Modello di Solow con progresso tecnico

Presentazione sul tema: "Modello di Solow con progresso tecnico"— Transcript della presentazione:

1 Modello di Solow con progresso tecnico
Cosa fa crescere il reddito nel tempo?

2 Come cambiano le ipotesi?
Nel modello che abbiamo esaminato, la crescita del reddito per addetto è nulla in stato stazionario Ma allora, cosa spiega nel lungo periodo la crescita dei sistemi economici? Vediamo il concetto di progresso tecnico (At) che riflette il fatto che il contributo alla produzione dello stesso ammontare di K e N aumenta nel tempo (t) L’ipotesi è che il progresso tecnico sia incorporato nel fattore lavoro: con il passare del tempo il fattore lavoro diventa più produttivo. Quindi il progresso tecnico anche in assenza di crescita della forza lavoro ci permette di spiegare perché l’economia cresce anche nel lungo periodo.

3 Il modello di Solow con progresso tecnico (tempo continuo)
Yt = F(Kt, AtNt) Rendimenti di scala Costanti 2) St = s Yt 3) dKt/dt = It –δKt 4) St = It 1/N dNt/dt = n → (Nt = N0ent) 1/A dAt/dt = g → (At = A0egt) r=F’K w=F’N

4 Cosa cambia rispetto al modello visto nel discreto?
Yt = F(Kt, AtNt) Rendimenti di scala Costanti 2) St = s Yt 3) dKt/dt = It –δKt 4) 1/N dNt/dt = n → (Nt = N0ent) 1/A dAt/dt = g → (At = A0egt) St = It r=F’K w=F’N Yt = F(Kt,Nt) Rendimenti di scala Costanti (F omogenea di I grado) St = s Yt 3) Kt+1-Kt = It - δKt , K0 dato 4) Nt+1=(1+n)Nt , N0 dato St = It r=∂Yt/ ∂ Kt w= ∂Yt/ ∂ Nt

5 Funzione di produzione in forma intensiva
Poiché la F ha rendimenti di scala costanti: 1) ovvero 1’) yet = f(ket), dove e sta per effettiva, cioè incorpora il progresso tecnico Dinamica di yet? Dipende dalla dinamica di ket.

6 Dinamica di ket sostituendo le espressioni 2, 3, 4 5 e 6, e data la 1’ otteniamo: L'equazione indica che lo stock di capitale per unità di lavoro effettiva cresce se il risparmio e maggiore dell'investimento di sostituzione.

7 Dinamica di ket Se sf(ket) > (n+g+δ)ket, ket cresce (dkt/dt>0)
Se sf(ket) < (n+g+δ)ket, ket decresce (dket/dt<0) Se sf(ket) = (n+g+δ)ket, ket costante (dket/dt=0) stato stazionario

8 Esistenza e unicità dell’equilibrio di stato stazionario
Se valgono le usuali ipotesi neoclassiche sulla funzione f, allora: Esiste un unico equilibrio di stato stazionario, ke* tale che ket = ke* per ogni t Tale equilibrio è stabile. (vedi grafico)

9 Se sf(ket) > (n+g+δ)ket, ket cresce (dket/dt>0)
Se sf(ket) < (n+g+δ)ket, ket decresce (dket/dt<0) Se sf(ket) = (n+δ)ket, ket costante (dkt/dt=0) equilibrio di stato stazionario (n+g+δ) ket sf(ket) ke0 ket=Kt/AtNt ke* Ke0’ Nota: (0,0) è un equilibrio instabile

10 Dinamica di transizione
Tasso di crescita di ke: syt/ket gk0 (n+δ) sf(ket)/ket ket converge a ke* a tassi di crescita decrescenti! (il tasso di crescita è tanto maggiore quanto maggiore la distanza dallo stato stazionario) ket=Kt/AtNt ke0 ke*

11 Livelli di ke e ye in stato stazionario con funzione di produzione Cobb-Douglas
ke*→ s keα = (n+g+δ) ke In termini di variabili osservabili: A differenza di ke* e ye* , k*t e y*t non sono costanti, nel tempo, ma si evolvono nel tempo con l’evolversi di At!. A, k e y crescono al tasso g!

