… LE CONICHE …

GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO Esempio : L’asse di un segmento che ha come proprietà il luogo dei punti equidistanti dagli estremi oppure la circonferenza che ha l’insieme di tutti e soli i punti equidistanti da un centro. Luogo geometrico : l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una data proprietà Ogni proprietà caratteristica dei punti di un luogo può essere tradotta in una relazione algebrica tra l’ascissa e l’ordinata dei punti P(x;y) della figura ovvero F(x;y) = 0 Equazione che deve essere soddisfatta dalle coordinate dei punti del luogo e soltanto da essi. E’ proprio in questo che consiste il metodo algebrico : caratterizzare ogni luogo con equazioni del tipo F(x;y) = 0, dove F indica un’espressione matematica contenente due variabili x e y.

Nei casi in cui l’equazione F(x;y) = 0 F rappresenti un numero finito di operazioni sulle variabili x e y quali l’addizione , sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e l’estrazione di radice n- esima, l’equazione si dice equazione algebrica. Nello studio della geometria analitica ci limiteremo a considerare due casi : F (x;y) è un polinomio di primo grado F (x;y) = 0 ax +bx+c = 0 (retta) con a,b =0 F(x;y) è un polinomio di secondo grado F(x;y) = 0 ax² + bxy + cy² + dx + ey +f = 0 Se ha soluzioni , rappresenterà una conica e detto il discriminante della conica 𝚫 = b² - 4ac si ha per 𝚫 < 0 ellissi o circonferenza 𝚫 = 0 parabola 𝚫 > 0 iperbole Tali curve piane vengono chiamate sezioni coniche perché si ottengono sezionando un cono circolare retto a due falde con un piano.

CONO A DUE FALDE Il cono a due falde è la superficie di spazio generata dalla rotazione di una retta r (generatrice) intorno ad un'altra retta a (asse di rotazione) incidente ad r. Il punto V di intersezione tra r ed a è detto "vertice" del cono. Questo divide la superficie conica in due parti, ciascuna delle quali è detta falda della superficie conica; l'angolo α formato da r con a (minore di un angolo retto) è detto "apertura" del cono. Quindi si dice sezione conica qualsiasi curva ottenuta intersecando il cono a due falde con un piano qualsiasi dello spazio, non passante per il vertice V.

Un viaggio nella storia …. Per i matematici greci le curve, non erano definite come luoghi del piano che soddisfano determinate condizioni, ma con il seguente ordine : TRE CATEGORIE LUOGHI PIANI LUOGHI SOLIDI LUOGHI LINEARI Sezioni coniche Tutte le altre curve Retta Ellisse Parabola Cerchio Circonferenza Iperbole

… Un viaggio nella storia … Le coniche, ottenute come sezioni piane di un cono, sono studiate inizialmente nello spazio in quanto curve "solide". Le proprietà che le caratterizzano legano i loro singoli punti al cono di appartenenza. Una prima teoria fu sviluppata dal matematico greco Menecmo, nella seconda metà del IV sec. a.C., che scoprì le sezioni coniche nel tentativo di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Menecmo attribuì alle sezioni coniche i nomi : ortotome, oxitome, amblitome. Di esse si sarebbero occupati anche Aristeo il Vecchio e Euclide (360-300 a.C.), sulle quali scrisse ben 4 libri, ma di questi studi non vi è rimasta alcuna traccia . Una sistemazione completa e organica dal punto di vista teorico e della loro trattazione fu data da Apollonio di Perga (200 a.C.). La sua opera Sezioni Coniche ,che viene considerata un capolavoro di rigore logico, era composta originariamente da otto libri, alcuni di essi sono andati perduti, ma a noi ne restano solamente sette che sono arrivati fino a noi nella trattazione araba. Nella sua opera Apollonio definisce le coniche come curve ottenute mediante l’intersezione di un piano con un cono circolare retto. Le diverse inclinazioni del piano generano le diverse coniche. Ed è proprio da Apollonio che le sezioni coniche hanno preso i nomi moderni di parabola, ellisse ed iperbole.

