Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore: Il calcolo infinitesimale nei licei Marzo-Aprile 2012 LaboratorioDidattico effediesse Dipartimento diMatematica – Politecnico di Milano Prof. Marco Bramanti Pagina web del corso (materiale scaricabile ecc.): www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/corso_formazione_analisi_2012.htm Raggiungibile anche dalla pagina web effediesse: http://fds.mate.polimi.it/ formazione, formazione docenti, calcolo infinitesimale, link a fondo pagina.

Lezione 3. Limiti di funzioni; continuità. Dalle indicazioni nazionali per il 5° anno dei licei non scientifici. Matematica, Relazioni e funzioni “(Lo studente) acquisirà il concetto di limite di una successione e di una funzione e apprenderà a calcolare i limiti in casi semplici. Lo studente acquisirà i principali concetti del calcolo infinitesimale – in particolare la continuità…”.

Ripresa dei limiti di successioni La preparazione remota, nell'arco dei 4 anni precedenti e ripresa all'inizio della 5a: familiarità con le funzioni reali di variabile reale, nei vari aspetti segnalati (logici, analitici, grafici); familiarità con l'uso di quantificatori e variabili; l'uso dei valori assoluti, il significato geometrico del modulo della differenza come distanza sulla retta e le relative disuguaglianze; catene di uguaglianze e disuguaglianze con valori assoluti.

Ripresa dei limiti di successioni Il concetto di successione. La legge, l'aspetto grafico, l'attenzione logica alla variabile . La definizione di limite: 1. Introduzione intuitiva; 2. Definizione formale (la cui difficoltà dovrebbe risultare ridotta dalla ripresa della “preparazione” sopra segnalata); 3. Significato grafico - intuitivo della definizione formale (grafici interattivi, aspetto iterativo-dinamico della definizione di limite);

Ripresa dei limiti di successioni 4. Esempi analitici per mostrare invece l'aspetto statico della concatenazione di disuguaglianze con variabili. Commento: l'ultima parola sulla definizione di limite non è l'aspetto grafico-intuitivo, che può lasciare ancora l'idea di un concetto fumoso, non rigoroso, con le sue iterazioni infinite: l’esempio analitico mostra che, ad esempio, fissato , basta scegliere n > 7/ , che è una disuguaglianza più semplice di tanti grafici colorati interattivi! Pochi esempi analitici sulla definizione, poi passare oltre.

Ripresa dei limiti di successioni Definizione di limite infinito e di non esistenza del limite, con analoghi esempi. Successioni notevoli potenza ed esponenziale. Poi c'è da sviluppare un “pacchetto teorico” di teoremi: unicità del limite, algebra dei limiti, algebra dei limiti infiniti, teorema del confronto e di permanenza del segno. In questa parte: La definizione di limite entra (nel suo aspetto formale) nelle dimostrazioni dei teoremi; NON entra nel calcolo dei limiti, che si appoggia sui teoremi e sui limiti elementari. Ad esempio…

Perché tutto questo? Così facendo non c’è troppa teoria? Ruolo concettuale, teorico, dei limiti di successioni. In questa prima fase l’obiettivo non è il saper calcolare limiti (o “verificare la definizione di limite”): esercizio, per lo studente, è anche andare alla lavagna e ripetere una definizione o una dimostrazione, curando linguaggio, simbolismo, uso delle variabili, dei quantificatori: lo studente deve capire che questo è ciò che è a tema.

Definizioni di limiti di funzioni Tratterei solo funzioni definite su un intervallo salvo al più il punto a cui tende la variabile (no al “punto di accumulazione”). Si tratta di dare la “epsilon-delta definizione di limite” nei 4 casi nell'ordine didatticamente più graduale: Limite finito all'infinito, asintoto orizzontale. Più facile perché: ruolo diverso delle due variabili; non è necessario precisare che x non può raggiungere x0. Esempi: quozienti di polinomi di ugual grado, ex a -, ma anche del tipo sinx/x, per spiegare subito che l'asintoto può essere attraversato. Limite per eccesso e per difetto.

Definizioni di limiti di funzioni 2. Limite infinito all'infinito. Esempi: limiti all'infinito delle funzioni potenza, esponenziale e logaritmo. (Asintoto obliquo: rimandare a quando ci sono più strumenti di calcolo) 3. Limite infinito al finito e asintoto verticale. Nuova difficoltà: la richiesta x diverso da x0. Inoltre, fin dai primi esempi richiede il concetto di limite destro e sinistro. Esempi: 1/x2, 1/x, funzioni razionali, logx in 0, tanx.

Definizioni di limiti di funzioni 4. Limite finito al finito. E’ una situazione innaturale, che non si capisce finché non si studiano i limiti notevoli (e la definizione di derivata), e difatti prelude subito alla: 5. Definizione di funzione continua. Esempio: sinx è continua in 0; cosx è continua in 0.

Teoremi sui limiti di funzioni I prossimi teoremi si possono enunciare e non dimostrare, se lo si è fatto per le successioni: Teorema di unicità del limite Teorema sull'algebra dei limiti per limiti finiti Teorema sull'algebra dei limiti per limiti infiniti Teorema del confronto. Teorema di permanenza del segno. (E’ uno dei più importanti nello sviluppo della teoria, non va snobbato). Esempi…

Teoremi sulle funzioni continue Teorema sull'algebra delle funzioni continue. Spiegarlo… Teorema sulla continuità della funzione composta. (Osservazione sul teorema del limite della funzione composta: si usa continuamente in modo implicito, ma è delicato da enunciare) Teorema di continuità delle funzioni elementari. Dimostrare qualcosa? Mostrare ora come si usano congiuntamente questi teoremi: E’ solo dopo aver enunciato questi teoremi che si capisce la distinzione tra un limite “banale” che si calcola semplicemente sostituendo il valore, e un limite vero e proprio, che dà una forma di indeterminazione. Esempi…

Esercizi sui limiti (senza limiti notevoli) C’è ora materiale per esercizi vari sui limiti (senza ancora usare limiti notevoli). Possono sembrare facili ma non lo sono: Costringono all’elasticità mentale di chiedersi continuamente a cosa tende la variabile (per le successioni questo è meno vero); Costringono a ricordare il comportamento delle funzioni elementari alla frontiera dell’insieme di definizione; Costringono a ragionare sulla composizione di funzioni, mentalmente. Un criterio di scelta dell’esercizio è: farei studiare questa funzione? Meglio una funzione semplice di cui si chiede il limite per x tendente a diversi valori, che limiti complicati fatti (ad es.) sempre per x tendente a zero. Esempi…

Esercizi sui limiti (senza limiti notevoli) Situazioni particolari: Utilizzo del teorema del confronto per funzioni oscillanti ma tendenti a zero; Funzioni che non ammettono limite. Asintoti obliqui: dare una definizione, distinguendola dal criterio per calcolarlo. Talvolta si applica direttamente la definizione. Esempi… Dare l’idea di diverse velocità con cui una funzione può tendere all’infinito.

Limiti notevoli e applicazioni Ci interessano principalmente per giustificare le regole di calcolo delle funzioni elementari; secondariamente, per completare qualche studio di funzione con limiti alla frontiera o asintoti obliqui. (Poi vediamo esempi). Limiti notevoli delle funzioni trigonometriche sin e cos: dimostrazione… Esempi Limiti notevoli legati al numero e. Decidere cosa dare per buono e seguire una sequenza logica. Ad esempio… Esempi di ricerca di asintoti obliqui e di studi di funzione. “Gerarchia degli infiniti”: logaritmi, potenze, esponenziali.

Funzioni continue su un intervallo Alcuni teoremi importanti sulle funzioni continue su un intervallo che hanno natura globale. Si tratta di pochi teoremi molto importanti, la cui dimostrazione è “fuori dalla portata” del liceo, ma che è importante capire bene come enunciato: • il teorema di Weierstrass sui massimi e minimi (che si userà nella dimostrazione del teorema di Lagrange, pietra miliare del calcolo differenziale e integrale); • il teorema degli zeri e dei valori intermedi (si userà nella dimostrazione del teorema della media per gli integrali, da cui si deduce il 2° teorema fondamentale del calcolo integrale, si usa spesso implicitamente nei “confronti grafici” per risolvere equazioni).

Funzioni continue su un intervallo Dopo gli enunciati, è bene fare esempi e contresempi sulle ipotesi. Esempi e contresempi hanno un ruolo didattico importante: sottolineano l’aspetto di “ricerca empirica” nello sviluppo di una teoria matematica; fanno capire che il teorema non è vero perché l'ha detto il prof, ma parla di qualcosa di “reale” che ha vita e leggi proprie, che possiamo indagare e scoprire. E’ un esercizio anche “fare un esempio di funzione che fa questo e non fa quest'altro”.

Proprietà delle funzioni continue e numeri reali Teorema di Weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi sono “teoremi di esistenza” dell'Analisi Matematica, che si basano sulle proprietà “fini” dell'insieme dei numeri reali. Costituiscono la motivazione profonda del perché in analisi studiamo funzioni di variabile reale e non di variabile razionale. Fare contresempi anche su questo… Parentesi sui numeri reali… (anni precedenti). Ora è un buon momento per riaffermare che non si introducono gli irrazionali per avere qualche numero in più (es. la radice di 2) ma per avere buone proprietà dell’insieme numerico, quindi delle funzioni.