12 Proprietà dello stato stazionario: Crescita Bilanciata!
ket =Kt/AtNt=k* è costante (tasso di crescita pari a 0) kt = Kt/Nt cresce al tasso costante g Kt cresce al tasso n+g yet =Yt/AtNt=y* è costante yt cresce al tasso costante g (stato stazionario per ke e ye corrisponde a crescita bilanciata per y e k!) Yt cresce al tasso n+g Nel lungo periodo, sul sentiero di crescita bilanciata la forza che traina la crescita della produttività è il tasso di progresso tecnico.

13 Le altre variabili endogene chiave in stato stazionario (crescita bilanciata)
Nota: poiché At=A0egt, salario e consumo su un sentiero di crescita bilanciata crescono al tasso costante g. Nota: rendimento del capitale e tasso di interesse reale = r+δ è costante sul sentiero di crescita bilanciata

14 Effetti di variazioni del tasso di progresso tecnico g
Un aumento esogeno del tasso di progresso tecnico: Aumenta permanentemente il tasso di crescita del PIL per lavoratore (così come dei consumi per lavoratore, e del salario) Aumenta permanentemente anche il livello di yt, (e di conseguenza di ct e wt ) in ciascun t… Prova: vedi slide successiva

15 Effetti di variazioni di g sul livello di produttività su un sentiero di crescita bilanciata con f. di p. Cobb-Douglas Livello crescita Effetti di una variazione di g: Nota: un g più elevato aumenta yt* in ogni t !!: (l’effetto negativo dovuto all’aumento di (n+g+ δ) è più che compensato dall’effetto positivo dell’aumento di A (in t)!)

16 Effetti dinamici di un aumento del tasso di progresso tecnico g
kt g' g t t t0 t0 gk, gy yt g' g t t0 t t0 Nota: i sentieri temporali di c e w ricalcano quello di y

17 Effetti di variazioni del tasso di risparmio
Variazioni di s hanno effetti permanenti solo sui LIVELLI (come nel modello base) es. un s più elevato (basso) aumenta (riduce) il livello di y*t per ogni t! Non hanno effetti permanenti sui tassi di crescita: questi aumenteranno durante la dinamica di transizione, ma sul sentiero di crescita bilanciata torneranno ad essere trainati unicamente dal tasso di progresso tecnico, g.

18 Effetti dinamici di un aumento del tasso di risparmio
kt t t t0 t0 gk, gy yt g t t0 t t0 Nota: i sentieri temporali di c e w ricalcano quello di y

19 Effetti di variazioni del tasso di crescita della forza lavoro
Anche variazioni di n hanno effetti permanenti solo sui LIVELLI (come nel modello base) es. un n più elevato (basso) riduce (aumenta) il livello di y*t per ogni t! Non hanno effetti permanenti sui tassi di crescita: questi varieranno durante la dinamica di transizione, ma sul sentiero di crescita bilanciata torneranno ad essere trainati unicamente dal tasso di progresso tecnico, g.

20 Il modello e le domande centrali della teoria della crescita : stato stazionario (crescita bilanciata) Che cosa determina le differenze nei livelli di produttività (Y/N) (per un singolo paese nel tempo o tra paesi diversi)? Differenze nei tassi di risparmio s e di accumulazione (maggior s maggior livello di y*t) Differenze nei tassi di progresso tecnico g (maggior g maggior livello di y*t) Differenze nei tassi di crescita della forza lavoro (popolazione) e dell’ammortamento (minor n e δ maggior livello di y*t) Differenze nei livelli iniziali della tecnologia A0 (maggior A0 maggior livello di y*t)

21 Politiche Strutturali nel lungo periodo
Per aumentare il livello di PIL per lavoratore nel lungo periodo (stato stazionario/crescita bilanciata), politiche strutturali che mirano a modificare: s n Per aumentare (livello e) tasso di crescita del PIL per lavoratore nel lungo periodo politiche strutturali che mirano a modificare: g

22 Le previsioni del modello in s.s. (c.b.) e l’evidenza empirica
Dati A0 e g, (e dato δ) il livello di y sul sentiero di crescita bilanciata sarà tanto maggiore quanto maggiore è s, e tanto minore quanto maggiore n . L’elasticità di yt* rispetto al tasso di risparmio è (α /(1-α)) (Se (α =0,33 ci aspettiamo un’elasticità di 0,5)) L’elasticità di yt* rispetto a (n+g+ δ) (ovvero rispetto a n, dati g e δ) è - (α /(1-α)) (che ci aspettiamo essere attorno a -0,5). Queste previsioni sono in linea con l’evidenza empirica?