… Le differenze tra le due teorie sulle sezioni coniche … 1) Menecmo usa solo coni retti ottenuti per rotazione di opportuni triangoli rettangoli attorno a un cateto, e li taglia tutti con piani perpendicolari al lato obliquo del triangolo assiale (l’ipotenusa) sicché le diverse coniche giacciono su diversi tipi di cono. 2) Apollonio invece usa un cono generico (obliquo, con base circolare) e tagliandolo con piani diversamente inclinati riesce a collocare su di esso tutte le curve scoperte da Menecmo. Le differenti proprietà che le caratterizzano sono (sia dall'uno che dall'altro studioso) ricavati sul cono, nello spazio tridimensionale (e ciò qualifica tali curve come "solide"): ma Apollonio le reinterpreta anche nel piano introducendo così i termini ancora oggi in uso di ellisse, parabola, iperbole.

A seconda della posizione che il piano ha rispetto al cono a due falde, la conica può essere una curva di tipo diverso: Se il piano è meno inclinato della retta generatrice allora interseca una sola delle due falde del cono, e taglia su di esse una curva limitata detta ellissi. Se il piano è orizzontale, l’ellissi è una, circonferenza le circonferenze, quindi sono particolari ellissi. Se il piano è parallelo alla generatrice, interseca una sola delle due falde del cono, e taglia su di esse una curva illimitata detta parabola Se il piano è più inclinato della generatrice interseca entrambe le falde, e taglia su di esse una curva (illimitata e spezzata in due rami) detta iperbole.

CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. PC = r o r P Da questa definizione di circonferenza si può ricavare, con vari passaggi,l’equazione conica di essa: C x²+y²+𝛼x+βy+γ=0 (1) Fig. 1 Con x² e y² uguali a 1 o≡C r P Nel caso in cui il centro C coincide con l’origine o, avremo: x²+y²=r² (2) Fig. 2

ELLISSI L’ellissi è il luogo dei punti di un piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Indicando con 2a la somma costante delle distanze di un punto P dell’ellissi dai fuochi F₁ ed F₂ e con 2c la distanza tra i due fuochi, possiamo scrivere che: PF₁+PF₂=2a F₁F₂= 2c Da questa definizione di ellissi si può ricavare, con vari passaggi, l’equazione conica di essa: x²/a²+y²/b²= 1 o

|PF₂-PF₁|=2a= costante IPERBOLE L’iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Sia 2a la differenza costante della distanza di un punto p della curva dai due fuochi F1, F2 e sia 2c la distanza di questi punti . |PF₂-PF₁|=2a= costante F₂F₁=2c Da questa definizione dell’iperbole si può ricavare, con vari passaggi, l’equazione conica di essa: x²/a²+y²/b²= 1

Esperimento Cosa succede se puntiamo la luce di una torcia contro il muro ? Che “forma” ha il fascio di luce se punto una torcia con il braccio perpendicolare al muro? Che “forma” ha il fascio di luce se punto una torcia con il braccio inclinato rispetto al muro? Circonferenza Risposta: si forma una circonferenza Risposta: si forma un cono di luce Risposta: si forma un’ellisse o un iperbole Ellisse Iperbole Cono

  PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso F (detto fuoco) e una retta data d (detta direttrice).

Riferiamo gli elementi della definizione ad una coppia di assi ortogonali di cui quello delle y passa per F ed è perpendicolare alla retta data d; l’origine o ( sull’asse y) è il punto equidistante da F e da d (vertice della parabola);l’asse x è parallelo alla retta d. PF=PK La retta passante per il vertice e perpendicolare alla direttrice è l’asse di simmetria della parabola: infatti se un punto P appartiene alla parabola, anche il punto P¹ simmetrico di P rispetto a tale asse, appartiene alla parabola

