Un modello per interpretare, interagire e descrivere la realtà LA GEOMETRIA EUCLIDEA Un modello per interpretare, interagire e descrivere la realtà

Le Trasformazioni Geometriche Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono tra gli oggetti geometrici quando subiscono trasformazioni

Nota Storica Le trasformazioni (e i loro gruppi) furono introdotte da Felix Klein (1849 - 1925) per caratterizzare le varie branche in cui si suddividevano gli studi di geometria ottocenteschi

Nella visione gli oggetti subiscono trasformazioni. Pensate a come il cervello cattura l’immagine, capovolgendola e rimpicciolendola nella retina. Siamo in grado di riconoscerlo e di descriverne le caratteristiche perché l’oggetto e l’immagine, hanno molti elementi invariati.

Nel disegno gli oggetti subiscono trasformazioni. Il disegno ‘dal vero’ di una bottiglia, di un frutto è una rappresentazione a due dimensioni di un oggetto tridimensionale, quindi diverso da quello reale, tuttavia, affinché risulti realistico, deve conservare molte delle caratteristiche di quello reale.

Trasformazioni Geometriche Si chiama trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano Una trasformazione geometrica è quindi una funzione che può essere rappresentata con la simbologia G’=f(G)

Trasformazioni geometriche La trasformazione Identica o Identità è quella che associa ad ogni punto se stesso Si dice involutoria una trasformazione che, applicata due volte, coincide con la trasformazione identità

Trasformazioni geometriche Si chiamano Invarianti le caratteristiche che rimangono inalterate Varianti le caratteristiche che si modificano Elementi Uniti gli elementi che hanno per trasformati se stessi

Esempio di Tangram Gioco del Tangram: In questo antico gioco cinese, si realizzano trasformazioni spezzettando una figura geometrica; Due figure diverse ottenute con il Tangram si scompongono negli stessi pezzi (Equiscomponibili) e quindi hanno come elemento invariato l’area. Esempio di Tangram

Gli Invarianti La Lunghezza dei segmenti L’ampiezza degli angoli Le principali caratteristiche che una trasformazione può lasciare invariate sono: La Lunghezza dei segmenti L’ampiezza degli angoli Il parallelismo Le direzioni Il rapporto tra i segmenti L’orientamento dei punti del piano

Gli Invarianti: Lunghezza dei segmenti Una trasformazione presenta tale invariante se TUTTI i segmenti che si possono tracciare in una figura rimangono della stessa lunghezza dopo la trasformazione Dalla F alla F’ la lunghezza dei segmenti è invariante (rotazione) Dalla F alla F’’ la lunghezza dei segmenti non è invariante (schiacciamento)

Gli Invarianti: L’ampiezza degli angoli Una trasformazione presenta tale invariante se TUTTI gli angoli mantengono la stessa lunghezza dopo la trasformazione La trasformazione da F a F’ ha tale invariante La trasformazione da F a F’’ non presenta tale invariante

Gli Invarianti: Il parallelismo

Gli Invarianti: Le direzioni

Gli Invarianti: Il rapporto tra i segmenti

Gli Invarianti: L’orientamento dei punti del piano

Trasformazioni geometriche Si possono suddividere in tre categorie: Trasformazioni che si ottengono mediante deformazioni (striscia di plastica) Trasformazioni che si ottengono per proiezioni (ombra di un oggetto) Trasformazioni che si ottengono mediante movimenti (immagine riflessa)

Le trasformazioni TOPOLOGICHE Inizieremo da quelle con minor elementi invarianti Le trasformazioni TOPOLOGICHE Se su un sottile foglio di plastica disegniamo alcune figure, deformando il foglio realizziamo una trasformazione topologica che non conserva né forma, né dimensioni delle figure

Le Trasformazioni TOPOLOGICHE Da i risultati della trasformazione notiamo che: Le linee chiuse sono rimaste chiuse I punti giacenti su una linea si ritrovano sulla linea trasformata nello stesso ordine I punti interni (o esterni) alla figura si ritrovano interni (o esterni) nella trasformata Le caratteristiche che permangono prendono il nome di invarianti topologiche

Le Trasformazioni Proiettive L’ombra prodotta da un oggetto colpito da un fascio di raggi luminosi è il risultato di una trasformazione proiettiva. Non conserva: Né parallelismo delle rette Né lunghezza dei segmenti Né ampiezza degli angoli Ma solo le caratteristiche elencate per le topologiche alle quali aggiungiamo la caratteristica che: ogni retta di F viene trasformata in F’ ancora in una retta

Da completare Le trasformazioni affini Particolari trasformazioni proiettive: Le trasformazioni affini Un caso particolare di trasformazione affine è: L’omotetia Da completare

Trasformazioni geometriche: LE ISOMETRIE Sono trasformazioni geometriche nelle quali la figura trasformata rimane congruente alla figura iniziale, conservandone sia la Forma e sia la Dimensione. Le trasformazioni isometriche si ottengono mediante movimenti rigidi delle figure, che cambiano unicamente la loro posizione nel piano.

Le Isometrie Le principali isometrie sono: Traslazioni Rotazioni Simmetria assiale Simmetria centrale I movimenti da studiare sono: Traslazioni Rotazioni Ribaltamenti

La Traslazione La figura F con un lato appoggiato sulla retta r è stata spostata con un movimento rigido ottenendo F’. Il movimento che ha portato F in F’ è una traslazione: ogni punto di F si è spostato della stessa lunghezza (5 cm), nella stessa direzione (parallelo ad r) e nello stesso verso ( a destra) dando origine ad F’. F’ F

La Traslazione Gli elementi che caratterizzano la traslazione sono quindi tre: La sua lunghezza (5 cm) La sua direzione (parallela ad r) Il suo verso (da sinistra a destra) Queste tre caratteristiche definiscono un segmento orientato, chiamato vettore, indicato con v o con AB

La Traslazione Per individuare un vettore occorre indicare: La sua direzione, cioè la retta a cui appartiene Il suo verso, che indica il senso di percorrenza La sua intensità o modulo, che rappresenta la lunghezza del segmento AB Ampliare con la costruzione del traslato Di un punto P mediante il vettore di traslazione v.