23 Specificazione del modello su dati per diversi paesi (cross-country)
N paesi, (i = 1..N). Assumiamo: yt* = yt +vi dove yt è il prodotto per lavoratore osservato e vi è un termine di errore, aleatorio g e δ uguali tra paesi, g+δ = 0,075 ln(A0 i) = A +εi dove A è una costante comune a tutti i paesi, ed εi è uno shock specifico a ciascun paese. Con queste ipotesi ….. Esempio tratto da Peter B. Sorensen and Hans J. Whitta-Jacobsen (2010): Introducing Advanced Macroeconomics: p. 137)

24 Specificazione del modello in un contesto Cross-Country
….il modello da stimare è: ln(y*i) = b0 +b1 [ln(si) - ln(ni+0,075)] +ξi con: b0 = A+gt , b1= α/(1-α) e ξi = εi +vi Campione di 65 paesi, livello di PIL per lavoratore nel si è il rapporto I/Y medio tra il 1960 e il 2003 per ciascun paese ni è il tasso di crescita medio annuo della forza lavoro tra il e il 2003 per ciascun paese i

25 Risultati della stima dei minimi quadrati
La variabilità tra paesi dei livelli di PIL per lavoratore è spiegata in buona misura dalla variabilità di s e n tra paesi! MA L’elasticità stimata (1,52) è molto maggiore di quanto ci aspettavamo (0,5), e corrisponde a una stima del sottostante parametro α pari a 0,6 (che è molto maggiore della quota del capitale, i.e. circa 0,33)!) QUINDI: Il modello SOTTOSTIMA molto la rilevanza dei tassi di accumulazione (e dei tassi di crescita della popolazione) rispetto alle correlazioni che troviamo nei dati!

26 Le differenze (nel tempo e tra paesi) nei livelli di k spiegano in buona misura le differenze nei livelli di produttività e PIL pro capite, solo assumendo valori di α molto più elevati di quanto il modello implica (quota del capitale (0.3) E allora? O le stime sono buone e il modello non funziona, e k in realtà è più importante di quanto implicato dal modello (i suoi rendimenti “sociali” potrebbero essere maggiori dei suoi rendimenti privati; α potrebbe non rappresentare la quota del capitale ed essere anche molto maggiore di 1/3) O il modello funziona nelle sue linee essenziali, ma le stime sono cattive: - (i parametri potrebbero essere non omogenei per gruppi diversi di paesi (stime inefficienti)), - i livelli tecnologici iniziali (la loro parte specifica a ogni paese) potrebbero essere correlati con i regressori (stime non corrette e non consistenti)…… - potremmo aver omesso qualche variabile rilevante. Potrebbe esistere ad esempio qualche altro input cumulabile (ad esempio il capitale umano) oltre al capitale fisico di cui tener conto ….(stime inefficienti, o addirittura non corrette né consistenti se la variabile omessa fosse correlata con i regressori). i risultati sono promettenti per le “parabole” della crescita in generale (teorie basate su poche variabili facilmente osservabili sembrano funzionare), ma non supportano il modello di Solow in particolare….

27 Crescita e convergenza nel modello di Solow
E’ “rassicurante” che il modello di Solow con progresso tecnico preveda un sentiero di crescita bilanciata con un tasso di crescita positivo. Ma il modello prevede anche una crescita (diversa) durante la dinamica di transizione verso il sentiero di crescita bilanciata. Abbiamo visto che, se ket< ke* , esso converge a ke* a tassi di crescita decrescenti, che tendono a 0 (e analogamente ye converge a ye*t a tassi decrescenti, che tendono a 0). Quanto al capitale per lavoratore(kt=Atket,) e al PIL per lavoratore, (yt=Atyet), anch’essi convergeranno al loro sentiero di crescita bilanciata a tassi di crescita decrescenti: maggiori di g, ma che nel tempo diminuiscono e tendono a g. La crescita monotonicamente decrescente del PIL per lavoratore durante la dinamica di transizione significa che il modello di Solow è coerente con l’idea di convergenza condizionale, che abbiamo spiegato commentando i fatti stilizzati della crescita

28 Convergenza condizionale nel modello di Solow: intuizione
Consideriamo due paesi, A e B con le stesse caratteristiche strutturali: α, s, n, g e δ. Essi avranno lo stesso livello di stato stazionario di ke* ed ye* Poiché durante la dinamica di transizione la crescita di ke ed ye è tanto maggiore quanto maggiore è la distanza dallo stato stazionario, il paese che parte con un livello inferiore di ke ed ye (A,nel grafico sotto) crescerà più velocemente dell’altro (B) durante la transizione ket=Kt/AtNt (n+δ) sf(ket)/ket gkeA ke* ke0A syet/ket ke0B gkeB

29 Un confronto con l’ipotesi di convergenza assoluta:
Solow: Convergence Convergence between rich and poor countries Absolute convergence: Poor countries grow faster and their GDP p.c. catches up with rich countries.