PARABOLA DI EQUAZIONE y = ax² Riferiamo il fuoco e la direttrice della parabola ad un sistema cartesiano scelto in modo che l’origine coincida con il vertice e l’asse y coincida con l’asse di simmetria della parabola. In tale sistema di riferimento se p ≠ 0 è l’ordinata del fuoco, il fuoco è il punto F (0;p) ; la direttrice ha equazione y = -p Sia P(x;y) un generico punto del piano e H(x;-p) la sua proiezione ortogonale sulla direttrice. Per definizione, P appartiene alla parabola se e solo se : PF = PH Determiniamo PF e PH : PF = √( Xp – Xf)² + ( Yp – Yf )² PF = √ x² + ( y – p)² PH = ∣Yp – Yh∣ = ∣Y - (-p)∣ PH= ∣y + p∣ Sostituendo nella relazione PF = PH le espressioni trovate otteniamo : √ x² + ( y –p)² = ∣y + p∣ x² + (y - p) = (y + p)² x² + y² - 2py + p² = y² +2py + p² x² = 4py y = 1/4p * x² con p≠0 Ponendo 1/4p= a , l’equazione diviene y = a x² a≠0

x = 0 (asse y) equazione dell’asse di simmetria La relazione precedente è l’equazione di una parabola che il vertice nell’origine e l’asse di simmetria coincidente con l’asse y: V (0;0) vertice x = 0 (asse y) equazione dell’asse di simmetria Per determinare le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice della parabola, dobbiamo tenere presente la relazione: 1/4p = a 1/4a = p Grazie a essa le coordinate del fuoco F(0;p) e l’equazione della direttrice y = -p si possono esprimere in funzione di a: F (0; ) fuoco equazione della direttrice

Il coefficiente a Se nell’equazione y=ax² è a>0, la parabola passa per l’origine degli assi e in tale punto la curva è tangente all’asse x. Inoltre l’origine degli assi coincide con il vertice della parabola e tutti gli altri punti della curva si trovano al di sopra dell’asse x. Quindi la parabola volge la concavità verso l’alto y x x y Se nell’equazione y=ax² è a<0, la parabola è tangente all’asse x nell’origine, che è il vertice, ma tutti i punti della curva si trovano al di sotto dell’asse x. Quindi la parabola volge la concavità verso il basso Inoltre il valore assoluto del coefficiente a determina l’apertura della parabola. Quanto più |a| è piccolo, tanto più la parabola è “aperta”; quanto più |a| è grande, tanto più la parabola è “chiusa”. Per questo motivo a è detto coefficiente di apertura della parabola. coefficiente c determina il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.   Il coefficiente b è legato alla posizione dell'asse della parabola (la retta verticale passante per il vertice)

L’equazione è nella forma y = ax², con a = - 1/6 esempio Data la parabola di equazione y = - 1/6 x², determinare le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice e rappresentarla graficamente. L’equazione è nella forma y = ax², con a = - 1/6 Il vertice della parabola è nell’origine, essendo a<0 la parabola volge la concavità verso il basso F (0; ) F(0; - 3/2) y = 3/2

Parabola di equazione y = a x² + b x + c Vogliamo ora determinare l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y e vertice nel punto V(x₀;y₀). Sia Υ₀ una parabola con vertice nell’origine O(0;0) e asse di simmetria coincidente con l’asse y, di equazione , con a≠0. sottoponiamo i punti di Υ₀ a una traslazione di vettore v( x₀;y₀). La parabola Υ₀ è quindi trasformata nella parabola Υ con vertice V , trasformato di O, e asse di simmetria parallelo all’asse y e di equazione x = x₀. L’equazione della parabola traslata Υ si trova si trova effettuando sull’equazione di Υ₀ la sostituzione [x⇀x - x₀ ʌ y⇀y - y₀] associata alla traslazione T di equazione : y – y₀ = a (x – x₀)² Possiamo quindi concludere che una parabola con vertice nel punto V(x₀;y₀) e asse di simmetria parallelo all’asse y ha equazione y – y₀ = a(x – x₀)² a≠0 y = ax² - 2ax₀x + ax₀² + y₀ Ponendo b = - 2ax₀ c = ax₀² + y₀ y = a x² + b x + c a≠0

y-y₀= - y₀= c-ax₀² =c-a*b²/4a² y₀= -b²-4ac/4a Ogni parabola con asse di simmetria all’asse y ha equazione y=ax²+bx+c. Dalla formula ottenuta possiamo ricavare le coordinate (x₀;y₀) del vertice V di γ in funzione di a,b,c. y₀= c-ax₀² =c-a*b²/4a² y₀= -b²-4ac/4a Vertice: Asse di simmetria: Utilizzando le equazioni della traslazione troviamo che il fuoco F di γ trasformato del fuoco F₀(0; ¼ a) di γ₀ è: La direttrice di Υ₀ ha equazione e per la direttrice di γ avremo: y-y₀= - Quindi la direttrice di ha equazione + y₀ cioè

