ARGOMENTI …. richiesti e non!

Presentazione sul tema: "ARGOMENTI …. richiesti e non!"— Transcript della presentazione:

1 ARGOMENTI …. richiesti e non!
11 Febbraio 2017

2 Per la moltiplicazione c’è solo l’algoritmo “usuale”?
MOLTIPLICAZIONE RUSSA (DEL CONTADINO RUSSO) Raddoppio Dimezzo (arrotondando per difetto) 325 25 650 12 1300 6 2600 3 5200 1 8125 Sommando fra loro i numeri della prima colonna (quella del raddoppio) corrispondenti ai numeri dispari della seconda colonna (quella del dimezzo) SI OTTIENE IL RISULTATO

3 Dimezzo (arrotondando per difetto) Raddoppio 325 25 162 50 81 100 40 200 20 400 10 800 5 1600 2 3200 1 6400 8125 …OPPURE Sommando fra loro i numeri della seconda colonna (quella del raddoppio) corrispondenti ai numeri dispari della prima colonna (quella del dimezzo) SI OTTIENE IL RISULTATO

4 PERCHE’ FUNZIONA? Perché ….. si procede secondo potenze di 2 !
Nel primo schema abbiamo sommato cioè 325 + (325 x 8 ) +( 325 x 16) = 325 (1+8+16) = 325 x 25 Nel secondo schema abbiamo sommato 25 + (25 x 4 ) +(25 x 64) + (25 x 256) = 25 ( ) = x 325 Principio di minimo sforzo(!) : CONVIENE DIMEZZARE IL PIU’ PICCOLO …. SI FANNO MENO CALCOLI!!!

5 Raddoppio Dimezzo 253 32 506 16 1012 8 2024 4 4048 2 8096 1 COSA NOTIAMO? SE UN FATTORE E’ PRODOTTO DI NUMERI PARI ….

6 IL CALCOLO MENTALE E LA STIMA
(Obiettivi di apprendimento al termine della scuola primaria : “eseguire le quattro operazioni con sicurezza, valutando l’opportunità di ricorrere al calcolo mentale, scritto o con la calcolatrice a seconda delle situazioni “e “stimare il risultato”) CON LE OPERAZIONI IN COLONNA ….SI STIMA IL RISULTATO? = = = = – 2 = – 5 =……….. è CERTAMENTE minore di 75, maggiore di 70. = + + 7+8+5 è CERTAMENTE minore di…., maggiore di….

7 STIMIAMO IL RISULTATO ! 378 + 57 295 – 27 325 x 989 Meno di 378 + 60
Piu di Come Più di ? Meno di 300 – 30 ? Meno di 325x1000 Più di 320 x 1000

8

9

10 SCOPRIAMO CHE …. Moltiplicare o dividere un numero per 2 ( doppio o metà!) Basta moltiplicare o dividere per 2 le …..centinaia, le decine e le unità Moltiplicare o dividere un numero per 4 ( per 8) Basta moltiplicare o dividere 2 volte ( 3 volte) per 2 le …..centinaia, le decine e le unità Moltiplicare un numero per 5 (per 25) Basta moltiplicare il numero per 10 ( per 100) e poi dividere per 2 (per 4) Dividere un numero per 5 (per 25) Basta moltiplicare il numero per 2 ( per 4) e poi dividere per 10 (per 100)

11 Moltiplicare un numero per 11
Basta moltiplicare il numero per 10 e poi aggiungere il numero ….. ma c’è anche una osservazione “curiosa” Es. 254 x x ___________________ _____________________ _____________________________ ____________________

12 CHE STRANA (?) SCALETTA!! 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321
…… …… …… Cosa notiamo? Moltiplicando per se stesso un numero che ha tutte le cifre 1, qualsiasi sia il numero delle cifre 1 del numero che consideriamo, la “regoletta” vale sempre?

13 L’operazione di DIVISIONE come operazione INVERSA della MOLTIPLICAZIONE
DIVIDERE un numero a per un numero b significa trovare un numero c tale che a = b x c Come si fa ?

14 (*) DIVIDERE per 2 le decine e le unità !!!!
Come si fa a trovare il numero 46 : 2 (*) DIVIDERE per 2 le decine e le unità !!!! 4 : decine 6 : unità 46 : 2 = 23 23 è il numero che moltiplicato per 2 dà 46! Se avessimo 56 : 2 ? … 5 non è divisibile per 2! Come facciamo? RAGIONIAMO !!!! 5 decine = 4 decine + 1 decina = 4 decine + 10 unità quindi 56 = 4decine +16unità e adesso procediamo con la (*)….usando la “nostra” tavola pitagorica 56 : 2 = 28

