Riassunto lezione precedente proprietà di SU(N), rappresentazioni fondamentale, regolare, coniugata; operatore di Casimir e classificazione dei multipletti; esempi di SU(2) e di SU(3) rappresentazione fondamentale di SU(2) per sistemi di due o tre particelle; proprietà di simmetria degli stati estensione a SU(3) per sistemi di due o tre particelle; stati simmetrici, antisimmetrici, e a simmetria mista; notazione spettroscopica 17-Ott-13

SU(N) e i tableaux di Young |χ1>, |χ2>, |χ3> SU(3): |χ1>, |χ2> SU(6): |χ1>, |χ2>, |χ3> ⊗ (↑,↓) …. c’è una procedura automatica per calcolare le dimensioni delle rappresentazioni irriducibili? I tableaux di Young identificazione rappresentazioni di SU(N) Ripasso dei risultati in notazione spettroscopica gruppale di quello che abbiamo visto per SU(2) e SU(3). Si può andare avanti includendo charm in SU(4), oppure associando spin a flavor per i 3 quark, quindi SU(6), e ottenere 56+70+70+20 nei barioni, e 6x6bar=1+35 nei mesoni. Serve però una procedura automatica per calcolare le dimensioni delle rappresentazioni irriducibili per ogni SU(N)  i tableaux di Young. Definizioni: dato SU(N) una box è la rappr. fondamentale a dim.N. La rappr. coniugata N* si descrive con N-1 box in colonna. Risulta quindi 2 2* e 3 non  3* Simbolo. rappresentazione fondamentale N a dim.N = rappresentazione coniugata N* = . N-1 quadrati 17-Ott-13

tableaux di Young: prodotto di rappresentazioni = N N = ? ? come calcolare le dimensioni delle rappresentazioni prodotto? numeratore dimensioni = denominatore numeratore = = prodotto dei numeri in tutte le caselle N N+1 N+2 N-1 N N+1 N-2 N-1 N N-3 “gancio” = = nr. di caselle attraversate Come calcolare le dimensioni del risultato del prodotto di rappresentazioni irriducibili in SU(N) con N arbitrario? Il risultato è il rapporto di un numeratore ed un denominatore. Numeratore: dato un diagramma di caselle, mettere N su quelle della diagonale, N+1 e N-1 su quelle delle diagonali adiacenti superiore ed inferiore, N+2 e N-2 su quelle successive, e così via; il numeratore è dato dal prodotto dei numeri associati a tutte le caselle. Definizione di gancio: data casella in una certa riga e colonna di un diagramma, prendo una linea che da dx attraversa tutte le caselle della stessa riga finché non raggiunge la casella desiderata, gira in giù di 90 gradi ed esce dal diagramma attraversando tutte le caselle della stessa colonna; il gancio è il numero di caselle attraversate, inclusa quella considerata. Denominatore: è il prodotto dei ganci di tutte le caselle di un diagramma. Applicazione al nostro caso di prodotto di due rappr. a dim.N eq.(3.18),(3.19) Simbolo. Ex: SU(2) N=2  2x2 = 3+1; SU(3) N=3  3x3 = 6+3*. Il 3* è coniugato perché colonna di N-1=2 box in rappr. dim.3. Inoltre associando simmetria degli stati descritti (in SU(2) 3S+1A, in SU(3) 6S+3*A) si postula regola che pure righe di box sono S, pure colonne sono A. denominatore = prodotto dei “ganci” di tutte le caselle quindi dim. = 17-Ott-13 stato S A

