Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali) Reti Elettriche Parte II Revisione aggiornata al 24 maggio 2011 (www.elettrotecnica.unina.it)

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1 Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali) Reti Elettriche Parte II Revisione aggiornata al 24 maggio 2011 (www.elettrotecnica.unina.it)

2 Circuiti in regime lentamente variabile

3 Bipoli elementari lineari

4 Bipoli resistenza e induttanza In regime stazionario equivale ad un corto circuito ideale

5 Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente

6 Flusso di autoinduzuine La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione γ concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare: γ =f(i)=Li L è il coefficiente di autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0 γ >0 e per i<0 γ <0 L= γ /i>0 i>0

7 Esempi di realizzazione del bipolo induttanza Nella spira attraversata da i(t) insorge la f.e.m. e(t): in cui φ γ è il flusso dautoinduzione Li. LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:

8 Esempi di realizzazione del bipolo induttanza S

9 Esempio di realizzazione del bipolo capacità Dato il condensatore piano C la LKT fornisce: v-v C =Ri0 q=cv C v=v C v(t) C

10 Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale γ

11 Richiami sulle funzioni periodiche Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha: Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione.

12 Richiami sulle funzioni periodiche La frequenza è il numero di cicli in un secondo: f=1/T [Hertz] La pulsazione è la quantità: ω=2πf=2π/T [Rad/sec] Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità: indipendente da t 0. Se F m =0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f: (valore quadratico medio)

13 Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace Regime periodicoRegime stazionario p=vi=Ri 2 P=VI=RI 2 Energia assorbita nellintervallo T I 2 regimi sono equivalenti se W P =W S

14 Circuiti in regime lentamente variabile Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

15 Grandezze sinusoidali A M ampiezza α fase Valore efficace: Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s

16 Richiami sui numeri complessi Rappresentazione algebrica z=x+jy dove j è lunità immaginaria definita da j 2 =-1. x è la parte reale di z y la parte immaginaria z è indicato anche come (x,y). P è limmagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari. Rappresentazione geometrica nel piano complesso z è laffissa complessa di P

17 Richiami sui numeri complessi Complesso coniugato di z=x+jy: z*=x-jy Modulo di z: Argomento di z (anomalia del vettore OP) ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come z=[ρ, θ] Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso

18 Richiami sui numeri complessi Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy: z=ρ(cosθ+jsin θ) Per la formula di Eulero e jθ =cosθ+jsinθ si ha la formulazione esponenziale complessa di z: z=[ρ, θ]= ρ e jθ

19 Operazioni sui numeri complessi SOMMA

20 Prodotto di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

21 Divisione di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

22 I vettori rotanti La grandezza sinusoid. è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le. Si ha:

23 I fasori Fissata ω, è compiutamente identificata da A e α, come il fasore definito da: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso. α

24 Le operazioni sulle grandezze sinusoidali: la somma Date O dove:

25 Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale (Esercizio 1) Date i 1 (t), i 2 (t) e i 3 (t) calcolare i(t).

26 Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dellangolo φ

27 Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t) dellangolo φ

28 Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali a(t) e b(t) sono in fase

29 Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante Date: ed una costante reale k>0, α

30 Prodotto di un fasore per un numero complesso

31 Prodotto di un fasore per lunità immaginaria j j fattore di rotazione di /2

32 Derivata temporale di una grandezza sinusoidale Data α

33 Prodotto di grandezze sinusoidali

34 Bipolo resistenza in regime sinusoidale Dominio del tempo Dominio dei fasori impedenza

35 Bipolo induttanza in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo impedenza Reattanza

36 Bipolo capacità in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo Impedenza Reattanza

37 Bipolo R-L in regime sinusoidale LKT Dominio del tempo Dominio dei fasori

38 Bipolo R-L in regime sinusoidale Dominio del tempo i(t) costituisce un integrale particolare dellequazione differenziale φ=arctg(ωL/R)

39 Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) Lintegrale generale dellequazione differenziale: èdove i p (t) è un integrale particolare e λ è la radice dellequaz. caratteristica dellequaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) (trascurabile per t>5T)

40 Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) Se ad es. R=10, X=ωL=10, per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms e dopo circa 16 ms il termine transitorio ke -t/T è trascurabile.

