Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 6

Proprietà acov e acorr di un p.s. stazionario 0=2 0=1 |k|≤0 |k|≤1 k=-k ρk=ρ-k

AUTOCORRELAZIONE PARZIALE Nel contesto delle serie storiche, parte della correlazione tra Yt e Yt+k puo essere dovuta alla correlazione che tali variabili hanno con Yt+1, Yt+2, …, Yt+k-1. Un modo per tener conto di ciò è considerare la funzione di autocorrelazione parziale, che misura l'autocorrelazione tra Yt e Yt+k , al netto delle variabili intermedie. Utile per la fase di identificazione dei modelli ARMA.

Correlogramma parziale: grafico di Pk per k = 0,1,2,…

White Noise È il più semplice p.s. stazionario È costituito da una sequenza di variabili casuali incorrelate a media nulla e varianza costante Viene indicato con at  WN(0, a2), dove E(at ) = 0 Var(at2)=E(at2 ) = a2 E(at at-k ) = 0 per k  0

Invertibilità Un p.s. {Yt} è invertibile se con tWN Proprietà importante: a fini previsivi per garantire corrispondenza biunivoca tra p.s. e funzione di autocovarianza (o di autocorrelazione)

Processo stocastico stazionario → k e ρk in modo univoco E’ vero il contrario? (Data una funzione di autocovarianza, è unico il p.s. stazionario che la possiede?) NO Si può dimostrare che esistono più p.s. stazionari con la stessa funzione di autocovarianza. Uno solo, però, è invertibile.

Ergodicità Dato che nelle applicazioni si dispone, per ogni t, di una singola realizzazione della v.c. yt, il processo inferenziale presenterebbe complicazioni insuperabili se non venisse imposta, oltre alla stazionarietà, anche un’altra restrizione sulle caratteristiche del processo: l’ergodicità. L’ergodicità si definisce rispetto ad un parametro (es. la media)

Media temporale: Media di insieme: 𝜇 𝑗 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑗 ( 𝜔 𝑖 ) 𝜇 𝑗 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑗 ( 𝜔 𝑖 ) Un processo stocastico stazionario è detto ergodico rispetto alla media se, al crescere di t, la media temporale converge alla media di insieme (= allo stesso valore a cui tende il valore atteso delle singole variabili aleatorie). Si dimostra che un p.s. gaussiano stazionario è ergodico se

STIMA DEI MOMENTI DI UN P.S. STAZIONARIO MEDIA stimatore corretto e consistente

AUTOCOVARIANZA stimatore distorto, asintoticamente corretto e consistente VARIANZA AUTOCORRELAZIONE

Per un processo WN, vale inoltre il risultato che 𝜌 𝐾 ha distribuzione asintotica normale con media nulla e varianza pari a 1/N. Tale risultato viene solitamente utilizzato al fine di costruire bande di confidenza approssimate al 95% attorno allo zero per valutare la significatività delle autocorrelazioni stimate: queste sono giudicate non significativamente diverse da zero se sono interne all’intervallo [− 2 𝑁 ; + 2 𝑁 ].

Teorema di Wold Teorema fondamentale per passare dal concetto di p.s. ai modelli che sono in grado di catturarne le caratteristiche Consente di derivare la classe dei processi ARMA Ogni p.s. stazionario (in senso debole) Xt può essere scomposto nella somma di due componenti incorrelate, una deterministica e una stocastica, riconducibile a una sequenza infinita di variabili causali incorrelate (processo lineare)

Vt è una componente deterministica, nel senso che è prevedibile senza errore Zt è una componente stocastica, nel senso che è possibile solo fare affermazioni probabilistiche sul suo futuro. Zt si dice processo lineare è possibile scrivere Zt utilizzando un polinomio di ordine infinito in B: Zt = (B)at Non è possibile fare inferenza sugli infiniti parametri  j di Zt (ci vorrebbero serie di lunghezza infinita), è quindi necessario approssimare Zt con una parametrizzazione più parsimoniosa