si combinano le caselle in tutti i modi purché continua = ( ) ? si combinano le caselle in tutti i modi purché no figure concave verso l’alto no figure concave verso il basso a sinistra = Per combinare la terza casella, si devono costruire tutte le combinazioni escluse figure concave verso l’alto e verso il basso a sx. Risultano quindi 4 contributi che hanno dimesioni indicate, secondo regola del gancio eq.(3.20),(3.21) Simbolo. Per N=2 si ritrova risultato di SU(2): 2x2x2 = 4S+2M+2M. Per N=3 si ritrova risultato di SU(3): 3x3x3 = 10S+8M+8M+1A. Si noti che stati A (colonne) possono avere al max N caselle, perché poi antisimmetrizzazione manda a 0 la dim. : N (N-1) (N-2)….. Quindi si può predirre che SU(6) = SU(3)f x SU(2) ha dim. 6x6x6 = 56S+70M+70M+20A. Per un quarto flavor c SU(4) si avrebbe 4x4x4 = 20S+20M+20M+4A. Per i mesoni = quarkonio si deve combinare N e N*, solo due possibilità indicate. Le dim. sono 1 (stato antisimmetrico puro) e NxN-1 Simbolo. Quindi per N=3 3x3* = 1A+8M. per strutture mesoniche, cioè “quarkonio” . . . N-1 = N + N-1 17-Ott-13

spettro mesonico e simmetria degli stati − mesone = {qq} con q = u,d,s  nonetto come distinguere ? quark carica stranezza stati ud 1 π+ ρ+ du -1 π- ρ- uu π0 ρ0 dd η0 ω0 ss η’0 ϕ0 us K+ K*+ ds K0 K*0 K- K*- − − − Ex: stati a C=0 S=0 come distinguere singoletto da ottetto ? iso-singoletto da iso-tripletto ? − − − − − distinzione per G parità e carica C  ogni |χ> si sdoppia in |χ>S e |χ>A Mesoni = {q qbar}, se ogni q ha 3 flavor, allora 3x3=9 combinazioni  nonetto. Solito problema: come distinguere gli stati osservati? Prima risposta: ex. di stati a C=0 S=0. In SU(2) 2x2=3+1 in 3 c’è |I=1, I3=0>, in 1 c’è |I=0, I3=0>. Ma mesoni coinvolgono 2x2*. Utilizzando rappr. coniugata si modificano i due stati eq.(4.1)-(4.3) Simbolo. Corrisponde a <χ|σ|χ> tripletto e <χ|1|χ> singoletto. Generalizzazione a SU(3) stato |I=0, I3=0> come singoletto isoscalare <χ|1|χ> (1,1) dove adesso rappr. a dim.3. ssbar non può apparire in isovettore perché ha I=0, quindi stato |I=1, I3=0> rimane invariato e corrisponde a <χ|λ3|χ> ottetto isovettore (8,3). Infine <χ|λ8|χ> corrisponde a ottetto isoscalare (8,1). In questo modo si distinguono π0,ρ0 (8,3), da η8,ω8 (8,1), da η1,ω1 (1,1). Particelle fisiche η,η’ sono combinazioni di η1,η8. Le ω,ϕ di ω1,ω8. Secondo criterio più generale è simmetria in associazione di nr. quantici. Ex: stato C=1 S=0 u dbar è (u dbar ± dbar u). Usando G parità si associa -1 a combinazione S e +1 a quella A. Simbolo. Analogamente per stati a C=0 S=0  si distingue π0 (S) da ρ0 (A), e così via. − − − 17-Ott-13