15 Se dovessimo eseguire la divisione 945 : 27
dovremmo dividere 9 centinaia, 4 decine e 5 unità per 27!!! RAGIONIAMO 9 centinaia = 90 decine, adesso abbiamo 94 decine e possiamo dividere 94 per 27! Ci chiediamo qual è il numero che moltiplicato per 27 dà 94? Proviamo 27x1=27, 27x2=54, 27x3=81, 27x4 = il numero che moltiplicato per 27 si avvicina di più a 94 restandone minore è 3! 94 = = 3x (decine) Poiche 13 decine = 130 unità , il numero 945 lo possiamo scrivere 945 = 3x27(decine) (unità) Adesso possiamo dividere 135 (unità) per 27! Ci chiediamo qual è il numero che moltiplicato per 27 dà 135? Troviamo che 27x5= 135 ….quindi concludiamo che 945 = 35 x27 ; dunque 945 :27 =35

16 I PROBLEMI …sono UN PROBLEMA ?!?

17 PROBLEMATIZZARE È UNA NECESSITÀ DELL’INSEGNAMENTO E DELL’APPRENDIMENTO

18 La problematizzazione svolge una funzione insostituibile:
Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo d’istruzione Settembre 2012 La problematizzazione svolge una funzione insostituibile: sollecita gli alunni a individuare problemi, a sollevare domande, a mettere in discussione le conoscenze già elaborate, a trovare appropriate piste di indagine, a cercare soluzioni originali. Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione dei problemi, che devono essere intese come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi ripetitivi o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola.

19 Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo d’istruzione
Settembre 2012 Gradualmente, stimolato dalla guida dell’insegnante e dalla discussione con i pari, l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che si intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive. Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti.

20 Ad ogni livello scolastico il risolvere problemi offre occasioni per
acquisire nuovi concetti e abilità, arricchire il significato dei concetti già appresi, verificare l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza, sviluppare argomentazioni, affinare il linguaggio naturale e la capacità di organizzare il discorso con particolare attenzione alla lingua italiana. (Progetto UMI-SIS Matematica, 2001)

21 Una grande scoperta risolve un grande problema,
ma nella soluzione di qualsiasi problema c'è un pizzico di scoperta Il tuo problema può essere modesto, ma se stimola la tua curiosità, tira in ballo la tua inventiva e lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi sperimentare la tensione e gioire del trionfo della scoperta Se non riesci a risolvere un problema, ce ne sarà uno più facile che riesci a risolvere: trovalo (G. Polya, 1967)

22 AL TERMINE DELLA SCUOLA PRIMARIA
TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE AL TERMINE DELLA SCUOLA PRIMARIA Legge e comprende Riesce a risolvere facili problemi Descrive il procedimento

23 AL TERMINE DELLA SCUOLA SECONDARIA
TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE AL TERMINE DELLA SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO: Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza Confronta procedimenti diversi e produce formalizzazioni che gli consentono di passare da un problema specifico ad una classe di problemi

24 COSA E’ UN PROBLEMA? Un problema è ogni ordine di difficoltà la cui soluzione implica la possibilità di alternativa (Diz. Zanichelli) Questione controversa che può dare adito a soluzioni diverse (GRADIT)

25 Il pensiero umano è caratterizzato
dalla capacità di risolvere problemi Il risolvere problemi si può considerare caratteristica del genere umano (G. Polya)

26 Un problema nasce quando un essere vivente ha una meta e non sa come raggiungerla (K. Dunker,1940)
Un problema nasce quando un essere vivente, motivato a raggiungere la meta, non può farlo in modo automatico o meccanico o attraverso un comportamento appreso Si crea uno stato di squilibrio e di tensione cognitiva che spinge l’individuo ad agire per costruire l’equilibri (G. Kanisza, 1975)

27 PROBLEMA o ESERCIZIO? Un problema è una domanda che per essere soddisfatta richiede una teoria non conosciuta da chi si pone il problema È necessario che ci sia un minimo scarto fra ciò che l’allievo conosce e ciò che gli viene chiesto, se no possiamo parlare solo di esercizio (D. Antiseri, 1985)

28 PROBLEMA o ESERCIZIO? Quando si richiede agli allievi di applicare semplicemente una regola, partendo dai dati, si chiede loro solamente di svolgere un esercizio, non di risolvere un problema! Nella prassi didattica “la parola problema assume per lo più il significato di una etichetta che caratterizza un certo tipo di esercizio: un testo che pone una domanda finale”[1] e che richiede procedimenti che hanno a che fare con le operazioni matematiche [1] Rosetta Zan “Difficoltà in Matematica”, 2007

29 Problema o Esercizio? Un esempio
In un garage ci sono scooter e automobili. Sapendo che ci sono 36 veicoli e che le ruote sono 94, sapresti dire quanti scooter e quante automobili è possibile che si trovino nel garage?

