LA PARABOLA

ARGOMENTI TRATTATI L’equazione della parabola Questioni basilari Questioni relative alle rette tangenti Curve deducibili dalla parabola Discussione di sistemi di 2° grado con parametro Il Segmento parabolico Proprietà ottica della parabola

L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA Definizione Si dice parabola P il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto F, detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice. Il punto medio del segmento, FK in figura, la cui misura è la distanza fuoco-direttrice, è il vertice V della parabola. Dalla definizione data, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della parabola con il vertce nell’origine. Sia F (0 ; f ), con f R0 , il fuoco, d: y = -f la direttrice e P(x;y) un generico punto P della P. Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

Osservazioni sul coefficiente a Dall’equazione y = ax2 si deduce che: 1. a > 0  y  0 , il grafico della P si trova nel semipiano positivo delle y, concavità verso l’alto; a < 0  y  0 , il grafico della P si trova nel semipiano negativo delle y, concavità verso il basso; Per a = 0 la parabola degenera nella retta y = 0 (asse delle ascisse).

2. All’aumentare del valore assoluto di a, diminuisce l’apertura della parabola e viceversa.

Equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate Mediante una traslazione del sistema di riferimento della parabola di equazione y = ax2 , si ottiene l’equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate: y = ax2 + bx + c .

Equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse Ogni parabola con asse parallelo all’asse x si può ottenere mediante una trasformazione simmetrica T, rispetto alla retta y = x, di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y.

PARABOLE PARTICOLARI Data l’equazione y = ax2 + bx + c : • se b = 0 l’equazione diventa y = ax2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, infatti ax2 + c = a(-x)2 + c ; • se c = 0 l’equazione diventa y = ax2 + bx e il grafico della parabola passa per l’origine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione y = ax2 + bx . Data l’equazione x = ay2 + by + c : • se b = 0 l’equazione diventa x = ay2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse delle ascisse, infatti ay2 + c = a(-y)2 + c ; • se c = 0 l’equazione diventa x = ay2 + by e il grafico della parabola passa per l’origine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione x = ay2 + by .

QUESTIONI BASILARI Date le seguenti equazioni di parabole, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato gli elementi caratteristici (vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice) e le intersezioni con gli assi cartesiani.

2. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una parabola 2. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una parabola. Facendo riferimento all’equazione y = ax2 + bx + c , determinare l’equazione di una parabola significa determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare tre equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono le seguenti: • le coordinate del vertice V(xV;yV), forniscono due fra le seguenti tre condizioni: condizione di passaggio, xV = -b/2a , yV = -/4a ; • le coordinate del fuoco F(xF;yF), forniscono due condizioni: xF = -b/2a, yF = (1-)/4a ; • conosco l’equazione della direttrice: ydir = -(1+)/4a ; • conosco l’equazione dell’asse di simmetria: xasse = -b/2a ; • condizione di passaggio per un dato punto P(xp ; yp); • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q Se si conoscono le coordinate del Fuoco e l’equazione della direttrice, basta applicare la definizione di parabola come luogo geometrico (pag. 3) . Si fanno considerazioni analoghe per la parabola di equazione x = ay2+ by + c.

2a. Determina l’equazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.

2b. Determina l’equazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.

2c. Determina l’ equazione della parabola avente il fuoco F(2 ; 3/2) e il vertice V(2;2).

2d. Determina l’ equazione della parabola avente il vertice V(0;1) e direttrice d: x = -1/4 .

QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI Analizziamo questi due problemi: determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola, condotte da un punto di note coordinate; determinare l’equazione della parabola tangente ad una retta di nota equazione. Rette tangenti alla parabola, condotte da un punto P Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle “coniche”, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento. Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene alla parabola. Esempi a. Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equaz. y = x2 - 2 e passanti per P(1; -5) .

Determina l’equazione della retta tangente alla parabola di equaz Determina l’equazione della retta tangente alla parabola di equaz. y = -x2 +3x , nel suo punto A di ascissa positiva e di ordinata -4.

2. Parabola tangente ad una retta di nota equazione Esempio

CURVE DEDUCIBILI DALLA PARABOLA

DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO PARABOLA – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di parabole. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la parabola nel caso (1), o la retta interseca le parabole nel caso (2). In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1). Esempi

Le limitazioni 0  x  3 individuano l’arco di par Le limitazioni 0  x  3 individuano l’arco di par. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – parabola. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per una retta tangente e per le rette passanti per O(0;0) e per B(3;3). • Retta per O: kO = 0 ; • Retta per B: kB= -3 ; • Retta tangente: kT = - 4 , infatti:

Le limitazioni x  -1 individuano l’arco di par. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – parabola. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per una retta tang. e per la retta passante per A(-1;1). • Retta per A: kA = 1 ; • Retta tangente: kT = 4 – 81/2 , infatti:

IL SEGMENTO PARABOLICO La regione finita S di piano delimitata dall’arco di parabola AVB e dal segmento AB, prende il nome di segmento parabolico. Teorema di Archimede: L’area del segmento parabolico S equivale ai 2/3 dell’area del rettangolo AHKB ( HK è il segmento parallelo ad AB, che si trova sulla retta t, tangente alla parabola) .

Esempio: determina l’area del segmento parabolico S delimitato dalla parabola y = x2 - 2x e dalla retta y = - 2x + 4 .

PROPRIETA’ OTTICA DELLA PARABOLA Un raggio di luce proveniente dal fuoco si riflette sulla parabola in direzione parallela all’asse di simmetria e, viceversa, un raggio proveniente da una direzione parallela all’asse di simmetria viene riflesso nel fuoco. Questa proprietà, che si può facilmente dimostrare per via analitica, trova importanti applicazioni tecniche, per esempio nella costruzione dei proiettori (luce dal fuoco) e degli specchi ustori (luce verso il fuoco).