spin dei quark: SU(3)f  SU(6) = SU(3)f ✕ SU(2) − se quark avessero spin=0 allora avremmo spettro {q q} L=0 JP=0+ scalari L=1 JP=1- vettori L=2 JP=2+ tensori … … … invece spettro è 0- pseudoscalari 1- vettori … … compatibile con spin=½ : massa |χ> rappr. di SU(3) di sapore |φ> rappr. di SU(2) di spin rappr. di SU(6) per 0-,1- sono |χ>A |φ>S |χ>S |φ>A Se quark fossero mesoni a S=0, la classificazione spettrale vedrebbe stati a parità alternata partendo da scalari, poi vettori, poi tensori… in base a L relativo. Ma spettro fisico non è così: si comincia da pseudoscalari a P=- e poi si hanno i vettori. Mesoni scalari non si vedono. Il tutto è compatibile con quark a spin ½ , che combinati in coppia danno S=0 degli pseudoscalari e S=1 dei vettori. Combinando stati di SU(3)f e SU(2) spin si hanno combinazione S da χSφS e χAφA , e A da χSφA e χAφS. Solo le A corrispondono a stati fisici. Ex: stati a C=0, la χSφA ha C=+1 S=0  π0, quella χAφS ha C=-1 S=1  ρ0. Simbolo. Si elencano tutte le combinazioni possibili, che sono 9 + (9+9) + 9 = 36, il che corrisponde a 6x6* = 1+35. i= 0 (singoletto), 1…8 (ottetto) In totale 36 stati, cioè conseguenza di spin(q)=½ e 17-Ott-13

SU(6) e spettro dei mesoni quark stati 1/√2 (ud ± du) π+ ρ+ -1/√2 (du ± ud) π- ρ- ½ [(dd-uu) ± (dd-uu)] π0 ρ0 1/√6 [(uu+dd+ss) ± (uu+dd+ss)] η1 ω1 1/(2√3) [(uu+dd-2ss) ± (uu+dd-2ss)] η8 ω8 1/√2 (us ± su) K+ K*+ 1/√2 (ds ± sd) K0 K*0 -1/√2 (su ± us) K- K*- -1/√2 (sd ± ds) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 17-Ott-13

SU(6) e spettro dei barioni SU(6) = SU(3) SU(2) |χ1> |χ2> |χ3> |φ1> |φ2> |φ3> simmetria stati S |χ>S |φ>S = (10,4)  Δ 1/√2 (χMSφMS+χMAφMA) = (8,2)  N MS MA χSφMS = (10,2) χSφMA = (10,2) χMSφS = (8,4) χMAφS = (8,4) 1/√2 (-χMSφMS+χMAφMA) = (8,2) 1/√2 (χMSφMA+χMAφMS) = (8,2) χAφMA = (1,2)  Λ(1405) χAφMS = (1,2) A χAφS = (1,4) 1/√2 (χMSφMA-χMAφMS) = (8,2) perché 56 ha energia più bassa e P=+ e gli altri stati si alternano con P=-,+,-,..? Combinare 3 rapp. SU(3) con 3 rappr. SU(2)  3 rappr. SU(6) = 56S+70MS+70MA+20A. Ricostruibile da tableaux di Young oppure da combinazione di tabella di simmetrie Simbolo. Commento a tabella: 56S più basso in energia ha JP=½+ ed è ottetto del N; poi c’è decupletto JP=3/2+ della Δ. Non c’è singoletto a P=+  non c’è nonetto come nei mesoni. Il primo singoletto è Λ(1405) di (1,2) MA con ½-. 17-Ott-13

⊗ SU(6) moto orbitale dei quark: SU(6) ⊗ O(3) quark con nr. quantici: sapore u, d, s SU(3)f spin S= ↑, ↓ SU(2) moto orbitale L O(3)  adrone con nr. quantici L⊕S=J ⊗ SU(6) ⊗ SU(6) ⊗ O(3) u d s Quark con 3 flavor e 2 stati di spin appartengono a rappr. di SU(3)xSU(2) = SU(6). Se inseriti in potenziale, hanno anche moto orbitale con n.quantico L e simmetria O(3). Accoppiando SU(6)xO(3), e quindi L a spin totale S, si deve trovare momento angolare totale dell’adrone J. Si impone regola generale per cui si considerano solo rappr. simmetriche di SU(6)xO(3). Il motivo è che manca ancora un n.quantico (colore) che dà asimmetria complessiva della funz. d’onda di un barione. regola generale : solo rappresentazioni simmetriche di SU(6) ⊗ O(3) [SU(6) ⊗ O(3)]S 17-Ott-13

