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1 Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2 Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2 (teoria degli oligopoli) Introduzione.

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1 1 Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2 Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2 (teoria degli oligopoli) Introduzione alla Teoria dei Giochi Parte prima

2 2 TEORIA dei GIOCHI Oggetto di studio Le scelte di agenti razionali in un contesto di interazione strategica Contesto di scelta Un contesto di scelta è detto strategico quando le conseguenze di un’azione per un agente dipendono:  non soltanto dalle azioni da lui compiute  ma anche dalle azioni compiute da altri agenti

3 3 Il termine gioco Il termine gioco è utilizzato per definire un generico contesto strategico Gioco cooperativo I giocatori possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare Gioco non cooperativo I giocatori non possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare Le imprese prima di competere sul mercato stabiliscono accordi vincolanti I giocatori scelgono le proprie strategie indipendentemente (non agiscono in modo concertato)

4 4 DESCRIZIONE DI UN GIOCO NON COOPERATIVO   FORMA NORMALE o STRATEGICA  FORMA ESTESA CLASSIFICAZIONI   GIOCHI STATICI I giocatori scelgono contemporaneamente  GIOCHI DINAMICI I giocatori effettuano la loro scelta secondo una sequenza prestabilita di mosse

5 5 DESCRIZIONE IN FORMA NORMALE G(N, S, u) La descrizione in forma normale è caratterizzata da 3 elementi: 1.Un insieme di giocatori N = {1, 2,..,n} 2.Un insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) S i a disposizione di ciascun giocatore i  N s i  S i s i  S i indica una generica strategia pura S = S 1  S 2  …  S n S = S 1  S 2  …  S n indica l’insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie pure s = (s 1, s 2, …, s n )  S indica una generica combinazione di strategie pure u i : S  R i  N 3.Una funzione di payoff u i : S  R per ciascun giocatore i  N u i (s) i s = (s 1, s 2, …, s n ) u i (s) è il payoff del giocatore i se i giocatori scelgono la combinazione di strategie s = (s 1, s 2, …, s n )

6 6 DILEMMA DEL PRIGIONIERO TACERECONFESSARE TACERE-1, -1-9, 0 CONFESSARE0, -9-6, -6 Numero dei giocatori Insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) a disposizione di entrambi i giocatori

7 7 PAYOFF DEI GIOCATORI

8 8 DUOPOLIO DI COURNOT E BERTRAND

9 9 Dilemma del Prigioniero Modelli di Cournot e Bertrand GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA I giocatori scelgono le loro strategie “simultaneamente" (è sufficiente che ciascun giocatore scelga la propria strategia senza conoscere la scelta dell'altro) IMPORTANZA DELLA STRUTTURA INFORMATIVA DEL GIOCO informazione completa Un gioco G è caratterizzato da informazione completa se tutti i giocatori conoscono gli elementi che caratterizzano il gioco. N = {1, 2,..,n} S = S 1  S 2  …  S n u i : S  R  i  N

10 10 Informazione Completa Nel Dilemma Del Prigioniero Entrambi i giocatori conoscono la (bi)matrice del gioco PREDIZIONE SULL'ESITO DEL GIOCO Procedura risolutiva: eliminazione iterata di strategie strettamente dominate TACERECONFESSARE TACERE-1, -1-9, 0 CONFESSARE0, -9-6, -6

11 11 NOTAZIONI

12 12 DEFINIZIONI

13 13 La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate è basata sulla considerazione che giocatori razionali non scelgono strategie strettamente dominate nessuna credenza da parte di un giocatore, e relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima LA PROCEDURA

14 14 TACERECONFESSARE TACERE-1, -1-9, 0 CONFESSARE0, -9-6, -6 ESEMPIO 1 Giocatore 1 Giocatore 2

15 15 SINISTRACENTRODESTRA SU1, 01, 20, 1 GIU’0, 30, 12, 0 ESEMPIO 2 Giocatore 1 Giocatore 2

16 16 a3a2b2 a14, 4, 43, 5, 3 b15, 3, 35, 4, 1 b3a2b2 a13, 3, 51, 5, 4 b14, 1, 52, 2, 2 ESEMPIO 3

17 17 a3a2b2 a14, 4, 43, 5, 3 b15, 3, 35, 4, 1 b3a2b2 a13, 3, 51, 5, 4 b14, 1, 52, 2, 2 ESEMPIO 3

18 18 La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate è basata sulla considerazione che: giocatori "razionali" giocatori "razionali" non scelgono strategie strettamente dominate. Nessuna credenza Nessuna credenza da parte di un giocatore, relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima. L'applicazione del procedimento per un numero arbitrario di passi richiede la seguente assunzione: common knowledge la "razionalità" dei giocatori è conoscenza comune (common knowledge)  tutti i giocatori sono razionali;  tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali;  tutti i giocatori sanno che tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali, ecc.. RAZIONALITA’ DEI GIOCATORI