30 Modelling: Solow: Convergence
Fig 8.15a: No evidence for absolute convergence We should observe a negative relation under absolute convergence.

31 Modelling: Convergence between rich and poor countries
Solow: Convergence Modelling: Convergence between rich and poor countries Conditional convergence: Countries converge to unique steady states; Similar countries share steady states close to one another.

32 Modelling: Solow: Convergence
Fig 8.15b: Some evidence for conditional convergence Amongst OECD economies in the ‘golden age’ ( )

33 Convergenza condizionale nel modello di Solow
Quindi il modello di Solow supporta l’idea di convergenza condizionale. Un’implicazione è che, controllando le differenze strutturali tra paesi indicate dal modello, dovrebbe esserci una relazione negativa tra i livelli di PIL per lavoratore in un anno iniziale e i tassi di crescita nel periodo successivo. Inoltre, importante quanto la convergenza è il tasso di convergenza, ovvero la velocità con la quale un paese converge verso il suo sentiero di lungo periodo (crescita bilanciata). Per un paese povero che cerca di migliorare le sue caratteristiche strutturali per andare verso un sentiero più elevato è importante sapere se ci vorranno 10 o 50 anni per colmare metà della distanza dal sentiero di crescita bilanciata. Ora abbiamo un modello che ci permette di stimare i tassi di convergenza. E’ possibile (si veda l’appendice in fondo alle slides ) derivare l’equazione di convergenza, derivando l’equazione rilevante per la dinamica di transizione del nostro modello.

34 Eq. di convergenza per il singolo paese (per la derivazione si veda l’appendice)
Quindi per un singolo paese il tasso annuo medio di crescita del PIL per lavoratore durante la dinamica di transizione è funzione delle determinanti dello stato stazionario (crescita bilanciata), ed è funzione negativa del livello iniziale del PIL per lavoratore. Nota: durante la dinamica di transizione il tasso di crescita del PIL per lavoratore è maggiore di g, tanto di più quanto minore è il livello iniziale del PIL per lavoratore Possiamo pensare di interpretare la relazione, anziché per un singolo paese, in un contesto cross-country, ottenendo la specificazione dell’equazione di conver- genza condizionale:

35 Eq. di convergenza in un contesto cross-country
λi = (1-α)(ni+gi+δ) Se Ipotizziamo: log(A0i) = A+εi gi =g λi = λ (g+δ) = 0,075 La specificazione della relazione da stimare diventa:

36 L’equazione di convergenza condizionale da stimare
dove Ci aspettiamo: a0>0, a1>0 e β>0 (nota: c’è il “-” davanti) I coefficienti possono essere stimati e date le stime dei coefficienti possiamo risalire ai valori implicati per λ e α : da β stimato possiamo risalire a λ e dato λ possiamo risalire ad α

37 Stima (dei minimi quadrati) dell’equazione di convergenza per i 65 paesi, nel periodo 1960-2003
Si noti che il coefficiente del livello iniziale del reddito è negativo: Convergenza condizionale! tenuto conto delle differenze strutturali, i paesi con livello di produttività inizialmente più basso hanno sperimentato tassi di crescita maggiori E’ possibile costruire il grafico della relazione tra la crescita depurata dall’influenza dei fattori strutturali (gi03,60 – 0.016[lnsi-ln(ni+0,075)]) e il livello iniziale del PIL pro capite:

38 Convergenza condizionale per i 65 paesi, nel periodo 1960-2003

39 Stima dei parametri strutturali
Data la stima di β: Possiamo risalire alla stima di λ: E data la stima di Possiamo risalire alla stima di α

40 Con λ=0.007, metà della distanza dello stato stazionario viene coperta in 100 anni!!
QUINDI, di nuovo: Il modello sembra sottostimare molto la rilevanza dei tassi di accumulazione di capitale, e sottostima il tasso di convergenza rispetto a quanto troviamo nei dati!

