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STRUTTURA DI. Argomenti della lezione Prodotto scalare in R n Prodotto scalare in R n Distanza in R n Distanza in R n Topologia di R n Topologia di R.

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1 STRUTTURA DI

2 Argomenti della lezione Prodotto scalare in R n Prodotto scalare in R n Distanza in R n Distanza in R n Topologia di R n Topologia di R n

3 Vettori di R n

4 Vettore colonna X = X1X1 X1X1 X2X2 X2X2 X3X3 X3X3 XnXn XnXn

5 Vettore riga (X 1, X 2, X 3, Xn)Xn)Xn)Xn) Xn)Xn)Xn)Xn) = X X T = X TT

6 Prodotto scalare in uno spazio vettoriale V sul corpo R

7 Un prodotto scalare è unapplicazione bilineare simmetrica definita positiva su V x V a valori in R

8 s: V x V R soddisfa le seguenti proprietà Simmetria Omogeneità Additività Positività

9 s: V x V R soddisfa le seguenti proprietà (S1) x, y V s(x, y) = s(y, x) A (S2) x, y V (S2) x, y V A A R s( x, y) = s(x, y) s(x, y) simmetria omogeneità

10 s: V x V R (S3) x, y, z V s (x + z, y) = A additività positività s (x, y) + s (z, y) s (x,x) > 0 e s (x,x) s (x,x) > 0 e s (x,x) (S4) x A V = 0 x = 0

11 Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne delle matrici In R n si ha pure la notazione x,y = x y = x T y = i x i y ix,y = x y = x T y = i x i y i n s(x, y) = x, y = (x, y) = x y

12 n i = 1 x i y i x T y = (x 1 x 2 x 3 x n ) y1y1y1y1 y1y1y1y1 y2y2y2y2 y2y2y2y2 y3y3y3y3 y3y3y3y3 ynynynyn ynynynyn =

13 Disuguaglianza di Buniakovski Cauchy Schwarz Disuguaglianza di Buniakovski Cauchy Schwarz

14 Indicheremo con x o con x V (x R n ) x V (x R n ) la norma o modulo del vettore In particolare, in R n |x| = x i 2 _______

15 CASO DI R 2 o R 3

16 u v < u v u u v v u v= u v cos

17 Distanza in R n

18 Proprietà della distanza (D1) (simmetria) (D2) (positività) (D3) (disuguaglianza triangolare)

19 x02x02 x02x02 x01x01 x01x01 s x 0 x0x0 x0x0 = (x 0 1, x 0 2 ) T Sfere e intervalli in R 2. In generale, in R n.

20 b2b2 b2b2 a2a2 a2a2 a1a1 a1a1 b1b1 b1b1

21 Topologia di R n

22 Punti distinti di R 2 (R n ) hanno intorni disgiunti. y y x x

23 è punto interno è punto esterno è punto di frontiera per

24 interno esterno di frontiera per è punto


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