41 Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT Dominio dei fasori

42 Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo

43 Bipoli R-L e R-C in regime stazionario v(t)=V (costante) v R =Vv L =0 i=V/R v(t)=V (costante) v R =0v C =V i=0

44 Bipoli R,L,C in regime sinusoidale B=0 R=A B>0B<0 R=A

45 Ammettenza di un bipolo Ammettenza [ -1 ]

46 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Regime stazionarioRegime sinusoidale

47 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Regime stazionarioRegime sinusoidale LKT LKC LKT LKC

48 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Regime stazionarioRegime sinusoidale Millmann

49 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Thévenin in regime stazionario Bipolo di Thévenin in regime sinusoidale

50 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Norton in regime stazionario Bipolo di Norton in regime sinusoidale

51 Impedenze in serie

52 Impedenze in parallelo

53 Bipolo R-L-C e risonanza Impedenza Limpedenza del bipolo è: il bipolo è in risonanza se: ω 0 pulsazione di risonanza.

54 Bipolo R-L-C e risonanza Corrente Se Valore efficace della corrente Il valore massimo di I si ha per ω=ω 0 ed è pari a V/R

55 Bipolo R-L-C e risonanza. Fase Lo sfasamento φ: φ<0 per ω<ω 0 il bipolo è equivalente a un bipolo R-C φ=0 per ω=ω 0 il bipolo è equivalente al bipolo R Φ>0 per ω>ω 0 il bipolo è equivalente ad un bipolo R-L

56 Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito Per ω=ω 0 si ha : ω=ω0ω=ω0 Q fattore di merito

57 Bipolo R-L-C e risonanza Selettività La potenza massima assorbita dal bipolo si ha in ω=ω 0 : P max =RI 2 In A e B la potenza P=P max /2. Δω è la larghezza di banda. Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il bipolo. Al diminuire di R cresce Q=ω 0 L/R e Δω diminuisce.

58 Bipolo R-L-C e risonanza Influenza di R

59 Un esempio numerico (Esercizio 2) f=10 Hz, R=7,32, R=20, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Calcolare i(t), i(t), i(t) ω=2πf=20π rad/s, X L =ωL=20, X C =20. V A AA A B

60

61 Potenza nei circuiti in regime sinusoidale

62 Definizioni Se la tensione e la corrente di un bipolo sono: Adottando per il bipolo la convenzione dellutilizzatore per le potenze assorbite e quella del generatore per quelle erogate, si possono definire le seguenti grandezze: 1. p(t)=v(t)i(t) potenza istantanea [W] 2. P=VIcosφ potenza attiva [W] 3. Q=VIsinφ potenza reattiva (grandezza convenzionale) [VAr]

63 Definizioni 4.P app =VI Potenza apparente (grandezza convenzionale) [VA] 5. Potenza complessa (grandezza convenzionale) La potenza istantanea, le potenze attiva, reattiva e complessa soddisfano il principio di conservazione delle potenze. Alle potenze non è applicabile la sovrapposizione degli effetti.

64 La potenza apparente Nel caso di reti di distribuzione dellenergia elettrica la potenza apparente può essere correlata ai costi di investimento sostenuti per la realizzazione delle reti stesse. Infatti: P app =VI La V è correlata ai costo relativi al sistema di isolamento. La I è correlata alla quantità di rame impiegata.

65 La potenza istantanea Potenza attiva P Potenza fluttuante 0 La potenza attiva P è pari al valore medio della potenza Istantanea p(t)

66 La potenza istantanea P=VIcosφ

67 Potenza attiva ed energia Se un utilizzatore U assorbe una potenza attiva P=VIcosφ costante nellintervallo di tempo 0-t 1 >>T, lenergia assorbita è: p fluttuante Lenergia assorbita da U può essere associata alla resa economica per limpianto che alimenta U. Pertanto la potenza attiva P può essere correlata a tale resa economica.

