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Disegno degli Esperimenti per l’industria (2) Daniele Romano Università degli studi di Cagliari.

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Presentazione sul tema: "Disegno degli Esperimenti per l’industria (2) Daniele Romano Università degli studi di Cagliari."— Transcript della presentazione:

1 Disegno degli Esperimenti per l’industria (2) Daniele Romano Università degli studi di Cagliari

2 Piani fattoriali a 2 livelli: disegno e analisi

3 ESEMPIO: Piano 2 2 con tre replicazioni (r=3) Studio di un processo chimico Fattori: concentrazione del reagente (A, %), quantità del catalizzatore (B, lb) Risposta: resa della reazione (Y, %) Fattori Livelli ─ + A (%)1525 B (lb)12 Codifica delle variabili per ottenere i livelli standard (-1,+1) : media dei livelli : semiampiezza dell’intervallo

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5 Stima dell’ effetto di un fattore (effetto principale) (Fattoriale 2 2 ) Variazione nella risposta prodotta dal cambiamento nel livello del fattore (dal livello basso al livello alto) : media (sulle replicazioni) della risposta per la combinazione di livelli A B In termini di totali di trattamento si ha: 2 interpretazioni equivalenti Media delle variazioni ai due livelli dell’altro fattore Variazione della media ai due livelli del fattore : media (sulle replicazioni e sui livelli dell’ altro fattore) della risposta al livello A

6 (1) a ab b + ─ Interpretazione grafica degli effetti (1) a ab b + ─

7 A ─ + Diagramma degli effetti principali Y Effetto positivo A ─ + Y Effetto negativo A ─ + Y Effetto nullo

8 Definizione dell’ effetto di interazione tra due fattori Differenza tra l’effetto del fattore A al livello alto di B e l’effetto di A al livello basso di B (divisa per due). ovvero, con i totali di trattamento Il fattore di scala 1/2 è convenzionale ed ha lo scopo di rendere comparabili gli effetti di interazione e gli effetti principali (1)a abb + ─

9 Grafico delle interazioni A ─ + B─B─ B+B+ Y Interazione nulla A ─ + B─B─ B+B+ Y Interazione positiva A ─ + B─B─ B+B+ Y Interazione negativa

10 Effetti principali per un fattoriale 2 3 (1) a b c ac abc ab bc (1) a b c ac abc ab bc (1) a b c ac abc ab bc + ─ ─ ─ + + ovvero, con i totali di trattamento ABC

11 Effetti di interazione di ordine superiore a 2 L’effetto di interazione tripla ABC è la differenza tra l’effetto di interazione AB al livello alto di C e l’effetto AB al livello basso di C (divisa per due). Analogamente vengono generati tutti gli effetti di interazione di ordine superiore. ovvero, con i totali di trattamento (1)a b c ac abc ab bc = + = ─

12 Generalizzando ad un fattoriale 2 n Effetto = c.l. (2 n medie del tipo, con segno ±1) ovvero, in termini di totali di trattamento Effetto = c.l. (2 n totali, con segno ±1) Tali combinazioni lineari, sia di medie di risposte che di totali, si chiamano contrasti.

13 Scrittura del piano fattoriale nella forma standard Prove A B AB 1 ─ ─ ─ ─ 3 ─ + ─ Fattoriale 2 2 Prove A B C AB AC BC ABC 1 ─ ─ ─ ─ 2 + ─ ─ ─ ─ ─ + ─ ─ + ─ ─ + ─ ─ ─ 5 ─ ─ + + ─ ─ ─ + ─ + ─ ─ 7 ─ + + ─ ─ + ─ Fattoriale 2 3 A parte il divisore 2 n-1, i segni dei coefficienti delle combinazioni lineari delle risposte medie che compongono gli effetti corrispondono alle colonne del piano fattoriale nella forma standard. Se non ci sono replicazioni, la matrice del modello associata al piano fattoriale ha in più la prima colonna, composta da valori tutti unitari, corrispondente al termine noto del modello. A questo è associato l’effetto medio.