La Traslazione Teorema: la traslazione è un’isometria Con questo teorema affermiamo che due figure che si corrispondono in una traslazione sono congruenti.

La Traslazione Inoltre la traslazione ha come caratteristiche invarianti: L’allineamento dei punti (collineazione) La lunghezza dei segmenti L’ampiezza degli angoli Il parallelismo Le direzioni Il rapporto tra segmenti L’orientamento dei punti del piano

La Rotazione Un punto, detto centro di rotazione Un’altra trasformazione che mantiene invariate tutte le misure lineari e angolari è la rotazione attorno ad un punto. Per definire una rotazione è necessario che siano dati: Un punto, detto centro di rotazione L’ampiezza dell’angolo di rotazione Il verso di rotazione (orario o antiorario)

La Rotazione Teorema: la rotazione è un’isometria Costruzione del punto P’ corrispondente di P nella rotazione di centro C e ampiezza . Teorema: la rotazione è un’isometria La rotazione quindi ha le proprietà delle isometrie ed in particolare trasforma una figura in un’altra ad essa congruente.

La Rotazione Valgono le seguenti proprietà: Il solo punto unito è il centro di rotazione Non esistono rette unite se non quelle che si corrispondono in una rotazione pari ad un angolo piatto La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identità

La Rotazione La rotazione ha i seguenti invarianti: L’allineamento dei punti (collineazione) La lunghezza dei segmenti Il parallelismo L’ampiezza degli angoli Il rapporto tra segmenti L’orientamento dei punti del piano E’ una trasformazione involutoria

Una Rotazione Particolare: La Simmetria Centrale Una rotazione di 180° attorno ad un punto C è una simmetria centrale. Il centro di simmetria è il centro della rotazione Teorema: la simmetria centrale è un’isometria Questo teorema garantisce che due figure simmetriche rispetto ad un punto sono congruenti

Una Rotazione Particolare: La Simmetria Centrale Ogni retta passante per il centro è una retta unita, ma non fissa perché cambia l’ordinamento dei suoi punti Come in ogni rotazione l’unico punto fisso è il centro Due segmenti, o rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli La simmetria centrale è involutoria L’ordinamento dei punti è invariante Per gli altri si rimanda alla rotazione

Una Rotazione Particolare: La Simmetria Centrale Figure geometriche simmetriche rispetto a un loro punto: La circonferenza Il rettangolo Tutti i parallelogrammi sono quadrilateri a simmetria centrale Un quadrilatero è simmetrico centralmente se e solo se è un parallelogramma

Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale Le isometrie finora esaminate (traslazioni e rotazioni) hanno tutte la caratteristica di mantenere invariato l’orientamento dei punti del piano. Ma abbiamo visto che esistono situazioni in cui le figure mantengono le loro misure, ma si ‘ribaltano’ generando figure simmetriche rispetto ad un asse.

Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale Costruzione del punto P’ simmetrico di P rispetto alla retta r. Disegnare un triangolo e il suo simmetrico rispetto ad r in cabrì

Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale Tra le isometrie distinguiamo, perciò, due classi, a seconda che si mantenga o meno l’orientamento dei punti del piano: Isometrie dirette: che mantengono l’orientamento dei punti del piano Isometrie invertenti: che non mantengono l’orientamento dei punti del piano

Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale Definizione: si dice simmetria assiale la trasformazione che, data una retta r, associa ad un punto P il suo simmetrico rispetto ad r. La retta r prende il nome di asse di simmetria. Teorema: la simmetria assiale è un’isometria Questo teorema ci permette di dire che due figure che si corrispondono in una simmetria assiale sono congruenti.

Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale La simmetria assiale gode inoltre delle seguenti proprietà: I punti che appartengono all’asse sono punti uniti Una retta a incidente in un punto Q all’asse di simmetria e che forma con tale asse un angolo  ha per trasformata una retta ’ che passa ancora per Q e che forma con l’asse di simmetria un angolo congruente ad  (Mostrare la proprietà descritta in cabrì)

Diapositiva sommario Il Ribaltamento e La Simmetria Assiale

Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale Una retta a perpendicolare all’asse di simmetria ha per trasformata se stessa ed è quindi una retta unita; Attenzione però: non è una retta di punti uniti perché ciascun punto della retta non ha come trasformato se stesso. Una retta a // all’asse di simmetria ha per trasformata una retta a’ ancora // all’asse e quindi a a stessa.

Il Ribaltamento E La Simmetria Assiale Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la trasformazione è involutoria; Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ si susseguono in senso antiorario e quindi l’ordinamento dei punti non è un’invariante; (Mostrare la proprietà descritta in cabrì)

Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale Poche sono figure geometriche che hanno un asse di simmetria: Un segmento ha come asse di simmetria il suo asse Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettrice Un triangolo ha un asse di simmetria solo se è isoscele Il rombo ha due assi di simmetria (diagonali) Il cerchio infiniti assi di simmetria

Il Ribaltamento: La Simmetria Assiale Gli invarianti della simmetria assiale sono: L’allineamento dei punti (collineazione) La lunghezza dei segmenti Il parallelismo Il rapporto tra segmenti L’orientamento dei punti del piano È un’isometria invertente

Che scomposto può essere visto così

E trasformarsi così e così via

Provate a comporli da soli