidono sui punti della partizione Sottraggo Da cui Ora cerco di semplificare questa quantità

Considero quindi Lavoro dapprima su Applico la formula di Lagrange ed ottengo Sostituisco ed ottengo:

Applico il teorema di Lagrange alla funzione derivata prima: Sostituisco ed ottengo che in ciascun intervallo

Errore totale: sommo sugli N intervalli Quindi la stima cercata è:

METODO DI SIMPSON I passi effettuati finora per il calcolo approssimato dell’integrale hanno portato da una prima approssimazione mediante una funzione costante a tratti ad una approssimazione tramite una funzione rettilinea a tratti, in cui l’errore va a zero più velocemente quando h0. Il passo successivo riguarda l’approssimazione mediante una funzione quadratica. Passi ulteriori possibili riguardano l’approssimazione della funzione assegnata mediante polinomi di ordine maggiore.

Interpolata quadratrica Considero una funzione in [-1,1] e la sua interpolata quadratica definita da: Dove le tre costanti sono determinate dalle tre condizioni che chiedono che le funzioni coincidano su quei tre punti. Osservo che l’unica soluzione del sistema lineare è:

Interpolata quadratrica Quindi Questo calcolo si generalizza facilmente ad un arbitrario intervallo [c,d] tramite un cambio di variabile Che trasforma l’intervallo [-1,1] in [c,d]. L’integrale diventa quindi

Su un intervallo qualsiasi [c,d] g(x) f(x) con semiampiezza dell’intervallo h h=(m-c)=(d-m) c m d h h Il nome con cui il metodo è più conosciuto è “Simpson 1/3”, per distinguerlo da un altro metodo di Simpson in cui la costante è diversa (“Simpson 3/8”)

Su più intervalli consecutivi Applico la formula considerando i punti della partizione a gruppi di tre: iniziale ( c ), finale (d) ed intermedio (m) e sommando tutti i risultati t0 t1 t2 b=tN Quindi la funzione g è lineare in ogni intervallo e coincide con f negli estremi di ciascun intervallo.

Su più intervalli consecutivi Applico la formula considerando i punti della partizione a gruppi di tre: iniziale ( c ), finale (d) ed intermedio (m) e sommando tutti i risultati. (h=(b-a)/N) h h h h h h t0 t1 t2 b=tN

Osservazione Nel caso in cui f(t,x(t)) dipende solo da t il problema di Cauchy corrispondente si riduce al calcolo di una particolare primitiva di f(t). In questo caso si può dimostrare che il metodo di Heun si riduce al metodo dei trapezi per il calcolo di Si può anche dimostrare che il metodo di Eulero modificato si riduce a quello dei rettangoli, il metodo di Runge-Kutta a quello di Simpson.