SU(6) ⊗ O(3) : barioni stato fondamentale esempio più semplice: potenziale di oscillatore armonico, stati (nl) |0>O(3) = (1s)(1s)(1s) ≡ |O(3)>S con LP = 0+ [SU(6) ⊗ O(3)]S ⇒ |SU(6)>S ≡ 56S PO(3) = + ⇒ PSU(6) = + cioè (10, JP = 3/2+) e (8, JP = ½+) 1° stato eccitato |1>O(3) = (1s)(1s)(1p) ≡ |O(3)*>M con LP = 1- Caso più semplice è ipotizzare i 3 quark in potenziale di oscillatore armonico; gli stati sono identificati da n.quantici (nl). Stato fondamentale ha i 3 quark in (1s)(1s)(1s). Lo stato ha LP=0+, quindi lo stato fondamentale ( |0> ) nella simmetria di O(3) è S. Quindi se [SU(6)xO(3)]S ⇒ SU(6)S, cioè stato fondamentale per SU(6) è 56S, come evidenziato nello spettro. Inoltre in O(3) P=+, quindi anche in SU(6) deve essere P=+. E infatti il 56S ha ottetto ½ con P=+ e decupletto 3/2 con P=+. Si ritrova quindi evidenza sperimentale di livello più basso 56S con P=+. Primo stato eccitato: (1s)(1s)(1p) con LP=1-. Si può pensare che sua wf sia del tipo ri |0> con i=1,2,3 e Rcm=r1+r2+r3=0. Si possono formare stati a simmetria mista: |1>MA = (R1-R2) |0>S e |1>MS = (r1+r2-2r3) |0>S , e simmetrico |1>S = (r1+r2+r3) |0>S = 0. |1>S = 0 è generale => solo stati misti per O(3), quindi solo stati misti per SU(6) => 70M. Simbolo. Da lez.3-slide10 si deduce 70M = 10S x 2M + 8M x 2M + 8M x 4S + 1A x 2M , dove L=1 si compone con S=1/2 (2M) o S=3/2 (4S) a dare J=1/2-, 3/2-, 5/2- osservati in vari stati. N.B. 1A x 2M è singoletto a P=- degli stati Λ(1405) e Λ(1520). Poi in 10S x 2M si hanno stati a I=3/2 (in decupletto 4 stati di carica come Δ), etc… Gli stati non di singoletto sono senza strange. Si trovano anche stati con strange di tipo Λ come S01(1670) e S03(1690), e di tipo Σ come D15(1765), D13(1670,1580), S11(1620,1750). [SU(6) ⊗ O(3)]S ⇒ |SU(6)*>M ≡ 70M : (10,2) S31(1650), D33(1670) (8,2) S11(1535), D13(1520) (8,4) S11(1700), D13(1700), D15(1670) (1,2) S01(1405; Λ), D03(1520; Λ) … altri stati con stranezza …. X2I,2J 17-Ott-13