Massimi e minimi della funzione quadrica Quindi come abbiamo visto il grafico dell’equazione y=ax²+bx+c è una parabola. Dopo aver posto f(x)=ax²+bx+c osserviamo: 1) Se a>0 si ha: f(x) decresce per x<-b/2a f(x) cresce per x>-b/2a f(x) assume il valore minimo per x=-b/2a e tale valore è f(-b/2a)= -𝚫/4a quindi : Min f(x)= -𝚫/4a 2) Se a<0 si ha: f(x) cresce per x<-b/2a f(x) decresce per x>-b/2a f(x) assume il valore massimo per x=-b/2a e tale valore è f(-b/2a)= -𝚫/4a quindi : Max f(x)= -𝚫/4a

Parabola di equazione x=ay²+by+c     Parabola di equazione x=ay²+by+c Le considerazioni che abbiamo fatto sulle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y si possono ripetere, con opportune modifiche, per le parabole con asse di simmetria parallelo all’asse x . x = ay²+by+c L’equazione precedente si può ottenere dall’equazione y=ax²+bx+c sostituendo la variabile x con la variabile y. Tale sostituzione è associata alla simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante. Pertanto la parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x, di equazione x=ay²+bx+c è la simmetrica della parabola con asse di simmetria parallelo a y, di equazione y=ax²+bx+c. Quindi per determinare fuoco, vertice, direttrice e asse della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x, basta scambiare x con y nelle formule già viste precedentemente della parabola con l’asse parallelo all’asse y Direttrice: Asse di simmetria: Se a>0 la parabola volge la concavità verso destra Se a<0 la parabola volge la concavità verso sinistra

REALIZZATO DA: Campana Miriana D’Addario Laureana

IL CONO CONO RETTO Quando un triangolo rettangolo ruota intorno ad un cateto fissato fino a ritornare alla posizione da cui era partito, la figura così racchiusa è un CONO RETTO. In alternativa, un CONO RETTO è la figura delimitata dal cerchio e dalla superficie conica situata tra il VERTICE V, che giace sull’asse perpendicolare alla base, e la circonferenza del cerchio. CONO QUALSIASI Un CONO è la figura delimitata dal cerchio e superficie conica situata tra il VERTICE V e la circonferenza del cerchio; L’ASSE del cono è la retta tracciata dal vertice al centro del cerchio; e la BASE è il cerchio.

… PENSIERO DÌ MENECMO … Se il triangolo rettangolo è isoscele ( angoli alla base = 60°), si ottiene l'ortotome (parabola). Se il triangolo rettangolo è acutangolo, (3 angoli <90°), si ottiene l'oxitome (ellisse). Se il triangolo rettangolo è ottusangolo, (1 angolo >90°), si ottiene l'amblitome (iperbole).

… PENSIERO DÌ APOLLONIO … Egli affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche, variando semplicemente l’inclinazione del piano di intersezione. Inoltre dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o in coni retti. Circonferenza Ellisse Parabola Iperbole

Applicazioni alla vita reale de circonferenza Il radar Il radar è un sistema che usa le onde radio per rilevare la distanza, la posizione e la velocità di oggetti: la più importante applicazione è il rilevamento di posizione, rotta di aerei e navi. tagliare un tronco d’albero Astronomo e fisico, Aristarco , è noto soprattutto per avere per primo introdotto una teoria astronomica nella quale il Sole e le stelle fisse sono immobili mentre la Terra ruota attorno al Sole percorrendo una circonferenza. La bandiera olimpica . Secondo l'interpretazione ufficiale i cinque cerchi rappresentano i cinque continenti. I cerchi simboleggiano gli ideali di universalità e fratellanza. Ruota panoramica