30 Nel problema scolastico :
reale L’attività di risoluzione di problemi investe competenze di natura linguistica, psicologica oltre che disciplinare Nel problema scolastico : il campo di conoscenze in cui cercare la soluzione è stabilito a priori si dovranno utilizzare conoscenze acquisite bisogna utilizzare tutti i dati e non mancano dati la soluzione esiste ed è unica fare operazioni e dare la risposta senza chiedersi “perché” si fa, ma solo “come” si fa

31 Il tema di Giacomo - 1^ Media
Mi ricordo vagamente della mia maestra di prima, in seconda ricordo una signora anziana che andò subito in pensione. Era nervosa con un tic continuo alle spalle, spesso urlava e a volte ci prendeva per un orecchio. Ho presente invece molto bene la mia maestra dalla terza alla quinta. Si chiama Elena, È alta e magra ma aveva una natura pessimista, da pessimismo leopardiano: ad esempio verso Pasqua ci faceva fare dei problemi sulle uova con delle situazioni dove tanti pulcini morivano prima di nascere. Domandava: quanti nasceranno vivi? A me passava la voglia di saperlo. Ora sono in prima media e la professoressa di matematica è brava, simpatica, specialmente quando ci fa scienze, ma la vorrei più incoraggiante nei miei confronti. Penso che il mio rapporto con la matematica sia stato sempre " buio e tenebroso"; non ho mai avuto la padronanza nella materia È fin dai primi tempi delle elementari mi sentivo incerto; anche se una cosa la sapevo mi sorgevano un sacco di dubbi. Ecco, io non so il "perché" della matematica, perché quello schema, quel procedimento e non un altro; perché, come dice il mio babbo:"Nell'aritmetica non si inventa."; Io a volte invento e sbaglio; vorrei proprio sapere i motivi, le cause, Perché così mi sembrano tutte regole astratte e appiccicate qui e là. (Rosetta Zan: Difficoltà in matematica, La paura della matematica, La didattica della matematica)

32

33 L’importanza della formulazione del testo di un problema PER L’ALLIEVO
nella comprensione nei processi risolutivi PER IL DOCENTE nella valutazione

34 TRADUZIONE MATEMATICA
SITUAZIONE PROBLEMATICA GENERALIZZAZIONE DEL PROCEDIMENTO SOLUZIONE DEL PROBLEMA TRADUZIONE MATEMATICA SOLUZIONE DI PROBLEMI SIMILI RISOLUZIONE MATEMATICA

35 RISOLVERE UN PROBLEMA: QUALI FATTORI INTERVENGONO?
La presentazione del problema L’interazione del contesto problematico con conoscenze e modelli di ciascun solutore Il rapporto di ciascun solutore con la propria matrice cognitiva L’utilizzazione dell’errore come strumento di informazione e di revisione di ipotesi Convinzioni sulla disciplina Convinzioni metacognitive

36 RISOLVERE UN PROBLEMA :
QUALI COMPETENZE ? Comprendere contesto e testo (sintassi e semantica) Individuare i dati e le relazioni fra dati Utilizzare in modo consapevole algoritmi Controllare la validità degli algoritmi utilizzati Acquisire modelli risolutivi Comprendere e utilizzare codici formali Mettere in atto processi di generalizzazione e simbolizzazione Consapevolezza e valorizzazione dell’errore

37 ? PROBLEM SOLVING – PROBLEM POSING L’insieme dei processi necessari
ad analizzare,affrontare e risolvere positivamente una situazione problematica Un modello di apprendimento e conoscenza che si articola intorno alle modalità con le quali, a partire da una situazione problematica, si arriva a formulare nuove questioni approfondendo e aggiungendo significato agli stessi contenuti che si apprendono ? DA UN PROBLEMA AD UNA CLASSE DI PROBLEMI PROBLEMI SIMILI … MA DIVERSI PROBLEMI ANALOGHI… MA NON UGUALI ?

38 PROBLEM SOLVING Il problem solving è un cambiamento comprovabile che ha luogo nelle capacità di una persona e che non si circoscrive all’acquisizione di una regola Il problem solving è un atto di apprendimento nel senso che nel comportamento del soggetto, dopo che il problema è stato risolto, si manifesta un genere di prestazione che prima non possedeva (R. M. Gagnè, 1973)

39 VARIABILI CHE INTERVENGONO NELL’ATTIVITÀ DI PROBLEM SOLVING
VARIABILI ESTERNE Stimoli (fisici,verbali,iconici,ecc) Direttive (indicazioni sulla visione del problema o su alcuni dei suoi aspetti) Istruzioni (interventi per indirizzare alla soluzione) VARIABILI INTERNE Quantità di informazioni possedute Facilità a richiamare alla memoria informazioni possedute Capacità di selezionare concetti Flessibilità nel fare ipotesi Capacità di confrontare il caso specifico con il caso generale

