AUTRONICA13.1 Autronica LEZIONE N° 13 Algebra BOOLEANA Sistema matematico formaleSistema matematico formale Elementi, operazioni, postulatiElementi, operazioni,

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1 AUTRONICA13.1 Autronica LEZIONE N° 13 Algebra BOOLEANA Sistema matematico formaleSistema matematico formale Elementi, operazioni, postulatiElementi, operazioni, postulati Espressioni algebricheEspressioni algebriche Tabella di veritàTabella di verità

2 AUTRONICA13.2 Algebra della Logica Gerge BooleGerge Boole Matematico inglese(1815 – 1864)Matematico inglese(1815 – 1864) Algebra della Logica, Algebra di Boole, Algebra BooleanaAlgebra della Logica, Algebra di Boole, Algebra Booleana Sistema matematico formale che descrive funzioni logicheSistema matematico formale che descrive funzioni logiche Funzioni che possono assumere al minimo (solo) due valoriFunzioni che possono assumere al minimo (solo) due valori VeroFalsoVeroFalso Le variabili di funzioni logiche possono assumere solo due valoriLe variabili di funzioni logiche possono assumere solo due valori Sistema matematico formaleSistema matematico formale Insieme di elementiInsieme di elementi insieme di operazioniinsieme di operazioni insieme di postulatiinsieme di postulati »TEOREMI

3 AUTRONICA13.3 Definizioni Elementi (2) [Algebra delle commutazioni]Elementi (2) [Algebra delle commutazioni] 0 (logico)1 (logico)0 (logico)1 (logico) FalsoVeroFalsoVero Livello logico BasoLivello logico AltoLivello logico BasoLivello logico Alto 0 V5 V0 V5 V Costanti Possono assumere due valoriCostanti Possono assumere due valori VariabiliPossono assumere due valoriVariabiliPossono assumere due valori

4 AUTRONICA13.4 Definizione di “AND” OperazioneOperazione –AND o PRODOTTO LOGICO PostulatoPostulato –l’operazione AND è definita dalla tabella xy x  y 00=0 01=0 10=0 11=1

5 AUTRONICA13.5 Osservazioni 1. x  y è uguale a “1” se e solo se x e y sono uguali a “1”, altrimenti x  y è uguale a “0” 2.Si può estendere a “n” variabili: x 1  x 2  x n è uguale “1” se e solo se x 1  x 2  x n sono uguali a “1” La funzione AND corrisponde al concetto:La funzione AND corrisponde al concetto: un evento si verifica se e solo se tutte le condizioni sono verificate

6 AUTRONICA13.6 Definizione di “OR” OperazioneOperazione –OR o SOMMA LOGICA PostulatoPostulato –l’operazione OR è definita dalla tabella xy x  y 00=0 01=1 10=1 11=1

7 AUTRONICA13.7 Osservazioni 1. x  y è uguale a “0” se e solo se x e y sono uguali a “0”, altrimenti x  y è uguale a “1” 2.Si può estendere a “n” variabili: x 1  x 2  x n è uguale “0” se e solo se x 1  x 2  x n sono uguali a “0” La funzione OR corrisponde al concetto:La funzione OR corrisponde al concetto: perché un evento si verifica è sufficiente che una sola condizioni sia verificata

8 AUTRONICA13.8 Definizione di “NOT” OperazioneOperazione –NOT o Complemento Logico, o Negazione, o Inversione PostulatoPostulato –l’operazione NOT è definita dalla tabella x xxxx01 10

9 AUTRONICA13.9 Osservazioni 1.se x è uguale a “0” allora x negato è uguale a “1”, se x è uguale a “1” allora x negato è uguale a “0” 2.Ovvero La funzione NOT corrisponde al concetto:La funzione NOT corrisponde al concetto: negazione della condizione

10 AUTRONICA13.10 Funzione logica (o Boleana) Una funzioneUna funzione è una legge che fa corrispondere un valore logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori x 1,…..,x n. La funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentaliLa funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentali

11 AUTRONICA13.11 Osservazioni Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche noteNelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche note Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) ORFra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OR La gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logicheLa gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logiche

12 AUTRONICA13.12 Tabella di Verità 1 Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di:Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di: TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE) OsservazioneOsservazione Una funzione di “n” variabili ammette 2 n possibili configurazioniUna funzione di “n” variabili ammette 2 n possibili configurazioni Una funzione di “n” variabili è completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2 n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzioneUna funzione di “n” variabili è completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2 n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzione

13 AUTRONICA13.13 Tabella di verità 2 Funzione di tre variabiliFunzione di tre variabilixyzu000 f (0,0,0) 001 f (0,0,1) 010 f (0,1,0) 011 f (0,1,1) 100 f (1,0,0) 101 f (1,0,1) 110 f (1,1,0) 111 f (1,1,1)

14 AUTRONICA13.14 Esempio xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

15 AUTRONICA13.15 Passo 1 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

16 AUTRONICA13.16 Passo 2 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

17 AUTRONICA13.17 Passo 3 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

18 AUTRONICA13.18 Passo 4 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

19 AUTRONICA13.19 Passo 5 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

20 AUTRONICA13.20 Passo 6 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

21 AUTRONICA13.21 Finexyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

22 AUTRONICA13.22 Conclusioni Algebra BOLEANAAlgebra BOLEANA Insieme di elementiInsieme di elementi Variabili, costantiVariabili, costanti Insieme di operazioniInsieme di operazioni Insieme di postulatiInsieme di postulati Espressioni algebricheEspressioni algebriche Tabella di veritàTabella di verità