68 Espressioni della potenza attiva La potenza attiva P può essere espressa in funzione dei vettori ed rappresentativi della tensione e della corrente come: oppure: I a componente attiva della corrente

69 Potenza attiva e potenza apparente La potenza attiva P è legata alla potenza apparente P app dalla relazione: P=(P app )cosφ Correlata alla resa economica Correlata ai costi di investimento Il cosφ è detto fattore di potenza

70 Potenza reattiva La potenza reattiva Q=VIsinφ costituisce una grandezza convenzionale priva in generale di uno specifico significato fisico. Essa costituisce un indicatore di insoddisfacente resa economica e qualità del processo di utilizzazione dellenergia elettrica ed è utile nellanalisi delle reti elettriche poiché soddisfa il principio di conservazione. Essendo: a parità di potenza apparente, quanto maggiore è la Q, minore è la P e quindi la resa economica dellimpianto. Essendo inoltre: a parità di P, quanto maggiore è Q, maggiore è I e quindi maggiori sono le perdite per effetto Joule e le cadute di tensione sulla linea elettrica che alimenta lutilizzatore U

71 Potenza reattiva P 1 =P 2 I 1 <I 2 φ1<φ2 φ1<φ2 Q 1 <Q 2

72 Potenza complessa

73 Principio di conservazione delle potenze complesse Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete. Siano P 1,.. P i,…P n gli n nodi della rete Tesi Somma parziale relativa al nodo P i Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete

74 Principio di conservazione delle potenze complesse Dal principio di conservazione delle potenze complesse: essendo: si deducono i principi di conservazione delle potenze attive e reattive:

75 Misura della potenza Lamperometro ed il voltmetro misurano il valore efficace (valore quadratico medio) di v ed i. Il wattmetro la potenza attiva P (valore medio della potenza istantanea v(t)i(t)). V(t) i(t)

76 Potenze nel bipolo resistenza α=0

77 Potenze nel bipolo induttanza α=0

78 Potenze nel bipolo induttanza α=0

79 Potenze nel bipolo capacità α=0

80 Potenze nel bipolo capacità α=0

81 Potenze nel bipolo R-L α=0 φ>0

82 Potenze nel bipolo R-L α=0

83 Potenze nel bipolo R-C α=0

84 Una formulazione del principio di conservazione delle potenze potenze complesse erogate

85 Rifasamento Quanto minore è il cosφ di un impianto peggiore è la sua resa economica per lente distributore dellenergia elettrica e a parità di P maggiore è la corrente assorbita. Per impianti con P>15 kW non è consentito il funzionamento con cosφ medio (cosφ m ) minore di 0,7. Per 0,7< cosφm<0,9 occorre pagare una penale commisurata allenergia reattiva assorbita (W Q ). dove τ è lintervallo di fatturazione

86 Rifasamento U utilizzatore ohmico- induttivo C capacità di rifasamento φ*: φ desiderato DIME DIMENSIONAMENTO DI C

87 Passività dei bipoli in regime lentamente variabile Negli intervalli 0-t 1 e t 2 -t 3 la potenza p=v(t)i(t) è minore di zero e le energie: e sono anche esse negative e rappresentano energie erogate dal bipolo alla rete a monte. Applicando le definizioni di di bipolo passivo e attivo adottate in regime stazionario si dovrebbe ritenere che tale bipolo sia attivo. In regime lentamente variabile un

88 Passività dei bipoli in regime lentamente variabile bipolo si dice invece passivo se, applicando la convenzione dellutilizzatore, risulta per ogni t: Si ha quindi che lenergia che un bipolo passivo può erogare in un determinato intervallo di tempo non è mai maggiore di quella precedentemente assorbita. Sono passivi i bipoli R, L, C e tutti quelli risultanti dalla loro connessione.