SCIENZA Jhoannes Keplero (1571-1630) astronomo e matematico tedesco scoprì empiricamente le leggi che governano il movimento dei pianeti studiando i dati sperimentali di Tycho Brane di cui fu assistente. Keplero propone un modello eliocentrico in cui non vengono più considerate le orbite circolari, le forme perfette, ed è supportato nel farlo dai dati sperimentali ottenuti da Tycho Brahe. Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la Terra tale piano è detto ellittica. Cosi formulò la prima legge : « L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. »

ARTE Specchio neoclassico francese Tavolino barocco Esposto in “Il Barocco Andino e le Serie Angeliche”, Castello della Marigolda, Curno (Bergamo) Il dipinto rappresenta L’Arcangelo Archibugiere Aspiele , mentre porta l’archibugio rivolto verso il basso.  Bernini. Piazza S. Pietro, Roma.

ARCHITETTURA Arena di Pompei Chiesa di San Carlo alle quattro fontane (San Carlino) a Roma. La chiesa venne realizzata da Francesco Borromini. L'interno è un'altra splendida architettura di Borromini che con apparente semplicità sfrutta i ridotti spazi presenti conferendogli plasticità uniche, è difficile capire da quale parte prende inizio il progetto borrominiano ... probabilmente dall'idea di alternare pareti concave e convesse, infatti il Borromini si muove all'interno di uno spazio romboidale ricavato a sua volta all'interno del corpo di fabbrica a disposizione, ovvero un ottagono allungato, gli ordini superiori poi vennero concepiti armonizzando le linee curve con la più naturale delle forme geometriche allungate: l'ellisse. pianta della chiesa di Sant'Andrea al Quirinale (1658) a Roma, opera di Gian Lorenzo Bernini Stadio di Taiwan, con pannelli solari Piazza San Pietro a Roma, progettata da Gian Lorenzo Bernini. I fuochi dell'ellisse sono evidenziati sulla pavimentazione. L'arena romana di Nimes in Francia

LEGGE DÌ BOYLE La legge di Boyle e Mariotte afferma che in condizioni di temperatura  costante la pressione di un gas perfetto è inversamente proporzionale al suo volume, ovvero che il prodotto della pressione del gas per il volume da esso occupato è costante. Ne segue che per una certa temperatura in un diagramma con il volume V del gas in ascissa e la pressione P in ordinata (piano di Clapeyron) la legge di Boyle è rappresentata da un ramo (quello positivo) di un'iperbole equilatera, come evidenziato nel diagramma qui a lato.

Un’occasione in cui possiamo osservare una iperbole completa è quando una lampada con paralume di forma cilindrica o conica, aperto da entrambe le parti, proietta la sua ombra sulla parete vicina. I nostri nonni potevano osservare un ramo di iperbole su una parete quando ponevano, sul comodino accanto alla parete, una candela accesa su un candeliere avente la base circolare. La forma che assume la superficie libera dell’acqua (o della sabbia ) di una clessidra, formata da un cono a due falde, appoggiata su una superficie piana rappresenta una iperbole Il profilo delle grandi torri di raffreddamento dell’acqua negli stabilimenti industriali ci presenta una iperbole.

Il primo e più importante è il moto dei corpi Il primo e più importante è il moto dei corpi. Tutti gli oggetti spinti in aria descrivono, cadendo, archi di parabola L’acqua zampillante di una fontana, di una cascata, di un irrigatore a getto … … Le foglie molto lunghe delle piante si dispongono ad arco di parabola. … le particelle luminose dei fuochi d’artificio

Gli specchi stradali e gli specchietti retrovisori sono specchi parabolici convessi (la riflessione avviene sulla superficie esterna della forma parabolica, cosicché il fuoco della superficie riflettente giace dalla parte opposta dello specchio rispetto all'osservatore). Con tali specchi è possibile vedere oggetti sotto un grande angolo poiché si crea un'immagine virtuale dritta e rimpicciolita dell'oggetto a qualunque distanza esso si trovi davanti allo specchio.