14 Algebra dei piani fattoriali Ogni colonna della matrice del modello, tranne la prima, ha tanti segni meno quanti segni più (bilanciamento) Le colonne sono tutte ortogonali tra di loro: Ogni colonna può essere ottenuta per moltiplicazione, riga per riga, di altre due La prima colonna è, rispetto alla moltiplicazione riga per riga, elemento identità Si può adottare un’aritmetica modulo 2: A 2 =I A 3 =A 2. A=I. A=A X i T. X j = 0, i,j=1,2 n, i ≠ j

15 Relazione tra effetti fattoriali e coefficienti del modello della risposta Modello della risposta,  ijk  N(0,  2 ) e mutuamente indipendenti L’effetto di un fattore (valor medio dello stimatore dell’effetto) corrisponde al doppio del corrispondente coefficiente nel modello della risposta Scriviamo l’effetto calcolato usando il modello:

16 Calcolo della varianza degli stimatori degli effetti Ogni effetto è calcolato come combinazione lineare di 2 n medie della risposta nei trattamenti (contrasto). Effetto = c.l. (2 n medie del tipo, con segno ±1),

17 Gli effetti calcolati corrispondono alle stime ai minimi quadrati dei coefficienti (moltiplicate per 2) In generale: quindi: Effetto i

18 Valutazione della significatività degli effetti Gli stimatori degli effetti, costruiti a partire dal piano fattoriale a due livelli, sono variabili casuali Normali con media pari al valore vero dell’effetto e varianza (comune a tutti gli effetti) data da: La varianza  2 si può stimare utilizzando le replicazioni in ciascuno dei trattamenti: La media delle 2 n stime calcolate è la miglior stima di  2 ottenibile: (r -1 gradi di libertà) (2 n. (r -1) gradi di libertà)

19 continua La valutazione di significatività si può fare con un test della media dell’effetto Sotto l’ipotesi nulla (H 0 ) la variabile casuale è distribuita come una t-Student con 2 n. (r -1) gradi di libertà Quindi si rifiuta l’ipotesi nulla al livello di significatività (1-  ) se: effetto  = 0  /2 pdf

20 Analisi del caso proposto Calcolo degli effetti – – I + – A – B AB ABY medio 1 2 Divisore Effetti Nome (1) a b ab Trattamenti Oltre ai metodi visti si può applicare il metodo di Yates + – A B AB effetto sulla resa (%) Diagramma di Pareto degli effetti

21 Diagrammi degi effetti principali e delle interazioni

22 Test di significatività degli effetti Si esegue un test della media per ogni effetto effetto  = 0  /2 pdf Sotto l’ipotesi nulla H 0 tutti gli effetti hanno la stessa distribuzione: Normale con media nulla e varianza stima della varianza del’errore tramite le replicazioni (con 2 n. (r -1) gradi di libertà) Imponendo una probabilità  di rifiutare erroneamente l’ipotesi nulla, si avrà per ogni effetto: si decide per H 1 se: si decide per H 0 se: Quindi è sufficiente calcolare la soglia di significatività e confrontarla con tutti gli effetti calcolati (ad eccezione dell’effetto medio).

23 + – A B AB effetto sulla resa (%) – – – – ABy 1 y 2 y 3 (1) a b ab Combinaz. di trattamenti replicazioni 15.6 = Graficamente è utile rappresentare la soglia di significatività sul diagramma di Pareto l’ interazione AB non è significatività (al livello 95%)

24 Scrittura del modello di previsione Definiamo i residui: Calcolo dei residui: – – – – AB I II III I II III (1) a b ab Combinaz. di trattamenti Y, replicazioni I residui soddisfano la condizione: e

