relazioni tra radici e simmetrie Lezione 3 POLINOMI E FUNZIONI relazioni tra radici e simmetrie Lezione 3

Delle radici conosciamo la somma, la somma dei prodotti a due a due…. ed è da questi valori, che sono i coefficienti dell’equazione e quindi tutto quello che abbiamo a disposizione, che dobbiamo ottenerle. Sai perche? Prova a fare il prodotto di (x-x1) (x-x2) (x-x3) Vedrai che: il coefficiente di x2 è dato da …………….. il coefficiente di x è dato da ……………………

In generale in una equazione xn+an-1xn-1+……………..a1x+a0=0 an-1 è l’opposto della somma delle radici an-2 è la somma dei prodotti due a due delle radici an-3 è l’opposto della somma dei prodotti delle radici tre a tre

L’equazione ci presenta le radici insieme Tocca a noi separarle

Non è possibile separare le radici Se a e b sono le radici di un polinomio irriducibile p(x), Esiste un altro polinomio a coefficienti razionali che ammette la radice a ma non b ?

Teorema Se un polinomio irriducibile p(x) ha una radice in comune con un polinomio f(x), allora ha anche tutte le radici di p(x) sono radici di f(x) Attenzione è irriducibile in Q

Il teorema si dimostra tenendo conto che il massimo comun divisore tra due polinomi si calcola senza uscire dal campo dei coefficienti. Se ne conclude che Non è possibile distinguere tra loro le radici di un polinomio irriducibile a partire dai polinomi che essi soddisfano E’ invece possibile distinguere da Il primo è infatti radice di ma non di

Se non è possibile separare le radici si possono separare tra loro insiemi di radici? In alcuni casi ciò è possibile consideriamo il polinomio

La somma delle radici è zero ( coefficiente di ) Se a è una radice anche –a lo è Quindi non solo la somma delle radici e zero ma anche la somma delle radici due a due lo è In pratica Le coppie di radici (a1, a2) (a3, a4) sono tali che a1+ a2=0 e a3+a4=0 Se scambiamo le radici a1, a3 e contemporaneamente a2, a4 le coppie si scambiano ma l’ambiguità resta la stessa Allo stesso modo se operiamo la permutazione ciclica La coppia (a1, a2) si trasforma in (a3, a4) e quest’ultima in (a1, a2) Delle 24 permutazioni possibili sulle ai, otto conservano le due coppie

Le permutazioni accettabili si possono visualizzare così:

Se facciamo corrispondere le quattro radici ai vertici di un quadrato queste otto permutazioni rappresentano anche le otto simmetrie del quadrato, cioè le otto trasformazioni che conservano le distanze tra punti ( isometrie ) Vediamo la rapprentazione grafica della permutazioni

Si può verificare che nessun’altra oltre alle otto permutazioni viste conserva tutte le relazioni tra le quattro radici. Queste permutazioni formano un gruppo: il gruppo di Galois dell’equazione, sottogruppo del gruppo Sn di tutte le permutazioni sulle n radici ( gruppo simmetrico)

Si dice GRUPPO un insieme dotato di una operazione che gode delle seguenti proprietà L’operazione è associativa Esiste un particolare elemento, l’identità, che composto con tutti gli altri sia a destra che a sinistra li lascia invariati Ogni elemento è dotato di inverso ossia di un elemento che composto con tutti gli altri sia a destra che a sinistra da come risultato l’identità

Teorema di Lagrange Sia G un gruppo con un numero finito n di elementi. Allora il numero di elementi di ogni sottogruppo H di G è un divisore di n