Principio della parabola … Se si pone una sorgente nel fuoco di uno specchio parabolico, per esempio una lampadina, i raggi riflessi formano un fascio parallelo all'asse, meno disperso e di più alta luminosità direzionata. Questo principio viene sfruttato nella costruzione dei fari dei porti (il fascio di luce deve essere visibile a grande distanza e deve indicare chiaramente la direzione di provenienza), Fari delle automobili (oltre ad assicurare una buona illuminazione della strada, il fascio di luce proiettato in un'unica direzione, verso la strada, evita di abbagliare i conducenti delle auto provenienti in senso contrario), di flash, torce elettriche e dei proiettori in genere.

SCIENZA … Gli specchi ustori sono specchi in grado di concentrare i raggi paralleli provenienti dal Sole in un punto, detto fuoco dello specchio. Tale scoperta viene attribuita ad Archimede. Uno specchio ustore può essere realizzato con uno  specchio parabolico, uno specchio, cioè, la cui superficie abbia la forma di un paraboloide di rotazione. Naturalmente la funzione degli specchi ustori può essere svolta con buona approssimazione anche usando un gran numero di specchi piani che riflettano la luce in un unico punto. Si è ipotizzato che questa seconda soluzione (ottenuta magari con specchi indipendenti, ciascuno manovrato da una persona) sia stata quella utilizzata in pratica. Vennero usati durante la seconda guerra punica fatta tra Romani e Fenici.

Il radiotelescopio è una grande superficie parabolica che raccoglie le onde radio provenienti da una sorgente celeste. LA parabola solare termica a concentrazione I pannelli solari termici installati fin'ora sui tetti producono acqua calda prevalentemente nella bella stagione o in zone felici dal punto di vista climatico, la parabola (per le sue caratteristiche) permette di raccogliere i raggi solari in maniera tale da scaldare l’acqua a buone temperature anche in pieno inverno e in condizioni di cielo coperto. RadioAstron, il più grande telescopio mai messo in orbita. Con la sua antenna da 10 metri lavorerà con i maggiori radiotelescopi terrestri creando una rete in grado di fornire immagini dettagliatissime dell'universo, con una risoluzione mille volte più precisa del telescopio Hubble. 

Moto Parabolico y = - ½ g/v̥²x² Il moto parabolico è la composizione di due moti : Moto rettilineo uniforme in orizzontale Moto uniformemente accelerato in verticale Velocità iniziale orizzontale Per ottenere la traiettoria del moto occorre conoscere la posizione del corpo in ogni istante, sapendo che la sua posizione lungo l’asse X si trova utilizzando la formula del moto rettilineo uniforme : x = v̥t Mentre per trovare la posizione del corpo sull’asse delle Y si usa la legge del moto uniformemente accelerato : y = - ½ gt² Equazione cartesiana della traiettoria di un corpo, essa rappresenta una parabola che ha il vertice nell’origine degli assi. y = - ½ g/v̥²x²

Velocità iniziale obliqua Consideriamo una palla da basket che viene lanciata verso il canestro, è conveniente scomporre la velocità iniziale nelle sue componenti orizzontali e verticali v Vx e Vy. Per il teorema di Pitagora abbiamo che v ̥ = √ (Vx)²+ (Vy)² Con un procedimento analogo a quello precedente otterremo l’equazione della traiettoria di questo moto : Y = Vy / Vx * x – ½ g/v²x * x² Quindi anche la traiettoria di un oggetto lanciato in direzione obliqua è una parabola

ARCHITETTURA Ponte di Brooklyn, a New York di J. A. Roeblig (1869 - 1883). Ponte di Garabit, Francia di Gustave Eiffel (1880) con campata centrale di 165 m. Ponte Alameda, a Valencia, di Santiago Calatrava (1995). La chiesa di Grignano architetto Zocconi la chiesa a san Luigi Barcellona

ARTE Barcellona. Park Güell. Particolari interni ed esterni del rivestimento in maiolica della grande panchina ondulata. IL MANIFESTO DELL’ARCHITETTURA FUTURISTA, e la “città nuova” di Antonio sant’ Elia. Barcellona. Palau Güell (1886-89). Facciata principale casa vicens. A Gaudí di utilizzare i migliori materiali reperibili in tutto il mondo. Fu in questo palazzo che comparvero per la prima volta gli archi parabolici, ricordo dell’arco ogivale medievale e neogotico.