25 Verifica di normalità Se il modello stimato della risposta è corretto, allora:

26 Come ottenere un grafico di probabilità normale su carta ordinaria  Su un asse si rappresenta la variabile casuale di cui si dispone del campione (x i, i=1,n), sull’altro la variabile casuale normale standardizzata Z  Si ordina in senso crescente il campione osservato  Si suddivide l’intervallo [0,1] in n sotto-intervalli uguali e si calcola la coordinata del punto medio di ogni sotto-intervallo  Ad ogni unità del campione ordinato ( x (j), j=1,n ) si associa il valore della variabile casuale Normale standardizzata z j per cui:  Si rappresentano nel diagramma i punti di coordinate 0 1 1/123/125/127/129/1211/12

27 Residuals vs. Factors Verifica di omoschedasticità

28 Verifica di assenza di legame tra media e varianza della risposta

29 Verifica di indipendenza degli errori

30 Ottimizzazione Per massimizzare la resa si sceglie: il fattore A al livello alto, il fattore B al livello basso Il modello di previsione nelle variabili originarie è:

31 Problema: in assenza di replicazioni, come valutare quali effetti sono importanti? Un metodo semplice ed elegante (Daniel, 1959) prevede di diagrammare gli effetti (ad eccezione dell’effetto medio) in un grafico di probabilità normale. In questo modo, gli effetti trascurabili (con valor medio circa nullo) si disporranno approssimativamente lungo una linea retta nella zona centrale del diagramma mentre quelli importanti se ne discosteranno in modo evidente. La decisione si fonda su una valutazione esclusivamente visiva. Attenzione: il metodo consente una stima indiretta della varianza dell’errore sperimentale.

32 Esperimento fattoriale con 7 fattori a due livelli, 16 prove Fattori A : temperatura delo stampo B : velocità di inezione C : tempo di mantenimento in pressione D : tempo ciclo E : composizione del fondente F : dimensione della bocca di mandata G : pressione di chiusura Risposta ritiro volumetrico del materiale (%) Relazione di definizione della sovrapposizione: I=ABCE=BCDF=ACDG

33 ABCDEFG–––––––+–––+–+–+––++–++–––++––+–++++–+––+––++–––++++–+–––––+–+++––+++––+–++–+++–+–––––+++––+–++––+–+++–+– ABCDEFG–––––––+–––+–+–+––++–++–––++––+–++++–+––+––++–––++++–+–––––+–+++––+++––+–++–+++–+–––––+++––+–++––+–+++–+– E=ABC F=BCD G=ACD (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd combinaz. trattamenti Piano frazionario Y (% x 10)

34 A = BCE = BFG = CDG = DEF B = ACE = AFG = CDF = DEG C = ABE = ADG = BDF = EFG D = ACG = AEF = BCF = BEG E = ABC = ADF = BDG = CFG F = ABG = ADE = BCD = CEG G = ABF = ACD = BDE = CEF AB = CE = FG AC = BE = DG AD = CG = EF AE = BC = DF AF = BG = DE AG = BF = CD BD = CF = EG ABD = ACF = AEG = BCG = BEF = CDE = DFG I=ABCE=BCDF=ACDG=ADEF=BDEG=ABFG=CEFG 1° gruppo altri gruppi Struttura di confondimento del piano (interazioni fino all’ordine 3) Il piano è di risoluzione R=4

35 I A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CD ACD BCD ABCD , , , , , , , , , , , , , , , ,625 Y divisore effetti nome Calcolo effetti con metodo di Yates

36 Valutazione degli effetti importanti effetti importanti

37 Scrittura del modello di previsione Minimizzazione del ritiro: B al livello basso, A al livello basso

38 Grafico degli effetti principali significativi Grafico dell’interazione significativa

39 Normalità dei residui

40 Analisi della variabiità casuale in funzione dei fattori

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42 Verifica dell’indipendenza degli errori

43 Verifica di assenza di legame tra media e varianza della risposta


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