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Algebra Lineare Esercizio Dato il vettore a := (3, 2, 5), scrivere lequazione cartesiana del piano passante per il punto X o := ( 2, 6, 4 ) ed ortogonale.

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2 Algebra Lineare

3 Esercizio Dato il vettore a := (3, 2, 5), scrivere lequazione cartesiana del piano passante per il punto X o := ( 2, 6, 4 ) ed ortogonale ad a. XoXo a X X X o

4 3( x + 2 ) + 2( y + 6 ) + 5( z 4 ) = 0 3 x + 2 y + 5 z = 2 Esercizio Dato il vettore a := (3, 2, 5), scrivere lequazione cartesiana del piano passante per il punto X o := ( 2, 6, 4 ) ed ortogonale ad a. X X o = ( x + 2, y + 6, z 4 ) componenti di a

5 XoXo a 3 x + 2 y + 5 z = 2 3 x + 2 y + 5 z = 3 PARALLELI FORMA LINEARE gradiente di L L : R 3 R

6 L : R n R FORMA LINEARE ADDITIVITA OMOGENEITA CONDIZIONI DI LINEARITA

7 retta infinite soluzioniunica soluzione INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R 3

8 retta unica soluzioneinfinite soluzioni INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R 3

9 retta unica soluzioneinfinite soluzioninessuna soluzione INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R 3

10 L 1 (x, y, z ) L 2 (x, y, z) L 3 (x, y, z) INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R 3 TRASFORMAZIONE LINEARE CONDIZIONI DI LINEARITA L : R3L : R3 R3R3

11 L : R 2 R 2 L(x) = (, ) L 1 (x 1, x 2 ) = a 11 x 1 + a 12 x 2 L 2 (x 1, x 2 ) = a 21 x 1 + a 22 x 2 L2(x)L2(x)L1(x)L1(x) a 11 a 12 a 21 a 22 AA =AA = matrice di L a 1 = L(e 1 ) a1a1 a2a a 2 = L(e 2 ) 1, 0 0, 1 ( )

12 L : R 2 R 2 L(x) = (, ) L 1 (x 1, x 2 ) = a 11 x 1 + a 12 x 2 L 2 (x 1, x 2 ) = a 21 x 1 + a 22 x 2 L2(x)L2(x)L1(x)L1(x) a 11 a 12 a 21 a 22 AA =AA = ( )

13 L : R 2 R 2 G : R 2 R 2AB R p G R n R m L A B m x n n x p m x p A B

14 m x p A B colonna k-esima di : A B R p G R n R m L A B m x n n x p

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18 id n : R n R n Id(e j ) = e j InIn matrice identica di ordine n

19 L : R n R m L(x) = b A A = (a ij )

20 I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I : I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I : f :A B è biettiva se e solo se :, lequazione : f (x) = b ha una e una sola soluzione

21 L : R 2 R 2 R2R2 u R2R2 e1e1 u e2e2 v x b L(x) = b e 1 L( e 1 )= L( e 1 )= u

22 R2R2 R2R2 u e1e1 e2e2 v b L(x) = b Rango 1 L : R 2 R 2

23 R2R2 R2R2 e1e1 u e2e2 v L(x) = b Rango 2 L : R 2 R 2 L( I 2 ) I2I2

24 u v u Det (A) determinante di A prodotto esterno

25 x y z a 12 a 23 a 31 a u v ( c, a ) ( a, b ) ( b, c ) ( a, b ) ( b, c ) prodotto vettoriale cross product prodotto esterno

26 u v u x v convesso

27 u v v x u concavo u x v u x v

28 0 R3R3 R3R3 L(x) = b i L : R 3 R 3 k u xx y y z z w j I3I3 v L( I 3 ) Rango 3

29 u v w v x w prodotto misto Det(A) := determinante di A

30 =

31 D E T E R M I N A N T E di A :

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34 complemento algebrico o cofattore o aggiunto di

35 Regola di LAPLACE

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38 0 R3R3 R3R3 L(x) = b i L : R 3 R 3 k u xx y y z z w j I3I3 v L( I 3 ) Rango 3

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40 Risolvere gli esercizi 6.13 a pag.193

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