Curiosità Barcellona. Park Güell. Gaudì a Barcellona Gaudì ha ricamato Barcellona con le sue opere pazzesche apparentemente irregolari e fantasiose ma costruite secondo scienza e rigore. L’architetto utilizza due curve matematiche : la parabola e la catenaria che in realtà sono due luoghi geometrici. La parabola è definita come la linea che si ottiene intersecando un cono circolare con un piano parallelo a una delle rette che descrive la superfice del cono. Si puo notare che se su una curva agisce una forza peso, questa si distribuisce lungo la parabola in modo che gli sforzi risultino equamente distribuiti lungo la direttrice. Ruotando e traslando la parabola lungo la retta, il fuoco della conica descrive la catenaria. Questa curva ha una proprietà molto importante dal punto di vista dell’equilibrio : soggetta ad un carico, distribuisce il peso uniformemente lungo la curva stessa. Barcellona è una città che brilla di luce propria e rispecchia la bellezza della luce matematica, facendo rispettare aria di civiltà e liberta ai cittadini provenienti da tutto il mondo. Barcellona. Casa Calvet (1898-1900). Facciata principale. Park Güell. Particolare della fontana con la salamandra sulla scala di accesso alla sala ipostila.

“ Barcellona è una città che brilla di luce propria e rispecchia la bellezza della luce matematica, facendo respirare aria di civiltà e libertà ai cittadini provenienti da tutto il mondo. “ Cit. Gaudì L’architetto catalano costruisce modelli dei suoi progetti con corde con alle quali appende sacchetti di sabbia. A seconda della disposizione degli stessi, le corde assumono la configurazione di una parabola, se i sacchetti si distribuiscono uniformemente lungo la direttrice, oppure di una catenaria se i sacchetti si distribuiscono uniformemente lungo la curva stessa. Solo una volta ottenuto un risultato soddisfacente, l’artista capovolge il tutto e applica il modello ottenuto alle sue architetture. Barcellona Gaudí architettura inside la Sagrada Familia camminata sorretta da dei pilastri di roccia avvolgenti che sembrano uscire dal suolo come dei tronchi d'albero.   Parco Güell 

Duplicazione del cubo Il problema della duplicazione del cubo, ossia la costruzione di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di un cubo di spigolo dato costituisce,  uno dei tre problemi classici della geometria greca. Il problema della duplicazione del cubo è giunto a noi sotto forma di mito. La prima testimonianza in merito è una lettera di Eratostene al re Tolomeo III citata, settecento anni più tardi. Vi si narra di un antico tragico che, mettendo in scena il re Minosse al cospetto del sepolcro in costruzione, di forma cubica, del re Glauco, disse: «piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati». Eratostene, dopo aver rilevato che l'ordine dato era erroneo, perché raddoppiando i lati di un cubo se ne ottiene un altro con volume otto volte maggiore, riferisce che nacque tra gli studiosi il cosiddetto "problema della duplicazione del cubo". La seconda testimonianza, conosciuta come Problema di Delo. Egli, citando Eratostene, riporta che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l'oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, avessero ricevuto l'ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente. I problemi classici, così come tutti i problemi della matematica, non risultano ben posti se non dopo che si sia precisato l'insieme degli strumenti assegnati per la loro risoluzione. È pertanto possibile distinguere due questioni relative alla risoluzione del problema della duplicazione del cubo: una prima questione riguarda l'impossibilità di risolvere il problema con quelli che vengono chiamati "strumenti elementari", cioè la riga e il compasso; una seconda questione riguarda la ricerca di altri strumenti o procedimenti.