19 19 ESEMPIO 4 DND D4, 42, 11 ND11, 23, 3 Impresa 1 Impresa 2 Due imprese scaricano su un lago Profitto delle due imprese = 10 milioni di euro Costo per il depuratore = 6 milioni di euro Multa per avere superato i limiti di inquinamento previsti dalla nuova normativa = 7 milioni di euro PROBLEMA DI FREE-RIDING

20 20 B1B2B3 A10, 44, 05, 3 A24, 00, 45, 3 A33, 5 6, 6 ESEMPIO 5 Impresa 1 Impresa 2  non ci sono strategie dominate da eliminare  In questo caso l’eliminazione delle strategie strettamente dominate non risolve il gioco, in generale non risolve tutte le classi di problemi  Ci serve un criterio di soluzione più forte l’equilibrio di Nash  Il criterio con maggiore forza di predizione è l’equilibrio di Nash

21 21 EQUILIBRIO DI NASH Una combinazione di strategie è un equilibrio di Nash se per ogni giocatore i e per ogni strategia ammissibile un equilibrio di Nash richiede che la strategia di ogni giocatore i sia ottimale rispetto alle strategie ottimali degli avversari

22 22  Per ogni giocatore i la strategia s i * e la migliore risposta del giocatore i alle strategie prescritte per gli altri n-1 giocatori  Nessun giocatore, preso singolarmente, desidera deviare dalla strategia prescritta strategicamente stabile o autovincolante  L'equilibrio di Nash è una predizione sull'esito del gioco strategicamente stabile o autovincolante (self-enforcing) EQUILIBRIO DI NASH risolve il problema:

23 23 Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne s'= (s’ i, s’ -i ), allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash Non è detto che una strategia che sopravvive alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate faccia parte di un equilibrio di Nash EQUILIBRIO DI NASH Le strategie corrispondenti ad un equilibrio di Nash sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma non e vero il contrario

24 24 B1B2B3 A10, 44, 05, 3 A24, 00, 45, 3 A33, 5 6, 6 ESEMPIO 5 Impresa 1 Impresa 2  Non ci sono strategie dominate da eliminare per ispezione  Per determinare l’equilibrio di Nash si procede per ispezione marcano sottolineando il payoff corrispondente Si marcano le strategie pure di ciascun giocatore che sono risposte ottime alle strategie pure dell’avversario sottolineando il payoff corrispondente ciascuna è la risposta ottima all’altra Se in una casella risultano sottolineati entrambi i payoff, allora è stata individuata una combinazione di strategie caratterizzata dal fatto che ciascuna è la risposta ottima all’altra (equilibrio di Nash)

25 25 Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne, allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash OSSERVAZIONE tutte le strategie sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma solo la combinazione (A3, B3) soddisfa le seguenti condizioni: PROPOSIZIONE

26 26 B1B2B3 A11, 01, 20, 1 A20, 30, 12, 0 ESEMPIO 6 e 7 B1B2B3B4 A10, 32, 21, 31, 0 A22, 13, 12, 32, 1 A35, 11, 41, 02, 2 A41, 00, 2 3, 1

27 27 ESEMPIO 8 (BATTAGLIA DEI SESSI) Entrambi i giocatori desiderano trascorrere la serata insieme piuttosto che da soli, tuttavia “Iui" preferisce la partita mentre “Iei" preferisce il balletto Ciascun giocatore consegue: un payoff pari a 2 se entrambi vanno allo spettacolo da lui/lei preferito un payoff pari a 1 se entrambi vanno allo spettacolo preferito dall'altro un payoff pari a 0 se ognuno trascorre la serata da solo PartitaBalletto Partita2, 10, 0 Balletto0, 01, 2 LUI LEI

28 28 ESISTENZA DELL'EQUILIBRIO DI NASH Teorema Teorema. (Nash, 1950) Ogni gioco finito ammette almeno un equilibrio di Nash (eventualmente in strategie miste) Definizione: Definizione: Un gioco è finito se il numero dei giocatori e quello delle strategie pure è finito. Altrimenti è infinito. Definizione:

29 29 Equilibrio di Nash in strategie miste: ((2/3,1/3);(1/3,2/3)) CalcioBalletto Calcio2, 10, 0 Balletto0, 01, 2 LUI LEI r 1-r q1-q q 01 1 r 1/3 2/3 balletto calcio 1*r + 0*(1-r) 0*r + 2*(1-r )

30 30 Equilibrio di Nash in strategie miste: ((1/2,1/2);(1/2,1/2)) TESTACROCE TESTA-1, 11, -1 CROCE1, -1-1, 1 r 1-r q1-q MATCHING PENNIES 1/2 testa q 01 1 r 1/2 croce testa

31 31 Teorema (Glicksberg, Debreu; 1952) Un gioco per il quale valgano le seguenti ipotesi: il numero dei giocatori è finito S i è un sottoinsieme compatto e convesso di uno spazio euclideo per ogni giocatore i  N u i é una funzione continua in s  S per ogni i  N ammette almeno un equilibrio di Nash. Se inoltre u i é una funzione quasi-concava in s i per ogni i  N, allora ammette almeno un equilibrio di Nash in strategie pure.


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