40

41 FASI DEL PROBLEM SOLVING
Come risolvere i problemi di Matematica - G. Polya (1983) CAPIRE IL PROBLEMA COMPRENDERE Qual è l’incognita? Quali sono i dati? Qual è la condizione da soddisfare? È possibile soddisfarla? I dati sono sufficienti o no? Sono sovrabbondanti o contraddittori? Disegnare, usare una conveniente notazione, separare le varie parti della condizione IDEARE UN PIANO PER TROVARE LA SOLUZIONE PROGETTARE Quali sono le relazioni fra i dati e l’incognita? Sono espliciti o impliciti? Il problema è già noto? Conosco un problema simile o connesso con questo? Conosco una regola che può essere utile? Posso risolvere parte del problema? Dedurre dai dati e dalle relazioni esplicite o implicite fra i dati tutto ciò che può essere utile per scegliere una strada che possa portare alla soluzione.

42 METTERE IN ATTO IL PIANO ESEGUIRE
Sviluppare le fase del piano scelto, controllando i passaggi e le operazioni svolte. Posso vedere che è esatto? Posso provare che è esatto? ESAMINARE LA SOLUZIONE TROVATA CONTROLLARE C’è coerenza fra la soluzione e i dati e le relazioni tra dati? È possibile ottenere il risultato con un procedimento diverso? Il risultato e il metodo seguito possono applicarsi ad altri problemi?

43 L’attività di problem solving permette all’allievo di:
“Addentrarsi” nei legami fra i dati Scoprire regolarità e non regolarità dei risultati Scoprire analogie e differenze fra “processi” Scoprire analogie e differenze fra “prodotti” di processi analoghi

44 PROBLEM POSING Generazione/creazione di problemi
… dal PROBLEMA alle CLASSI di PROBLEMI … dal “quanto sapere” al “come sapere” … all’ “ imparare a imparare” (F. Frabbroni)

45 comporta per l’allievo
L’attività di problem posing comporta per l’allievo Capacità di: analisi e sintesi intuizione e invenzione induzione e deduzione La “scoperta” di fatti matematici” Aggiunta di “significato” Pensiero divergente “Parlare” di matematica

46 FASI DEL PROBLEM POSING
(da S. Brown –M. Walter “L’arte del Problem Posing”) Accettazione del dato: analisi del problema per prendere confidenza con la situazione problematica Lista degli attributi: si elencano i dati (attributi Ai) rilevandone le caratteristiche e le loro relazioni E se non: si mettono in discussione i dati per vedere cosa accade se si modifica uno (o più) degli attributi del problema Analisi del non Ai: analisi delle possibili alternative se viene meno uno (o più) dei dati Fare ciclo: si riparte dai “nuovi” dati

47 Un esempio per chiarire!
Una formichina vuole effettuare un percorso quadrato partendo da A, passando poi per B, poi per C e per D fino a tornare in A. Il lato del quadrato è di 200 metri. Durante il giorno la formichina riesce a percorre tanti metri quanto misura un lato ma durante la notte un forte vento la riporta indietro della metà del percorso fatto durante il giorno. Se parte lunedì mattina da A, quando riuscirà a percorrere tutto il tragitto tornando in A? A B D C

48 Accettazione del dato:
il percorso ha forma quadrata; la formica passa prima per A, poi per B, poi per C e per D e infine torna in A; il lato del quadrato misura 200 metri; di giorno la formica percorre tanti metri quanto misura il lato del quadrato; di giorno la formica percorre 200 metri; di notte la formica è portata indietro dal vento della metà del percorso; di notte la formica torna indietro di 100 metri; la formica parte lunedì. Il percorso quadrato può essere rappresentato linearmente e … il disegno ci può parlare!!! A A B B C C D D A lun mar mer gio ven sab dom notte notte notte notte notte notte

49 E se non Se IL LATO DEL QUADRATO NON misurasse 200 metri Se il lato MISURASSE 100 metri? Se la formica NON TORNASSE INDIETRO la notte DELLA METÀ del percorso fatto di giorno? Se tornasse indietro di ….? Lista degli attributi Analisi del non Ai Fare ciclo

50 Altro esempio di problem posing
Paolo ha comprato dei pesci rossi che vuole mettere nel suo acquario da 36 litri. Per riempire l’acquario ha a disposizione due brocche, una da 3 litri e una da 5 litri. Ad ogni viaggio sceglie una sola brocca che riempie sino all’orlo e la svuota del tutto nell’acquario. Qual è il numero minimo di viaggi che Paolo dovrà fare per riempire esattamente l’acquario?

51 Concludendo … con Popper
La vita è costituita da problemi da risolvere Apprendere a risolvere problemi È Apprendere a vivere