89 Caratterizzazione dei bipoli passivi Oltre che con lequazione caratteristica: i bipoli passivi si possono caratterizzare mediante: In particolare possono essere forniti i dati nominali. (ritardo) (anticipo)

90 Caratterizzazione dei bipoli passivi Da ciascuna di queste caratterizzazione si può dedurre loperatore impedenza. Ad es. dalla prima si ha:

91 Utilizzazione del principio di conservazione delle potenze Esempi numerici R=10, ωL=19,6. Dati di targa utilizzatore U V n =220 V, P n =1,76 kW, cosφ u =0,8 (rit.) Calcolare indicazione amperometro A (valore efficace della corrente i) + Esercizio 3 Applicazione conservazione potenze P=RI 2, Q=ωLI 2. I=220/z.. I=10 A, P=1 kW, Q=1,96 kVAr. P=P n =1,76 kW, Q=Ptgφ u, tgφ u =0,75, Q=1,32 kVAr

92 P tot =P+P=2,76 kW, Q tot =Q+Q=3,28 kVAr, kVA, cosφ=P tot /P app =0,643, φ=49,9° I=P app /V=19,48 A (Indicaz. amperometro)

93 Applicazione dei fasori V;A AA AA

94 Es.4 R=10, ωL=19,6. Dati di targa utilizzatore U V n =220 V, P n =1,76 kW, cosφ u =0,8 (rit.) R l L l Calcolare il valore efficace V della tensione a monte v(t) affinché a valle ai capi dellutilizzatore U sia applicata la sua tensione nominale V n R l =0,5 ωL l =1 B B Applicazione conservazione potenze Dallesercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A: I=19,48 A, P A =2,76 kW, Q A = 3,28 kVAr. I dati corrispondenti nella sez. B,B

95 P B =R l I 2 + P A =2,95 kW Q B =ωL l I 2 + Q A =3,66 kVAr kVAV=P appB /I=241,2 V ΔV=V-V n =21,2 V (8,7 %) Applicazione dei fasori Dallesercizio 3 nella sezione A-A: V A Nella sezione B-B: V V

96 Eserc. 5 R=10, ωL=19,6. f=50 Hz Dati di targa utilizzatore U V n =220 V, P n =1,76 kW, cosφ u =0,8 (rit.) Calcolare C in maniera tale da rifasare totalmente limpianto (cosφ=1) Dallesercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A: I A =19,48 A, P A =2,76 kW, Q A = 3,28 kVAr, cosφ A =0,643. kVAr μFμF P B =P A =VI B I B =12,54 A

97 Esercizio 6 Nella stessa rete dellesempio 3) calcolare C in maniera tale che il cosφ nella sezione B-B sia pari a 0,9. P A =2,76 kW, Q A = 3,28 kVAr, cosφ A =0,643 φ A =49,9° cosφ*=0,9 φ*=25,8° kVArμFμF P B =P A =VI B cosφ*I B =13,94 A

98 Reti con generatori a frequenza diversa Non è direttamente applicabile il metodo dei fasori. Se la rete è lineare si può applicare la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo, considerando separatamente agenti i generatori a eguale frequenza. Per ciascun gruppo di generatori isofrequenziali si può applicare il metodo dei fasori. Un esempio numerico (esercizio 7) e 3 =200 V (costante) R=ωL= 1/(ωC)= 20 Calcolare i 1 (t), i 2 (t), i 3 (t). i k (t)=i k (t) + i k (t) + i k (t) (k=1, 2, 3) V V

99 Calcolo delle i k (t) (componenti a pulsazione ω) V A AA A A A

100 Calcolo delle i k (t) (componenti a pulsazione 2ω) V AA A A A A

101 Calcolo delle i k (t) (componenti stazionarie) A Correnti risultanti A A A

102 Circuiti in regime sinusoidale Reti trifasi

103 Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali costituiscono un sistema simmetrico diretto di grandezze sinusoidali.

104 Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali costituiscono un sistema simmetrico inverso di grandezze sinusoidali.

105 Generazione di una f.e.m. sinusoidale ω α ω

106 Generazione di un sistema simmetrico di f.e.m. sinusoidali ω

107 Genesi di una rete trifase

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110 Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a stella α=0 v 12, v 23, v 31, costituiscono una terna simmet. diretta Nelle reti di distribuzione E=220 V, V=380 V.