41 E allora? Valgono le osservazioni che abbiamo fatto alla fine della stima dell’ equazione di stato stazionario: O le stime sono buone e il modello non funziona, e k in realtà è più importante di quanto implicato dal modello (i suoi rendimenti “sociali” potrebbero essere maggiori dei suoi rendimenti privati; α potrebbe non rappresentare la quota del capitale ed essere anche molto maggiore di 1/3) O il modello funziona nelle sue linee essenziali, ma le stime sono cattive: - (i parametri potrebbero essere non omogenei per gruppi diversi di paesi (stime inefficienti)), - i livelli tecnologici iniziali (la loro parte specifica a ogni paese) potrebbero essere correlati con i regressori (stime non corrette e non consistenti)…… - potremmo aver omesso qualche variabile rilevante. Potrebbe esistere ad esempio qualche altro input cumulabile (ad esempio il capitale umano) oltre al capitale fisico di cui tener conto ….(stime inefficienti, o addirittura non corrette né consistenti se la variabile omessa fosse correlata con i regressori). i risultati sono promettenti per le “parabole” della crescita in generale (teorie basate su poche variabili facilmente osservabili sembrano funzionare), ma non supportano il modello di Solow in particolare….

42 Misurare l’impatto della tecnologia: la contabilità della crescita
E’ possibile misurare empiricamente l’impatto della tecnologia sulla crescita? Solow (1957) introdusse la “contabilità della crescita”, una metodologia empirica che consente di scomporre la crescita osservata del prodotto (o del prodotto per lavoratore o per ora lavorata) in componenti dovute all’accumulazione di fattori e componenti dovute a variazioni nella “tecnologia di produzione”, o più in generale nell’efficienza dei fattori. Data l’impossibilità di “misurare” il progresso tecnico direttamente, l’idea è di misurarlo “indirettamente” come quella parte di crescita della produzione (o della produttività) non spiegata dalla crescita degli input osservabili. Le basi della contabilità della crescita furono esposte in Abramovitz (1956), Solow (1957), Kendrik (1961), Denison (1962), Jorgenson e Griliches (1967).

43 Contabilità della crescita metodo standard (1)
Yt = F(Kt, Nt, At,) At : livello tecnologico Kt, Nt: input capitale fisico e lavoro (potrebbero essere disaggregati in diversi tipi o qualità (Jorgenson e Griliches (67)) dYt/dt = F’KdKt/dt +F’NdNt/dt + F’AdAt/dt e, in termini di tassi di crescita (1/Y)(dYt/dt)= F’K(K/Y)(1/K)dKt/dt+ F’N(N/Y)(1/N)dNt/dt+ F’A(A/Y)(1/A)dAt/dt

44 Contabilità della crescita metodo standard (2)
(1/Y)(dYt/dt)= F’K(K/Y)(1/K)dKt/dt F’N(N/Y)(1/N) dNt/dt F’A(A/Y)(1/A)dAt/dt La crescita di Y è una media ponderata della crescita degli input K e N (dove i pesi sono dati dai contributi relativi dei fattori al al prodotto), e del fattore “g” g → crescita della Produttività Totale dei Fattori, o “Residuo di Solow”: è la parte della crescita non spiegata dall’accumulazione di fattori. (coincide con il tasso di crescita di A se la tecnologia è neutrale) F’K ,F’N → rendimenti marginali “sociali” di K e N g

45 Calcolo del “Residuo di Solow” (crescita della P. T
Calcolo del “Residuo di Solow” (crescita della P.T.F) metodo standard (1) Visto che i tassi di crescita di Y, K e N sono misurabili (anche se non senza difficoltà), si potrebbe pensare di calcolare il residuo non osservabile, g, per differenza: g = (1/Y)(dYt/dt) -F’K(K/Y)(1/K)dKt/dt F’N(N/Y)(1/N) dNt/dt → la stima di g tuttavia presuppone la conoscenza dei prodotti marginali sociali F’K e F’Nche non sono misurabili direttamente.

