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Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science Lezione III dal libro di Babai & Frankl:

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Presentazione sul tema: "Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science Lezione III dal libro di Babai & Frankl:"— Transcript della presentazione:

1 Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science Lezione III dal libro di Babai & Frankl:

2 Criteri per lindipendenza lineare C1,…,Cm fi: F f1fm e1, …, em fi(Cj) f1,…,fm linearmente indipendenti criterio della diagonale

3 Criteri per lindipendenza lineare C1,…,Cm fi: F f1fm e1, …, em f1,…,fm linearmente indipendenti criterio triangolare

4 Criteri per lindipendenza lineare C1,…,Cm fi: F f1fm e1, …, em criterio del determinante fi(Cj) f1,…,fm linearmente indipendenti det 0

5 Vettori in posizione generica generica non generica Definizione: I vettori v1, …, vm in F n sono in posizione generica se ogni sottoinsieme di n di questi sono linearmente indipendenti. linearmente dipendenti In 2D: In 3D: nessun vettore appartiene al piano di altri due

6 Vettori in posizione generica Definizione: I vettori v1, …, vm in F n sono in posizione generica se ogni sottoinsieme di n di questi sono linearmente indipendenti 1 x 1 x 1 2 … x 1 n 1 x 2 x 2 2 … x 2 n. 1 x m x m 2 … x m n Vediamo perché sono in posizione generica 1 x 1 x 1 2 … x 1 n 1 x 2 x 2 2 … x 2 n. 1 x n x n 2 … x n n det determinante di Vandermonde 0

7 Teorema di Bollobás Teorema di Bollobás (ver. uniforme): Siano A1, …, Am sottoinsiemi di cardinalità r e Siano B1, …, Bm sottoinsiemi di cardinalità s tali che 1.Ai e Bi hanno intersezione vuota 2.Ai e Bj hanno intersezione non vuota per i j Allora m Esempio: r = 1 e s = 2 Ai = vertici Bj = archi m 3

8 Teorema di Bollobás Teorema di Bollobás (ver. uniforme): Siano A1, …, Am sottoinsiemi di cardinalità r e Siano B1, …, Bm sottoinsiemi di cardinalità s tali che 1.Ai e Bi hanno intersezione vuota 2.Ai e Bj hanno intersezione non vuota per i j Allora m Esercizio: Trova una costruzione per cui m =

9 Teorema di Bollobás (dimostrazione) i i = (1, i, i 2,…, i r ) intero vettore di VandermondeVandermonde I = {i 1,…, i n } sottoinsieme di interi sottoinsieme di vettori in posizione generica Ai … Bj b jk b jk span(Ai) b jk Ai ai ortogonale a span(Ai) ortogonale a b jk ai b jk = 0 b jk AiAi interseca Bj (ai b j1 ) (ai b j2 ) … (ai b js ) = 0 perché? Perché esiste: Se W un sottospazio di V, allora linsieme W := {u | u w = 0 per ogni w W} è non vuoto ogni volta che dim(W) < dim(V) Ossia esiste un vettore u V ortogonale a tutti i vettori di W.Nel nostro caso W =span(Ai).

10 Teorema di Bollobás (dimostrazione) Ai interseca Bj (ai b j1 ) (ai b j2 ) … (ai b js ) = criterio della diagonale fj(ai) f1,…,fm linearmente indipendenti m d Scopriamo d

11 Teorema di Bollobás (dimostrazione) Ai interseca Bj (ai b j1 ) (ai b j2 ) … (ai b js ) = 0 fj(ai) m d d polinomi base generano tutte le fj(): fj(x) = 1*p1(x) + … + d*pd(x) grado complessivo esattamente s polinomio base quanti ce ne sono? Risposta: Esercizio Teorema di Bollobás (ver. uniforme): Siano A1, …, Am sottoinsiemi di cardinalità r e Siano B1, …, Bm sottoinsiemi di cardinalità s tali che 1.Ai e Bi hanno intersezione vuota 2.Ai e Bj hanno intersezione non vuota per i j Allora m

12 Cosa ricordare 1.Criteri per lindipendenza lineareCriteri 2.Vettori in posizione generica (determinante di Vandermonde)Vandermonde 3.Tradurre la (non) intersezione tra insiemi in semplici polinomi (dimostrazione teorema di Bollobàs)dimostrazione

13 Esercizio Dimostra il seguente teorema Teorema di Bollobás (ver. uniforme storta): Siano A1, …, Am sottoinsiemi di cardinalità r e Siano B1, …, Bm sottoinsiemi di cardinalità s tali che 1.Ai e Bi hanno intersezione vuota 2.Ai e Bj hanno intersezione non vuota per i < j Allora m prima era i j

14 Esercizio (svolto) in quanti modi posso distribuire s oggetti ad n persone? 12s scegli n - 1 tagli tra le s - 1 posizioni ma così ogni persona riceve almeno un oggetto!! In quanti modi posso scegliere i 1,…, i n interi in modo che i 1 +i 2 +…+i n = s? Trucchetto: allinizio ogni persona ci presta un oggetto. 12n alla fine ognuno ha 0 o più oggetti (perchè parte da –1) Risposta:


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