111 Reti trifasi - Carico a stella - Denominazioni z: impedenza di fase e 1, e 2, e 3 tensioni stellate di alimentazione e 1, e 2, e 3 tensioni stellate sul carico o di fase i 1, i 2, i 3 correnti di linea o di fase v 12, v 23, v 31 tensioni di linea o concatenate

112 Stelle equilibrate- Circuito monofase equivalente Circuito monofase equivalente

113 9 lati, 3 nodi Circuito monofase equivalente

114 Un esempio (Esercizio 8) f=10 Hz, R=7,32, R=20, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Circuito monofase equivalente; circuito già precedentemente analizzato

115 Le correnti relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di 120° e 240° in ritardo.

116 Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a triangolo i 1, i 2, i 3 e j 12, j 23, j 31, sono 2 terne simmetriche Carico equilibrato

117 Confronto tra sistemi equilibrati con carico a stella e a triangolo Carico a stella i linea =i fase v linea v fase (e) Carico a triangolo i linea i fase (j) v linea =v fase

118 Potenza nei sistemi trifasi simmetrici ed equilibrati Per il principio di conservazione delle potenze le potenze attiva e reattiva assorbite dal carico trifase sono pari alla somma di quelle erogate dai 3 generatori: φ è lo sfasamento tra e 1 e i 1

119 Esercizio 9 R=30 ; ωL=58,8. Dati di targa dellutilizzatore equilibrato trifase U T : V n =380 V (V concatenata); P n =5,28 kW; cosφ U =0,8 (ritardo). Calcolare tutte le correnti, le P e Q complessivamente assorbite dai due carichi ed il cosφ risultante.

120 Trasformando a stella il triangolo di R,L e sostituendo U T con una stella equivalente: Dati del bipolo U (utilizzatore monofase): V u =220 V, P u =1,76 kW, cosφ u =0,8 (ritardo)

121 Circuito monofase equivalente Questa rete è già stata analizzata nellesercizio 3 Le correnti di linea relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di 120° e 240° in ritardo. Le correnti J nei lati del triangolo R-L sono date da AA A AA A Le Pe Q sono pari a quelle già calcolate nellesercizio 3 moltiplicate per 3: P=8,28 kW, Q=9,84 kW, cosφ=0,643.

122 Esercizio 10 I dati sono quelli dellesercizio 9. f=50 Hz. Dimensionare lutilizzatore capacitivo U C in maniera tale che il cosφ a monte sia pari a 0,9.

123 P e Q a valle di U C sono già stati calcolati nellesercizio 9. P=8,28 kW, Q= 9,84 kVAr, cosφ=0,643 φ=49,9° cosφ*=0,9 φ*=25,8° kVAr Se U C è costituito da una stella di condensatori di capacità C y : Se U C è costituito da un triangolo di condensatori di capacità C Δ : μFμF μFμF

124 Esercizio 11 e 1, e 2, e 3 costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di pulsazione ω R=30 ; ωL=58,8 ; R=5 ; ωL=5. U T (carico ohmico-induttivo) assorbe la potenza P=5,28 kW con cosφ=0,8 essendo alimentato dalla tensione: Calcolare v 23 (t) e v 1a (t).

125 Circuito monofase equivalente V I dati di U e la corrente i 1 sono già calcolati nellesercizio 9 V V V VV

126 Rete trifase a tre fili: stella squilibrata Tensione di spostamento del centro stella Le terne delle tensioni stellate e k e delle correnti i k non sono simmetriche.

127 Sistema trifase a quattro fili: stella squilibrata 1, 2, 3 conduttori di fase N conduttore di neutro

128 Sistema trifase: triangolo squilibrato

129 Un esempio di rete di distribuzione in BT

130 Misura della potenza in una rete trifase simmetrica ed equilibrata

131 Inserzione Aron

132 Misura della potenza in una rete trifase a 3 fili non equilibrata

133 Reti in regime lentamente variabile Funzionamento transitorio

134 Bipolo R-L in regime transitorio LKT

135 Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) Lintegrale generale dellequazione differenziale: èdove i p (t) è un integrale particolare e λ è la radice dellequaz. caratteristica dellequaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0 +.

