Teoremi sui limiti
TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE Se per x →c la funzione f(x) ammette un limite questo è unico Per assurdo
Consideriamo tre funzioni f(x), g(x) e h(x) PRIMO TEOREMA DEL CONFRONTO (detto anche: “TEOREMA DEI DUE CARABINIERI”) Consideriamo tre funzioni f(x), g(x) e h(x) Se in un intorno di c escluso al più c si ha e inoltre Allora anche
Dunque, l’ipotesi è che a) esista un intorno I(c) tale che per ogni x di I (c) , escluso tutt’al più c , si abbia b) e inoltre risulti . La tesi è che . Ora, · la condizione a) ci porta a figurarci le due funzioni f(x) e g(x) come due “carabinieri” che ”stringono in mezzo” un “ladro”, ossia la funzione h(x) · … e la condizione b) ci dice che i due “carabinieri” sono diretti entrambi in “caserma” (il limite l ). E’ perciò evidente che pure il “ladro” , essendo stretto in mezzo fra i due carabinieri, dovrà necessariamente confluire in caserma ( = tendere al limite l ). La dimostrazione consisterà nel tradurre in opportune relazioni matematiche questa buffa idea.
Per la definizione di limite, per ogni ε >0 esistono due intorni I1 e I2 di c tali che l- ε< f(x)<l+ε per ogni x € I1 l- ε< g(x)<l+ε per ogni x € I2 Quindi l- ε< f(x)≤h(x)≤g(x) <l+ε Quindi per ogni ε >0 esiste un intorno I= I1∩ I2 tale che l- ε< h(x) <l+ε In altre parole