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Lezione 8. Chernoff Bound Siano X 1,…X n n variabili casuali indipendenti tali che Pr[X i =1]=p i Pr[X i =0]=1-p i E[X i ]= p i Consideriamo la variabile.

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1 Lezione 8

2 Chernoff Bound Siano X 1,…X n n variabili casuali indipendenti tali che Pr[X i =1]=p i Pr[X i =0]=1-p i E[X i ]= p i Consideriamo la variabile casuale e poniamo = E[X]= = E[X]= Allora abbiamo > 0 0


3 Chernoff Bound Esempio Supponiamo di lanciare 100 volte una moneta Sia X i la variabile casuale Abbiamo quindi Pr[X i =1]=1/2 e E[X i ]=1/2 per tutte le i. Allora conta il numero delle teste in 100 lanci. =E[X]=50 =E[X]=50 Calcoliamo un upper bound sulla probabilità che X>60 Pr[X>60]=Pr[X>(1+0.2) ] 60]=Pr[X>(1+0.2) ]<(e 0.2 / )

4 Chernoff Bound Nella lezione precedente ci siamo posti una domanda Quanti nodi ci sono in 2 b /n identificatori? Nel nostro sistema ci sono n nodi. Pr[X i =1]=(2 b /n)/2 b =1/n Pr[X i =0]=1- Pr[X i =1]=(n-1)/n E[X i ]=1/n 2 b /n T

5 T Chernoff Bound X conta quanti nodi cadono in T =E[X]=1/n*n=1 =E[X]=1/n*n=1 Proviamo che non ci sono più di O(logn / log log n) nodi. Chernoff bound =1 e/4<1 n>e 2e 4 ln n / ln ln n = O(log n / log log n)

6 H-Chord Chord Sia n=2 b, per ogni 0 i < b, il nodo x è connesso ai nodi (x+2 i ) mod 2 b ; Sia n=2 b, per ogni 0 i < b, il nodo x è connesso ai nodi (x+2 i ) mod 2 b ; Il grado è b; Il grado è b; Il diametro è b; Il diametro è b; APL è b/2; APL è b/2; R-Chord n=2 b [MNW04] Sia n=2 b, per ogni 0 i < b, sia r x (i) un intero scelto in maniera casuale dallintervallo [0,2 i ), il nodo x è connesso ai nodi (x+2 i +r x (i)) mod 2 b ; Sia n=2 b, per ogni 0 i < b, sia r x (i) un intero scelto in maniera casuale dallintervallo [0,2 i ), il nodo x è connesso ai nodi (x+2 i +r x (i)) mod 2 b ;H-Chord Sia H() una funzione di hash (es SHA) che mappa un identificatore in nellintervallo [0,1), il nodo x è connesso con i nodi x+2 i + H(x)2 i mod 2 b ; Sia H() una funzione di hash (es SHA) che mappa un identificatore in nellintervallo [0,1), il nodo x è connesso con i nodi x+2 i + H(x)2 i mod 2 b ;

7 H-Chord R-Chord vs H-Chord R-Chord 2i2i 2 i+1 H-Chord 2 i+2 2i2i 2 i+1 2 i+2

8 H-Chord Claim Per ogni nodo s i S, la probabilità che un vicino di s i I è almeno d/2 p. P=Pr[ J k (s i ) I per qualche 0 k < b ] d/2 p Prova Consideriamo il generico vicino di s, s i. Denotiamo con d i la distanza fra s i e t. Sia p i tale che 2 p i d i < 2 p i +1 Due casi: 1.d-ds i +2 p i 2 p d < 2 p+1 p > (log n) / log (log n) I = (d-d, d] d=|S|=p s d 2p2p 2 p+1 I s t d 2pi2pi 2 p i +1 I sisi didididi d-d pippip diddid

9 Claim Per ogni nodo s i S, la probabilità che un vicino di s i I è almeno d/2 p. P=Pr[ J k (s i ) I per qualche 0 k < b ] d/2 p Prova 1.d-ds i +2 p i Lunico jump di s i che può cadere in I è il jump (p i +1)- esimo, infatti il jump (p i +1)-esimo [s i +2 p i, s i +2 p i +1 ). In particolare il jump (p i +1)-esimo appartiene a I con probabilità | I |/2 p i = d/2 p i d/2 p s d 2p2p 2 p+1 I s t d 2pi2pi 2 p i +1 I sisi didididi d-d pippip 2 p d < 2 p+1 p > (log n) / log (log n) I = (d-d, d] d=|S|=p d i d, d i d, p i p H-Chord

10 Claim Per ogni nodo s i S, la probabilità che un vicino di s i I è almeno d/2 p. P=Pr[ J k (s i ) I per qualche 0 k < b ] d/2 p Prova 2.d-d (log n) / log (log n) I = (d-d, d] d=|S|=p d i d, d i d, p i p H-Chord

11 Claim Per ogni nodo s i S, la probabilità che un vicino di s i I è almeno d/2 p. P=Pr[ J k (s i ) I per qualche 0 k < b ] d/2 p Prova 2.d-d (log n) / log (log n) I = (d-d, d] d=|S|=p d i d, d i d, p i p AB H-Chord