136 Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) La corrente i nellinduttanza è una variabile di stato, per cui i(0 + )=i(0 - ). Se I 0 =[i(t)] t=0- imponendo i(0 + )=i(0-)=I 0 si ha: Se il circuito è inizialmente a riposo I 0 =0

137 Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) α <0

138 Risposta del bipolo R-L ad un gradino di tensione Lintegrale generale dellequazione è: Imponendo i(0 + )=i(0 - )=0: T=L/R

139 Bipolo R-C in regime transitorio (v (t) sinusoidale) Lintegrale generale dellequazione differenziale è: dove v cp (t) è un integrale particolare e λ è la radice dellequaz. caratteristica dellequaz. omogenea associata RCλ+1=0 (T=RC costante di tempo)

140 Bipolo R-C in regime transitorio (v (t) sinusoidale) La tensione v C è una variabile di stato, per cui v C (0 + )=v C (0 - ). Se V 0 =[v C (t)] t=0- imponendo v C (0 + )=v C (0 - )=V 0 si ha: Se la capacità è inizialmente scarica V 0 =0. La i è data da: Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0 +.

141 Bipolo R-C in regime transitorio (v (t) sinusoidale) α>0

142 Risposta del bipolo R-C ad un gradino di tensione Lintegrale generale dellequazione è: Imponendo v c (0 + )=v c (0 - )=0 si ha k=-V. T=RC

143 Bipolo R-L-C in regime transitorio Lintegrale generale è dove v ct è lintegrale generale delleq. omogenea associata (componente transitoria) e v cp è un integrale particolare delleq. differenziale completa. Integrale particolare delleq. completa Se v=V (costante) per t>0, v cp (t)=V. La corrente corrispondente è i p =0. Se v(t) è sinusoidale i fasori di v, i e v C sono dati da:

144 dove Lintegrale particolare v cp (t) in tale caso è dato da: e la corrispondente corrente:

145 Equazione caratteristica dellequazione omogenea associata dove è la pulsazione di risonanza del bipolo R-L-C dove Le radici di tale eq. sono: essendo dove Q è il fattore di merito del bipolo R-L-C. Se Q<1/2 le radici λ 1 e λ 2 sono reali e distinte e date da:

146 Se Q=1/2 le radici sono reali e coincidenti e date da: Se Q>1/2 le radici sono complesse e coniugate, date da: dove Se le radici λ delleq. caratteristica sono distinte (reali oppure complesse coniugate, Q 1/2) due soluzioni linearmente indipendenti delleq. omogenea associata sono : e il suo integrale generale è due soluzioni linearmente indipendenti delleq. omogenea associata sono :

147 Integrale generale dellequazione omogenea associata Se Q<1/2 lintegrale generale dellequazione omogenea associata e la corrispondente corrente: Q<1/2

148 Se Q>1/2: e la corrispondente corrente: Q>1/2

149 Se Q=1/2: e la corrispondente corrente: Q=1/2

150 Soluzioni delleq. differenziale completa e condizioni iniziali Per risolvere leq. differenziale completa occorre calcolare le costanti dintegrazione k 1 e k 2 imponendo le condizioni iniziali per t=0 + alla v C ed alla sua derivata. La tensione sulla capacità v C e la corrente nellinduttanza i=C dv C /dt sono variabili di stato, per cui v C (0 + )=v C (0 - ) e i(0 + )=i (0 - ). Se V 0 =[v C (t)] t=0- e I 0 =[i(t)] t=0- il calcolo di k 1 e k 2 si effettua imponendo nellintegrale generale dellequazione completa v C (0 + )=V 0 e i(0 + )=I 0. Se Q<1/2

151 Risposta al gradino di ampiezza V (V 0 =0, I 0 =0, v Cp (0)=V, i p (0)=0) Se Q=1/2 Q<1/2

152 Risposta al gradino di ampiezza V [V 0 =0, I 0 =0, v Cp (0)=V, i p (0)=0] Se Q>1/2

153 Risposta al gradino di ampiezza V [V 0 =0, I 0 =0, v Cp (0)=V, i p (0)=0] Q>1/2 Inserzione di v(t) sinusoidale in un circuito inizialmente a riposo (V 0 =0, I 0 =0) dove

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