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A.S.E.8.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 8 ALGEBRA BOOLEANA PostulatiPostulati Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi.

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1 A.S.E.8.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 8 ALGEBRA BOOLEANA PostulatiPostulati Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali

2 A.S.E.8.2 Richiami Insieme di elementiInsieme di elementi Variabili, costantiVariabili, costanti Insieme di operazioniInsieme di operazioni Insieme di postulatiInsieme di postulati Espressioni algebricheEspressioni algebriche Tabella di veritàTabella di verità Espressione algebrica vs. Tabella di veritàEspressione algebrica vs. Tabella di verità Tabella di verità vs. Espressione algebricaTabella di verità vs. Espressione algebrica

3 A.S.E.8.3 Postulati di HUNTINGTON (1) Esistono un dominioB costituito almeno da due elementi e due operatori binari (cioè che operano su due elementi) (+) e ( ) tali che:Esistono un dominioB costituito almeno da due elementi e due operatori binari (cioè che operano su due elementi) (+) e ( ) tali che: a.Se x e y sono elementi di B, allora x +y è un elemento di B. Loperazione eseguita da (+) prende il nome di SOMMA LOGICA. b.Se x e y sono elementi di B, allora x y è un elemento di B. Loperazione eseguita da ( ) prende il nome di PRODOTTO LOGICO.

4 A.S.E.8.4 Postulati di HUNTINGTON (2) ELEMENTI IDENTITÀ Sia x un elemento di BSia x un elemento di B a.Esiste in B un elemento 0, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a (+) tale che risulti x + 0 = x. b.Esiste in B un elemento 1, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a ( ) tale che risulti x 1 = x.

5 A.S.E.8.5 Postulati di HUNTINGTON (3) Proprietà COMMUTATIVA a.Esiste la proprietà commutativa rispetto alla somma logica: x + y = y + x b.Esiste la proprietà commutativa rispetto al prodotto logico: x y = y x

6 A.S.E.8.6 Postulati di HUNTINGTON (4) Proprietà DISTRIBUTIVA a.Il prodotto logico è distributivo rispetto alladdizione :x (y + z ) = (x y ) + (x z ) b.La somma logica è distributiva rispetto al prodotto:x + (y z ) = (x + y ) (x + z )

7 A.S.E.8.7 Postulati di HUNTINGTON (5) COMPLEMENTAZIONE Se x è un elemento di B, allora esiste un altro elemento x, detto COMPLEMENTO di x, che soddisfa le proprietà:Se x è un elemento di B, allora esiste un altro elemento x, detto COMPLEMENTO di x, che soddisfa le proprietà: a.x + x = 1 b.x x = 0 x realizza loperazione di complemento di xx realizza loperazione di complemento di x

8 A.S.E.8.8 Riassunto POSTULATIPOSTULATI

9 A.S.E.8.9 Osservazioni Alcune proprietà dellalgebra booleana sono vere anche nellalgebra normalmente usata:Alcune proprietà dellalgebra booleana sono vere anche nellalgebra normalmente usata: –Proprietà commutativa –Proprietà distributiva del prodotto logico Altre proprietà non sono vere :Altre proprietà non sono vere : –Proprietà distributiva della somma logica Loperazione complemento logico esiste solo nellalgebra booleanaLoperazione complemento logico esiste solo nellalgebra booleana La sottrazione e la divisione non esistono nellalgebra booleanaLa sottrazione e la divisione non esistono nellalgebra booleana

10 A.S.E.8.10 Principio di DUALITÀ Da unosservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli b si ottengono da aDa unosservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli b si ottengono da a –Scambiando i due operatori binari fra loro, (+) con ( ) e ( ) con (+) –Scambiando fra loro i due elementi identità, 1 con 0 e 0 con 1

11 A.S.E.8.11 TEOREMI FONDAMENTALI Tecniche di dimostrazione dei teoremiTecniche di dimostrazione dei teoremi –Impiego dei postulati fondamentali –Uso di teoremi precedentemente dimostrati –Dimostrazione per assurdo (si ipotizza verificata lipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera)(si ipotizza verificata lipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera) –Dimostrazione per induzione (se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n)(se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n)

12 A.S.E.8.12 Teorema 1 1a1b1a1b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione Per DualitàPer Dualità

13 A.S.E.8.13 Teorema 2 (Involuzione) Il complemento del complemento è lelemento stesso Dimostrazione………………

14 A.S.E.8.14 Teorema 3 (Idempotenza) 3a3b3a3b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione per dualità

15 A.S.E.8.15 Teorema 4 (assorbimento) 4a4b4a4b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione per dualità

16 A.S.E.8.16 Teorema 5 (semplificazione) 5a5b5a5b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione

17 A.S.E.8.17 Teorema 6 (Legge Associativa) 6a6a 6b6b

18 A.S.E.8.18 Teorema 7 (Consenso) 7a7a DimostrazioneDimostrazione 7b7b

19 A.S.E.8.19 Teorema 8 ( Teorema di DE MORGAN ) 8a8b8a8b

20 A.S.E.8.20 Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabiliLa tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale metodo prende il nome diTale metodo prende il nome di Metodo dellINDUZIONE PERFETTEMetodo dellINDUZIONE PERFETTE

21 A.S.E.8.21 Teorema 8 (dimostrazione) 8a8b8a8bxyx+y ( x+y) xy x y xy ( x y) xy x + y

22 A.S.E.8.22 Riassunto TEOREMITEOREMI

23 A.S.E.8.23 Conclusioni I 5 Postulati dellalgebra BooleanaI 5 Postulati dellalgebra Booleana Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali Induzione PerfettaInduzione Perfetta


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