12 Claim Per ogni nodo s i S, la probabilità che un vicino di s i I è almeno d/2 p. P=Pr[ J k (s i ) I per qualche 0 k < b ] d/2 p Prova 2.d-d<2 p i Sia C linsieme ( s i +2 pi+1 – 2|A|, s i +2 pi+1 ) In H-Chord se il (p i +1)-esimo jump di s i cade in C allora il p i -esimo jump di s i cade in A. Siamo interessati a calcolare la probabilità che il (p i +1)-esimo jump di s i cade in C o in B. st d 2pi2pi 2 p i +1 I sisi didididi d-d 2 p d < 2 p+1 p > (log n) / log (log n) I = (d-d, d] d=|S|=p d i d, d i d, p i p A=(d-d, s i +2 pi ) B=[s i +2 pi,d] ABC H-Chord

13 Claim Per ogni nodo s i S, la probabilità che un vicino di s i I è almeno d/2 p. P=Pr[ J k (s i ) I per qualche 0 k < b ] d/2 p Prova 2.d-d<2 p i Sia Q levento il (p i +1)- esimo jump di s i cade in C Sia R levento il (p i +1)-esimo jump di s i cade in B Siamo interessati a calcolare la Pr[Q R]=Pr[Q]+Pr[R]-Pr[Q R] st d 2pi2pi 2 p i +1 I sisi didididi d-d 2 p d < 2 p+1 p > (log n) / log (log n) I = (d-d, d] d=|S|=p d i d, d i d, p i p A=(d-d, si+2pi) AB QR Q R C Q R è vuoto. Ma questa volta Q R è vuoto. H-Chord

14 Claim Per ogni nodo s i S, la probabilità che un vicino di s i I è almeno d/2 p. P=Pr[ J k (s i ) I per qualche 0 k < b ] d/2 p Prova 2.d-d<2 p i Pr[Q R]= Pr[Q]+Pr[R]-Pr[Q R] =Pr[Q]+Pr[R] st d 2pi2pi 2 p i +1 I sisi didididi d-d 2 p d < 2 p+1 p > (log n) / log (log n) I = (d-d, d] d=|S|=p d i d, d i d, p i p A=(d-d, si+2pi) ABC H-Chord

15 Perchè H-Chord e non R-Chord? Svantaggi R-Chord Come mantenere la lista dei vicini dei vicini? No fast bootstrap In H-Chord non cè nessun fattore random, in particolare ogni nodo conoscendo il suo vicino conosce i vicini del suo vicino. O almeno può stimare le posizioni dei vicini del nostro vicino H-Chord

16 Dato un nodo x, x conosce il suo vicino y, dato y, x può calcolare H(y) e quindi può calcolare per ogni 0i

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19 Perchè H-Chord e non Chord? Svantaggi R-Chord Come mantenere la lista dei vicini dei vicini? No fast bootstrap Non è possibile fare fast bootstrap perché le tabelle di routing sono diverse, tuttavia se due nodi x, y generano due valori hash abbastanza vicini (H(x) H(y)) allora le loro tabelle sono simili. I problemi sono: Cosa vuol dire abbastanza vicini Come trovare un vicino con hash abbastanza vicino H-Chord

20 Sistemi P2P uniformi Vantaggi: Facili da implementare e da analizzare; Facili da implementare e da analizzare; Algoritmo di routing semplice (greedy); Algoritmo di routing semplice (greedy); Routing locale, la procedura di lookup interessa solo i nodi che si trovano fra sorgente e destinazione; Routing locale, la procedura di lookup interessa solo i nodi che si trovano fra sorgente e destinazione; Non cè congestione sui nodi, vale a dire il traffico generato dai messaggi di lookup è più o meno uguale per tutti i nodi. Non cè congestione sui nodi, vale a dire il traffico generato dai messaggi di lookup è più o meno uguale per tutti i nodi. Fast bootstrap: Fast bootstrap: Poiché tutti i nodi utilizzano gli stessi jump, è possibile utilizzare la tabella di routing del proprio predecessore per velocizzare notevolmente loperazione di join; Svantaggi: Sfortunatamente non sono gli algoritmi più efficienti. Sfortunatamente non sono gli algoritmi più efficienti.

21 Koorde base k Scegliendo k = O(log n): Grado = O(log n) Grado = O(log n) APL = O(log n / log (log n)) APL = O(log n / log (log n))Svantaggi Bisogna stimare n a priori; Bisogna stimare n a priori; Non è possibile cambiare il grado in un sistema attivo; Non è possibile cambiare il grado in un sistema attivo; E molto complicato stabilizzare la rete; E molto complicato stabilizzare la rete; b=2 k=

22 R-Chord Vantaggi: Algoritmo di routing locale Algoritmo di routing semplice Efficiente Non è necessaria la stima di log n Lalgoritmo di stabilizzazione è identico a quello di Chord Svantaggi Come mantenere la lista dei vicini dei vicini? No fast bootstrap

23 H-Chord Vantaggi Algoritmo di routing locale Algoritmo di routing semplice Efficiente Non è necessaria la stima di log n Lalgoritmo di stabilizzazione è identico a quello di Chord Svantaggi No fast bootstrap ???? H c -Chord


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