46 Calcolo del “Residuo di Solow” (crescita della P. T
Calcolo del “Residuo di Solow” (crescita della P.T.F) metodo standard (2) Nella pratica viene comunemente assunto che i prodotti marginali sociali, F’K e F’N coincidano con i prezzi dei fattori. Ciò implica assumere che: a. i fattori vengano pagati alle loro produttività marginali b. i prodotti marginali privati coincidano con i prodotti marginali sociali (assenza di esternalità …..) Con queste ipotesi, e se F’K=r e F’N =wN la stima di g sarà: gstim =(1/Y)(dYt/dt) – qK (1/K)dKt/dt - qN(1/N)dNt/dt con qK = rK/Y e qN =wN/Y Nota: con f. di p. Cobb-Douglas qK =α e qN =1-α

47 Calcolo “Residuo di Solow” (crescita della P.T.F) metodo standard (3)
gstim =(1/Y)(dYt/dt) – qK (1/K)dKt/dt - qN(1/N)dNt/dt Se la somma delle quote esaurisce il prodotto (qK + qN=1): gstim =(1/Y)(dYt/dt) – qK (1/K)dKt/dt – (1- qK)(1/N)dNt/dt e l’espressione può essere formulata in termini pro-capite come: gstim =(1/y)(dyt/dt) – qK (1/k)dkt/dt dove y=Y/N e k = K/N. Nota: Il residuo di Solow (o crescita della PTF) è stato definito come una misura della nostra ignoranza!!

48 La contabilità della crescita nei calcoli dell’ISTAT
Il documento è reperibile nel sito dell’ISTAT e le stime vengono Proposte ogni anno nel mese di novembre: Il quadro teorico di riferimento deriva dalla teoria neoclassica della produzione, secondo cui è possibile rappresentare la tecnologia in termini di una funzione di produzione, continua e differenziabile, che pone in relazione l’output, i fattori produttivi e il progresso tecnico. La metodologia di calcolo fa riferimento alle linee guida indicate nel manuale per la misurazione della produttività pubblicato dall’OCSE (Measuring Productivity. OECD Productivity Manual: A Guide to the Measurement of Industry-Level and Aggregate Productivity Growth, Parigi, OECD) disponibile all’indirizzo

49 Le componenti della crescita in Italia 1995-2016 (Istat)

50 Contabilità della crescita: problemi (1)
Ipotesi cruciale che viene normalmente adottata per i calcoli  i prezzi dei fattori coincidono con i loro rendimenti sociali (F’K = r; F’N = w) Se l’ipotesi è violata, allora gstim è una stima distorta del contributo del “progresso tecnico” alla crescita. Ad esempio: se il rendimento privato del capitale è inferiore al suo rendimento sociale, a causa della presenza di esternalità positive dell’accumulazione, il residuo di Solow sarà sovrastimato (e il contributo del capitale alla crescita sottostimato)

51 Contabilità della crescita: problemi (2)
La stima di g potrebbe essere distorta laddove vi siano diverse qualità di fattori o diversi settori, ma non sia possibile distinguere le diverse categorie nei dati. gstim calcolato sulla crescita media e sulla remunerazione media coinciderà con g solo nel caso in cui i tassi di crescita dei fattori di diversa qualità (o settore) siano uguali o, alternativamente, i prezzi dei fattori di diverso settore (qualità) siano uguali. MA: NB: se la composizione degli input (settoriale o per qualità) cambia nel tempo, e aumenta il peso degli input con prezzi (e produttività) superiori, il valore gstim misurato sovrastima il valore corretto g. (Tipico esempio: cambiamento strutturale nel corso dello sviluppo)

52 derivazione dell’equazione di convergenza per il singolo paese
Appendice: derivazione dell’equazione di convergenza per il singolo paese

53 Appendice: derivazione dell’equazione di convergenza per il singolo paese
Può essere riscritta come: Approssimazione (ai log) in serie di Taylor attorno allo stato stazionario ke*: e, poiché in stato stazionario ln(s)+(α-1)ln(ket)= ln(n+g+δ) :

54 Equazione di Convergenza (continua)
In termini di produttività, ricordando che ln(ye) = α ln(ke) (e dunque dln(ye) = α dln(ke) : →tasso di crescita proporzionale alla distanza dallo stato stazionario Soluzione dell’equazione differenziale: ovvero: Al tendere di t a ∞ il primo termine diventa pari a 0 e ln(yet) converge a log( ye* ). La convergenza avviene a tassi di crescita decrescenti λ →tasso di convergenza o velocità di convergenza

55 Equazione di Convergenza (continua)
Sottraggo ln(ye0) da ambo i lati: Sostituisco l’espressione di ye* con tecnologia Cobb-Douglas: Sapendo che: ln(yet) = ln(yt)-ln(At) = ln(yt)-lnA0-gt e che ln(ye0) = ln(y0)-ln(A0) a relazione sopra può essere scritta in termini di variabili osservabili : In un dato anno t=T possiamo scrivere, dividendo ambo i lati per T: