A cura di Maria Giovanna Melis Strumenti di rappresentazione A cura di Maria Giovanna Melis

Insiemi Intersezione Unione Complemento Operazioni Differenza Sui quali si possono definire Unione Complemento Operazioni e proprietà Differenza Differenza simmetrica Si rappresentano con Potenza Diagrammi Rappresentare e risolvere problemi di Eulero - Venn Si utilizzano anche per Rappresentare classificazioni indotte da relazioni Carroll ad albero Rappresentare corrispondenze tra gli elementi di due insiemi (diagramma sagittale) Rappresentare operazioni tra insiemi

PROPRIETA’ degli OPERATORI , U Gli operatori e sono operatori binari (lavorano su due insiemi per volta come gli operatori +, -, x, : lavorano su due numeri alla volta). Proprietà dell’operatore intersezione Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le seguenti proprietà: - (A B) C = A (B C) associativa A B = B A commutativa A A = A idempotenza A = U U Proprietà dell’operatore intersezione Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le seguenti proprietà: - (A B) C = A (B C) associativa A B = B A commutativa A A = A idempotenza A =

Legami tra le operazioni con gli insiemi e il calcolo dei predicati Insieme INTERSEZIONE A B A inter B U Legami tra le operazioni con gli insiemi e il calcolo dei predicati La congiunzione ( ) V r z r z 1 V U A B r z L’intersezione degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi comuni ad A e B (cioè di quegli elementi di A che appartengono anche a B)

Insiemi DISGIUNTI Da notare che se gli insiemi A e B non hanno elementi in comune, l’insieme intersezione è allora l’insieme vuoto ( ) . A B = U La Colombo Bozzolo presenta due rappresentazioni con il diagramma di Venn: E E A A B B

Leonard Euler, svizzero, 1707 – 1783 Il diagramma di Eulero – Venn è la rappresentazione grafica degli insiemi e delle relazioni fra essi. Si rappresentano gli elementi di un insieme dentro una regione piana limitata da una linea chiusa. Tale rappresentazione grafica non è il “contorno geometrico” di una figura piana. Non a e Non b e Non c a e Nb e Nc c e Nb e Na Leonard Euler, svizzero, 1707 – 1783 John Venn, inglese, 1834 - 1883

U: numeri da 1 a 9 U Sequenza del 3 Numeri pari argomento predicato Valore di verità X È nella sequenza del 3 e è numero pari VERO O FALSO Il 3 è nella sequenza del 3 e è pari FALSO IL 6 VERO IL 4

r z r V z 1 z r Insieme UNIONE A U B A unione B U A B La disgiunzione inclusiva: vel (V) r z r V z 1 U A B z r L’unione degli insiemi A e B è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B o ad entrambi

r z r * z 1 r z Insieme DIFFERENZA A - B B - A U A B Il corrispondente connettivo non ha un nome, è la <<non implicazione>>; si indica con * r z r * z 1 r z La differenza degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B

Insieme DIFFERENZA SIMMETRICA ( ) A B La disgiunzione esclusiva: aut (W) r z r W z 1 U A B r z La differenza simmetrica tra A e B è l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B e di quelli di B che non appartengono ad A

Quindi, le possibilità sono quattro: A : dispari B : primi Dispari Non Dispari La parte tratteggiata rappresenta l’intersezione, cioè la congiunzione degli attributi <<Dispari e Primi>>, e ancora l’intersezione dell’insieme dei Dispari con l’insieme dei Primi 3 13 5 7 11 Non dispari - primi 2 Primi Non dispari – Non primi 4 16 12 10 8 14 6 1 9 15 Dispari – Non Primi Non Primi Quindi, le possibilità sono quattro: Essere dispari e primo Essere dispari e non primo Non essere dispari e essere primo Non essere dispari e non essere primo

Nella classificazione secondo tre attributi, le possibilità sono otto a e b e non c non a e b e non c C A Carroll non a e b e c a e b e c non a e non b e c a e non b e c A a e non b e non c non a e non b e non c Nella classificazione secondo tre attributi, le possibilità sono otto

U: 4, 79, 81,7, 40, 6, 54, 92, 111, 95, 83, 35, 100, 72, 9, 47, 12, 63, 14, 114, 15, 84 A: multipli di 3 B: divisibili per 2 C: compresi tra 10 e 80 Multipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80 114 84 6 B B NON multipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80 100 4 92 C A NON multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80 14 40 Multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80 54 72 12 intersezione Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80 81 111 9 NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80 47 79 35 Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80 63 15 A NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80 83 7 95

Insieme COMPLEMENTARE La negazione: non U r 1 A r Se A è un sottoinsieme di U, si chiama complementare di A rispetto a U l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A.

Nell’insieme N dei numeri naturali, l’insieme P dei numeri pari e l’insieme D dei numeri dispari sono l’uno il complementare dell’altro. Nell’insieme U delle lettere dell’alfabeto, il complementare dell’insieme delle consonanti è l’insieme delle vocali. N U C V D P

Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A/B L’ implicazione “se r allora z” U r z A B r z r z 1

U: i numeri da 1 a 12 Trovare il numero che risponda alla seguente implicazione: “se è pari e multiplo di 3, allora ha due cifre” Inclusione: C B A U U U 11 3 A 2 B A: pari B: multiplo di 3 C: a due cifre 4 C 12 6 10 8 7 1 5 9

Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A B La doppia implicazione r z 1

Insieme delle parti di un insieme o insieme POTENZA Dato un insieme P si chiama insieme delle parti di P oppure insieme potenza di P, l’insieme di tutti i sottoinsieme di P E’ utile, in questo caso, elencare in ordine tutti i sottoinsiemi di P con un diagramma ad albero. P = a, b, c P a Non a b Non b b Non b Si sono ottenuti otto sottoinsiemi. Il loro insieme è detto insieme delle parti di P c Non c c Non c c Non c c Non c a,b,c a,b a,c a b,c b c P = a,b,c , a,b , a,c , a , b,c , b c , ,

T t acutangoli t ottusangoli t rettangoli Classificando i triangoli rispetto agli angoli si ha una partizione dell’insieme T dei triangoli in tre sottoinsiemi T t acutangoli t ottusangoli t rettangoli

IN Numeri pari Numeri dispari Suddividendo i numeri naturali in pari e dispari si ha una partizione dell’insieme IN in due sottoinsiemi: IN Numeri pari Numeri dispari

A B C A B C A B A (B C) (C –A) B U U U U U U 3 A T R I B U A B C A B C

le tre diverse rappresentazioni: Confrontiamo le tre diverse rappresentazioni: A B A e non B B e non A A e B Non A e Non B A NON A NON B B A e B Non A e Non B Non A e B A e Non B A NON A B NON B B NON B A e B A e Non B Non A e B Non A e Non B

I diagrammi ad albero visualizzano operazioni mentali di analisi e classificazione. Un diagramma ad albero è costituito da un insieme di nodi e da un insieme di rami che collegano i nodi. Es. U: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 A: Pari B: Primi C: Multipli di 3 Pari (2, 4, 6, 8, 10, 12) Non Pari (1, 3, 5, 7, 9, 11) Primi (2) Non Primi (4,6,8, 10,12) Primi (3,5, 7,11) Non Primi (1, 9) Non Multipli di 3 (2) Multipli di 3 (6, 12) Non Multipli di 3 (4, 8,10) Non Multipli di 3 (5, 7, 11) Multipli di 3 (9) Non Multipli di 3 (1) Multipli di 3 (3) Multipli di 3

U : POLIGONI A: essere convessi B: avere quattro lati C: avere assi di simmetria

P CONVESSI NON CONVESSI 4 LATI NON 4 LATI 4 LATI NON 4 LATI ASSI SIMMETRIA ASSI SIMMETRIA ASSI SIMMETRIA ASSI SIMMETRIA NON ASSI SIMMETRIA NON ASSI SIMMETRIA NON ASSI SIMMETRIA NON ASSI SIMMETRIA

10+5+12= 27 10 12 In una classe : 10 bambini hanno sorelle; 5 hanno fratelli; 3 hanno sia fratelli che sorelle; 12 sono figli unici. Quanti sono gli alunni della classe? 10 12 10+5+12= 27

18 7 3 2 U A B In una palestra di 30 atleti, 25 praticano il nuoto; 10 praticano l’atletica; 2 non praticano né il nuoto né l’atletica. Quanti atleti praticano solo il nuoto? Quanti entrambi gli sport? U = insieme degli atleti A = insieme Nuoto B = insieme Atletica U A B 18 7 3 2 atleti non praticano né nuoto né atletica, ne segue che 28 atleti praticano invece nuoto o atletica o entrambi. 28 – 10 28 – 21 28 – 25 2 30 - 2

Diagramma di Eulero - Venn Bambini e Sport Tra questi bambini: Angelo, Bruno, Carlo, Daria, Elisa, Franco, Giorgio, Ilaria, Luca, Marco, Nadia e Orietta, Alcuni praticano il Tennis: Angelo, Carlo, Orietta, Ilaria e Nadia Alcuni praticano il calcio: Bruno, Ilaria, Carlo, Franco Alcuni praticano la corsa: Carlo, Orietta, Franco, Daria, Giorgio e Luca 1- Quali e quanti bambini praticano tutti e tre gli sport? 2- Quali e quanti bambini praticano un solo sport? 3- Quali e quanti praticano almeno uno sport? 4- Quali e quanti nessuno sport? Per risolvere questo problema si possono utilizzare tre diverse rappresentazioni: Diagramma di Eulero - Venn Diagramma ad albero Diagramma di Carroll

A B C B B C A C C A C A: Tennis B: Calcio C: Corsa U = un gruppo di bambini che praticano sport A B C Ilaria Carlo Angelo Nadia Orietta Franco Daria Giorgio Luca Bruno Elisa Marco B B C Carlo Orietta A Angelo C Ilaria Nadia Daria Franco C Giorgio Luca A Elisa Bruno C Marco Alcuni autori hanno proposto questa diversa rappresentazione del diagramma di Carroll

U B A Calcio Tennis C Corsa Ilaria Angelo Bruno Nadia Carlo Orietta Franco Marco Daria Giorgio Luca Elisa C Corsa

C C C C C C C C B B B B A A Luca Nadia Giorgio Marco Carlo Ilaria Orietta Angelo Franco Bruno Daria Elisa C C C C C C C C B B B B A A

“Diagramma di Karnaugh” A= Multipli di 5 B= Minori di 5 C= dispari Multipli di 5 Non Multipli di 5 Non Minori di 5 Minori di 5 Non dispari Dispari 5 1 3 2 4 7 9 6 8 10 Un’altra rappresentazione con il diagramma di Carroll Questa rappresentazione è anche conosciuta come “Diagramma di Karnaugh”

Disponi questi nomi nel diagramma di Carroll: Case, libro, sedie, pulcino, palla,, quaderno, Antonio, evidenziatore, Luca, bambini maschili Non maschili singolari Non singolari

Disponi gli articoli nel diagramma di Venn U= tutti gli articoli A: essere singolare B: essere determinativo C: essere maschile U A C B

Per i più piccoli: Diagramma di Venn 4 zampe Non 4 zampe Diagramma di Venn

Classificazioni secondo un attributo Attributo: avere quattro zampe Negazione dell’attributo: non avere quattro zampe 4 zampe Non 4 zampe Diagramma di Carroll

Diagramma ad albero 4 zampe U Non 4 zampe

Riferimenti bibliografici: Clara Colombo Bozzolo, Primi elementi di logica, insiemi, relazioni, La scuola, 1993 Gia Filipozzi Maricchiolo, Logica, probabilità, statistica e informatica, Fabbri editori, 1990 Tenuta, Itinerari di logica, probabilità, statistica, informatica, La scuola, 1992 Lanciotti, Marazzani, Logica, Carocci Faber, 2004 Fine