Definizione di perdita attesa H(0,t)= P(0,t)(1-ω) P(0,t)= probabilità di default ω= tasso di recupero Dott. Daniele D’Arienzo Università degli Studi di Trieste

Due diversi approcci per stimare P(0,T) Approccio attuariale o retrospettico (backward – looking): si basa sull’utilizzo di serie storiche (approccio attuariale) e può soffrire di errori in caso di cambiamenti strutturali e congiunturali Approccio finanziario o prospettico (forward looking): si basa su dati di cross – section e cerca di estrarre attraverso un modello finanziario, quante più informazioni è possibile ricavare dalle ultime relazioni di bilancio e dalle quotazioni correnti di azioni e/o obbligazioni

Approccio finanziario I più noti ed importanti modelli volti alla determinazione del rischio di credito sono tre: il primo si basa sui prezzi delle obbligazioni Il secondo sulle insolvenze storicamente osservate Il terzo sui corsi azionari

P(0,T) basata sui prezzi obbligazionari La stima della probabilità d’insolvenza, ricorrendo a tale metodologia, viene desunta dal confronto tra due zero coupon bonds, dei quali il primo è privo del rischio d’insolvenza, mentre il secondo è soggetto al default quindi: P(0,T)= 1 – e-η(T)T/1-ω Dove ω rappresenta il recovery rate ed η il credit spread per la scadenza T

P(0,T) basata sulle osservazioni storiche Per definire la relazione che lega tra loro le probabilità neutrali verso il rischio, basate sui prezzi delle obbligazioni, e le probabilità effettive occorre stimare il premio per il rischio richiesto dagli investitori in un ambiente pienamente diversificato. Ricorrendo al CAPM si ottiene la seguente relazione: η= η*+β(RM-Rf) η* = credit spread che si determinerebbe sul mercato in base alla probabilità d’insolvenza effettiva ed in assenza di rischio sistematico In base all’equazione precedente si possono determinare le probabilità effettive a partire da quelle in assenza di rischio sistematico p=p*+ (e-η*T- e-ηT)/1-ω

Merton Il modello di Merton offre un importante inquadramento teorico ai problemi di stima sia della probabilità di default che del tasso di recupero. In suddetto modello si ricorre alla formula di Back and Scholes ed in particolare al suo utilizzo come metodo di derivazione del valore dell’impresa (option pricing model e contingent claims).

Principali ipotesi dell’option pricing model 1) Il valore economico delle assets dell’impresa debitrice segue un moto browniano geometrico dV= µVAdt + σAVAdz µ e σA rappresentano il drift e il volatility rate 2) dz è un processo di Wiener

Una volta descritto il modello utilizzato e definito il default quale evento probabilistico che il valore delle assets dell’impresa debitrice al tempo t sia inferiore al suo debito, possiamo stimare sia la probabilità di default che il recovery rate

Probabilità di default P(0,T)= N(-d2) N è la funzione di densità cumulata e d2 è simile alla quantità utilizzata nella consueta di formula di Black and Scholes

Recovery Rate Il tasso di recupero atteso può essere definito tramite un valore medio condizionato all’ipotesi che il valore delle assets dell’impresa sia inferiore al suo debito. Come visto in precedenza, ricorrendo alla formula di Black & Scholes si può pervenire a una equazione matematica che lo identifichi. ω = E(VA/Xt)*N(-d2)/N(- d1)

Pricing di un credito bancario Rd =Rf + h Rf = free risk rate h = perdita attesa Rd = tasso teorico del credito associato ad una determinata classe di rating

La funzione di utilità U(h) Rd =Rf + h U(h) =h –h2/2b con b>0 U(h)>U(Rf) Rd =Rf + h –h2/2b Da tale relazione matematica, si può notare come il tasso applicato dalla banca sarà funzione del free risk rate, della perdita attesa e di un fattore di correzione che varierà da cliente a cliente in base al suo merito creditizio.

Pricing di un credito all’interno di una banca Dalla tabella esposta, osserviamo, nell’ambito di una banca, i diversi credit spread, rappresentati dalla funzione di utilità, che vengono applicati ai singoli clienti in base al loro parametro b.

Congiunzione tra il criterio dell’utilità attesa e il criterio media varianza A questo punto notiamo come la banca, tramite l’applicazione del criterio dell’utilità attesa, riesca ad effettuare un’allocazione delle proprie risorse finanziarie in base ad un criterio di rischio – rendimento che però contenga anche degli elementi qualitativi rappresentati dalla funzione di utilità

Confronto fra due banche U(h) =h –h2/2b U’(h)=h+(b/2)h2

Prestito obbligazionario Rd =Rf + (Rm – Rf)ßd ßd indicatore di rischio sistematico di default. Tale espressione, rappresenta il tasso di rendimento di un titolo di debito su cui non è avvenuto ancora il processo di diversificazione legato al mercato.

Effetti della diversificazione η = h+(Rm-Rf) ßtasso con η intendiamo il credit spread comprendente il rischio sistematico non più diversificabile rappresentato dal parametro ßtasso η + Rf = Rd +(Rm-Rf) ßtasso se poniamo Rd1 = η+ Rf Rd1 = Rd +(Rm-Rf) ßtasso dove Rd1 rappresenta il tasso di rendimento di un titolo di debito immerso nel mercato dei capitali.

Effetti della diversificazione Rd1 = Rf + (Rd- Rf) + (Rm-Rf) ßtasso Rf: compenso per la preferenza intertemporale Rd- Rf: premio per il rischio sistematico di default (Rm-Rf) ßtasso: premio per il rischio sistematico