SU(6) ⊗ O(3) : barioni altri stati eccitati |2>O(3) ? (1s)(1s)(1d) degenere con (1s)(1s)(2s) e (1s)(1p)(1p) risulta |O(3)**>S = √⅔ (1s)(1s)(2s) + √⅓ (1s)(1p)(1p) con LP = 0+ [SU(6) ⊗ O(3)]S ⇒ |SU(6)**>S ≡ 56S altri stati possibili: 56S con LP = 2+ 5/2+(1690), 3/2+(1810) con S=½ ½+(1910), 3/2+(?), 5/2+(1890), 7/2+(1950) con S=3/2 70M con LP = 0+, 1+, 2+ …. Stati eccitati oltre il primo: c’è degenerazione tra (1s)(1s)(1d) e (1s)(1s)(2s) e (1s)(1p()1p). Inoltre bisogna sottrarre moto spurio del cm, dipendente da R=⅓(r1+r2+r3). Allora si definiscono (1s)(1s)(2s) e (1s)(1p)(1p) con variabili ipersferiche R,ρ,λ, e combinazione tale per cui |O(3)**>S è non spurio, con LP=0+ e S per O(3). Simbolo. Stato ⊥ |O(3)**>S è stato con moto interno in gs e cm in (2s). Se |O(3)**>S e [SU(6)xO(3)]S ⇒ |SU(6)**>S ≡ 56S. Altri stati possibili con 56S a LP=2+ e 70M con 0+,1+,2+ ⇒ tutti con P=+. Ma come si concilia con slide precedente con 70M e P=-? Ipotesi diquark-quark con variabili ipersferiche: |0> è 56S con LP=0+; n eccitazioni in λ sono P=+ se n even, P=- se n odd. Quindi |1> è 70M con LP=1-, |2> è 56S con LP=2+, etc.. Evidenze di 70M con LP=3- intorno a 2GeV. Candidati per eccitazioni radiali sono P11(1470) e P33(1690), come P11(1780) e P33(2080). ma i primi stati eccitati (~ |1>O(3) ) sono 70M con P=- o P=+ ? ipotesi “diquark+quark” ⇒ alternanza di P=+ / - / + / … radial excitations (1s)(1s)(2s) degenerate with (1s)(1s)(1d) : P11, P33, … 17-Ott-13

SU(6) ⊗ O(3) : mesoni − sistema {q q} ha parità P = (-)L+1 L sistema “ “ in stato |χ>S |φ>A ha C = (-)L+S |χ>A |φ>S quindi CP = - S=0 CP = + S=1 S=0 ⇒ J ≡ L ⇒ C = (-)J = - P ⇒ JPC = 0-+, 1+-, 2-+ , … S=1 ⇒ J = L+1 ⇒ C = P ⇒ JPC = 1--, (0++, 1++, 2++), (1--, 2--, 3--), … nonetto pseudoscalare e vettore JPC I = 1 I = 0 I = ½ 0-+ π(140) … η(550) … η’(960) … K(495) 1-- ρ(770) … ω(780) … ϕ(1020) … K*(890) … 1+- b1(1235) h1(1170) K1(1270) 0++ a0(980) … σ(600) f0(980) … K*0(1430) 1++ a1(1260) f1(1285) f1(1420) K1(1400) 2++ a2(1320) f2(1270) … f’2(1525) K*2(1430) 2-+ π2(1670) … η2(1645) K2(1770) … … Mesone = quarkonio, quindi quark e antiquark hanno parità opposta. Se stanno in stato con L relativo, allora P=(-)L+1. Da slide 5 sappiamo che funz.d’onda di SU(6) è del tipo |χ>S |φ>A o |χ>A |φ>S. Se L=0, la prima corrisponde a π (S=0) con C=1 e la seconda corrisponde a ρ (S=1) con C=-1. Ergo C=(-)L+S. Allora da P=(-)L+1 e C=(-)L+S ⇒ CP = (-)S+1 cioè CP=- per S=0 (pseudoscalari) e =+ per S=1 (vettori). Per S=0 (pseudoscalari) J=L e C=(-)J = - P perché P=(-)J+1. Allora la spettroscopia JPC ha sempre CP=-, cioè segni opposti per P e C al crescere di L=0,1,2..: 0-+, 1+-, 2-+, … Esistono stati che hanno CP=- ma segni invertiti: questi sono stati esotici perché non deducibili da queste simmetrie (ex. π1(1400) ha 1-+ con I=1). Per S=1 (vettori) J=L+1 e C=(-)L+1 = P. Allora la spettroscopia JPC ha sempre CP=+, cioè segni uguali per P e C al crescere di L=0,1,2,..: 1--, (0++,1++,2++), (1--,2--,3--), … I primi delle due serie, 0-+ e 1--, sono i nonetti conosciuti. In tabella ci sono gli stati osservati (il simbolo … significa altre risonanze a masse più alte). 17-Ott-13