Teorema di Ramsey Lower bound cubico Disuguaglianza di Fisher Lezione 6 dal libro di Babai & Frankl: Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications.

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1 Teorema di Ramsey Lower bound cubico Disuguaglianza di Fisher Lezione 6 dal libro di Babai & Frankl: Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science

2 Teorema di Ramsey Per ogni t, esiste R 2 (t) tale che, per n ≥ R 2 (t), se coloriamo gli archi di K n con 2 colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. LB(t) ≤ R 2 (t) ≤ UB(t) Trova una colorazione Dimostra il teorema 4t4t Riassunto

3 Teorema di Ramsey Per ogni t, esiste R 2 (t) tale che, per n ≥ R 2 (t), se coloriamo gli archi di K n con 2 colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. LB(t) ≤ R 2 (t) ≤ 4 t Trova una colorazione (t-1) 2... t-1 Riassunto

4 Teorema di Ramsey Per ogni t, esiste R 2 (t) tale che, per n ≥ R 2 (t), se coloriamo gli archi di K n con 2 colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. (t-1) 2 ≤ R 2 (t) ≤ 4 t... t-1 Possiamo fare di meglio? O(t3)O(t3)

5 Come Oddtown S1,…,Sm t.c. |Si  Sj| è pari per i  j |Si| è pari ogni i m ≤ n Disug. Fisher S1,…,Sm t.c. |Si  Sj|=k per i  j m ≤ n Linear Algebra Bound O(t 3 ) ≤ R 2 (t) a',b',c' a,b,c colora in base a intersezione: 0, 1, 2 triple su t -1 ≤ t-1 Perchè Lezione 1Oggi

6 Disuguaglianza di Fisher Siano S 1,…,S m  {1,…, n} tali che |S i  S j | = k, per un qualche k fissato (i ≠ j). Quanti insiemi posso costruire? non più di n Esempio: k = 0 → singleton Allora m ≤ n. Caso facile: |S q | = k per un qualche S q SjSj SiSi SqSq Caso difficile: |S i | > k per ogni i Esercizio

7 Disuguaglianza di Fisher Siano S 1,…,S m  {1,…, n} tali che |S i  S j | = k, per un qualche k fissato (i ≠ j). Quanti insiemi posso costruire? non più di n Allora m ≤ n. vivi S1S1 SiSi SmSm …… v1v1 vmvm Il solito vettore 0/1 v i (h)=1 sse h in S i linearmente indipendenti Caso difficile: |S i | > k per ogni i

8 Disuguaglianza di Fisher Siano S 1,…,S m  {1,…, n} tali che |S i  S j | = k, per un qualche k fissato (i ≠ j). Quanti insiemi posso costruire? non più di n Allora m ≤ n. >k>k >k>k k k >0>0 >0>0 0 0 ≈ 1 v 1 + ⋯ + m v m = 0 v m ( 1 v 1 + ⋯ + m v m ) = 0 k( 1 + ⋯ + m ) + m (d m - k) = 0 >0 (diagonale) >0 senza perdere in generalità (perchè?) m = 0 Linearmente indipendenti v i v j = |S i  S j | |S i | > k matrice

9 Cosa ricordare Per dare una costruzione esplicita di grafi di Ramsey usiamo il fatto che non ci possono essere “tanti” insiemi se le loro intersezioni sono “limitate” (cardinalità 0,1 o 2) Nella prova della disuguaglianza di Fisher abbiamo usato una variante del criterio della diagonale >k>k >k>k k k