23) Esponenziali e logaritmi

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1 23) Esponenziali e logaritmi
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2 Potenze e loro proprietà
Dati due numeri naturali a ed n, si chiama potenza di base a ed esponente n il numero an così definito: se n > 1: an = a×a×…×a (n fattori) se n = 1: a1 = a se n = 0: a0 = 1 (a patto che a0) 00 = ? può dare qualunque risultato; si dice che è una forma indeterminata.

3 Proprietà STESSA BASE o anche STESSA BASE STESSO ESPONENTE
o anche STESSO ESPONENTE POTENZA DI POTENZA ESPONENTE NEGATIVO ESPONENTE FRAZIONARIO N.B.: le proprietà valgono anche se lette da destra verso sinistra.

4 Test L’espressione vale: 23/4 41/3 24/3 43/2 22/3

5 Test Es. l’espressione 1/(0,3)2 vale: 10/9 9/100 100/9 0,009
nessuno dei precedenti

6 Test Il rapporto 3-2/(5-4×32) equivale a: (3/5)-1 34×5-4 15-1 3-4×54

7 Test La decimillesima parte di 100030 è: 100030/10000 (1000/10000)30
100013 1097 10043

8 Test Il valore di è: 227/10 237/10 2

9 Test L’espressione vale: 735 4573 4735 4537 7354

10 Funzione esponenziale
Si consideri la potenza 2x con xR. Essa assume valori variabili al variare di x y = 2x è detta “funzione esponenziale” perché l’esponente è variabile.

11 Funzione esponenziale
In generale si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: y = ax (la variabile x è all’esponente) con xR e aR+

12 Grafici delle funzioni esponenziali

13 Equazioni esponenziali
L’incognita è all’esponente di almeno una potenza. Caso più semplice: ax = b Risoluzione immediata se a e b sono potenze della stessa base. Es.: 27x = (33)x = x = x= x = 4/3

14 Disequazioni esponenziali
Caso più semplice: ax > ay Se a>1: x>y Se 0<a<1: x<y

15 Definizione di logaritmo
2x = 7 x è l’esponente da dare a 2 per ottenere 7 x è sicuramente un numero fra 2 e 3 x non può essere scritto in modo esatto con tutte le sue (infinite) cifre decimali Per questo si ricorre ad una scrittura simbolica per dire che x è l’esponente da dare a 2 per ottenere 7: x = log27 log = esponente da dare a … per ottenere …

16 Definizione di logaritmo
In generale: x = logab significa che ax = b Si vede subito che: argomento base

17 Casi notevoli loga1 = 0 logaa = 1 logaac = c

18 Limitazioni su a e su b logab a > 0 e a  1 b > 0

19 Proprietà dei logaritmi
loga(bc) = logab + logac (b, c > 0) loga(b/c) = logab – logac (b, c > 0) loga(b)n = nlogab (b > 0)

20 (la variabile x è nell’argomento del log)
Funzione logaritmica Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: y = loga x (la variabile x è nell’argomento del log) con x > 0 e a > 0, a  1

21 Grafici delle funzioni logaritmiche

22 Equazioni logaritmiche
L’incognita è nell’argomento di almeno un logaritmo. Caso più semplice: logax = b Es.: log10 (x-7) = 1 101 = x-7 dà elevato alla X = 17

23 Disequazioni logaritmiche
logax > logay Se a > 1, x > y Se 0 < a < 1, x < y

24 Test L’equazione nell’incognita x, con k parametro reale, ha soluzione: per ogni valore di k non negativo per nessun valore di k solo per k = 1 solo per k = 0 per ogni valore di k compreso fra -1 e 1

25 Test L’equazione ha soluzione: solo per valori di k non negativi
solo per valori positivi di k per ogni valore di k solo per k = ½ solo per k=0

26 Test Il grafico della funzione : giace sempre sopra l’asse x
giace sempre sotto l’asse x giace tutto nel secondo e terzo quadrante interseca una volta l’asse x interseca una volta l’asse y

27 Test Quale tra le seguenti è la soluzione dell’equazione ? 2000 3000 6
1/3

28 Test La soluzione dell’equazione è: 3/10 10/3 2/3 -2/3
l’equazione è impossibile

29 Test La funzione è positiva per: a. b. x<-1 oppure x>1 c. mai
d. sempre e. un logaritmo neperiano non può essere positivo

30 Test Il grafico in figura corrisponde a: a. y = ex + 1 b. y = ex - 2
c. y = e|x| d. y = ex e. y = ex - 1 1 -1