LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

1. LE FUNZIONI SENO E COSENO /15 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato a, cos a = xB , sen a = yB . e sia B il punto della circonferenza associato ad a. Definiamo coseno e seno di a, e indichiamo con cos a e sen a :

1. LE FUNZIONI SENO E COSENO /15 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Circonferenza di raggio unitario Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi Scopriamo che: Indichiamo con (x; y) le coordinate di B. Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. e e quindi sen a e cos a x = cos a non dipendono dalla particolare circonferenza considerata, y = sen a ma solo dall’angolo a.

1. LE FUNZIONI SENO E COSENO /15 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo. Triangoli rettangoli Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli. sen a = rapporto tra il cateto opposto all’angolo e l’ipotenusa. cos a = rapporto tra il cateto adiacente all’angolo e l’ipotenusa.

2. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO /15 2. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE sen x = –sen (–x) . cos x = cos (–x) ; PROPRIETÀ In particolare si verifica che: –1 ≤ sen x ≤ 1 ; –1 ≤ cos x ≤ 1 ; Costruiamo il grafico delle funzioni y = sen x e y = cos x in [0; 2p] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le coordinate dei punti della circonferenza goniometrica.

3. SINUSOIDE E COSINUSIDE /15 3. SINUSOIDE E COSINUSIDE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE sen (x + 2p) = sen x = sen (x + 4p) = ... , cos (x + 2p) = cos x = cos (x + 4p) = … , cioè sen (x + 2kp) = sen x , cos (x + 2kp) = cos x . Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2p . Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide. I due grafici differiscono per una traslazione di p/2. p 2

4. LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE /15 4. LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Prima relazione fondamentale della goniometria cos2 a + sen2 a = 1 mentre, se è noto sen a , . Da cui, se è noto cos a , ,

/15 5. LA FUNZIONE TANGENTE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE DEFINIZIONE Tangente Consideriamo un angolo orientato a, e sia B il punto della circonferenza associato ad a. Definiamo tangente di a il rapporto, quando esiste, tra l’ordinata e l’ascissa di B: .

5. LA FUNZIONE TANGENTE Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi /15 5. LA FUNZIONE TANGENTE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi Triangolo rettangolo tg a = rapporto tra il cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente. tg a = ordinata di T. Un altro significato geometrico Consideriamo il cerchio goniometrico e la sua tangente t. Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'.

6. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE TANGENTE /15 6. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE TANGENTE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE PROPRIETÀ In particolare si verifica che: tg x tende a + o – quando x si avvicina a p/2, tg x = – tg (–x). Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;p] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y l’ordinata del punto T.

7. LA TANGENTOIDE cioè tg (a + kp) = tg a . /15 7. LA TANGENTOIDE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE tg (a + p) = tg a = tg (a + 2p) = ... cioè tg (a + kp) = tg a . La funzione tangente è periodica di periodo p . Il grafico completo della funzione tangente si chiama tangentoide.

8. LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE /15 8. LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Seconda relazione fondamentale della goniometria , yB = sen a , xB = cos a , .

9. ESERCIZI: SENO E COSENO /15 9. ESERCIZI: SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Disegna, utilizzando la circonferenza goniometrica, gli angoli a cui corrispondono i seguenti valori.

9. ESERCIZI: SENO E COSENO /15 9. ESERCIZI: SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Calcola il valore della funzione indicata, utilizzando le informazioni fornite.

10. ESERCIZI: LA TANGENTE /15 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli. Per ogni angolo a in figura, individua tg a, quando esiste, sulla retta tangente alla circonferenza.

10. ESERCIZI: LA TANGENTE /15 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE Calcola il valore di tg a, usando le informazioni fornite.