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1 II.1. Funzioni logiche binarie II.2. Operatori logici elementari AND, OR, NOT II.3. Operatori logici universali NAND, NOR II.4. Mappe di Karnaugh II.5.

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1 1 II.1. Funzioni logiche binarie II.2. Operatori logici elementari AND, OR, NOT II.3. Operatori logici universali NAND, NOR II.4. Mappe di Karnaugh II.5. Progetto logico Esempi ed Esercizi Appendice Cap. II. Funzioni Logiche G.- F. Dalla Betta, G. Soncini. Appunti di Elettronica 2.

2 2 II.1. Funzioni logiche binarie Le cifre binarie 0 e 1 possono venire associate a operazioni logiche 1 vero 0 falso(logica positiva) Funzione logica binaria: il valore F dipende da un insieme ordinato di variabili binarie A,B,C,.. dove A, B, C, … possono assumere i valori 0 od 1. Ad n variabili binarie corrispondono 2 n possibili combinazioni per F La funzione logica F è rappresentabile tramite la Tabella della Verità: ad ogni possibile combinazione dei valori 0 ed 1 delle variabili binarie indipendenti di ingresso viene associato il valore binario dipendente della funzione F di uscita. In alternativa, la funzione logica F è rappresentabile mediante una espressione contenente le variabili e le operazioni primitive di somma logica, prodotto logico e complementazione.

3 3 Esempio 1: rappresentare la tabella della verità della funzione logica F=F(A,B) che assume valore 1 (vero) solo quando A=B n=2 variabili binarie 2 2 =4 combinazioni Soluzione: A F B Esempio 2: rappresentare la tabella della verità della funzione logica F=F(A,B,C) che assume valore 1 (vero) solo quando A=B e B C n=3 variabili binarie 2 3 =8 combinazioni Soluzione: A B F C

4 4 Funzioni incomplete o non completamente specificate Il valore delluscita non risulta definito per alcune configurazioni di ingresso. Ciò può accadere per due diversi motivi: 1) Il codice di ingresso alla rete non impiega tutte le configurazioni disponibili. 2) Particolari valori di alcune variabili tolgono ogni significato ai valori contemporanemente presenti in uscita. Le funzioni incomplete possono essere rappresentate da Tabelle della Verità ricorrendo allimpiego di un nuovo simbolo (-) per le condizioni di indifferenza. Esempio A B F C

5 5 Funzioni logiche binarie esprimibili tramite Tabella della Verità sintetizzabili tramite operatori logici elementari, OR, AND e NOT, traducibili in circuiti elettronici digitali (porte logiche) immediatamente realizzabili in forma integrata. II.2. Operatori logici elementari Esistono quattro diverse funzioni di una variabile binaria u 1 = 0, u 4 = 1costanti iu 2 Buffer

6 6 Operatore logico NOT (invertitore) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura svolge la funzione logica evidenziata dalla tabella AA AA NOT Tabella della Verità (Truth Table) Significato logico: Se A è vero, A è falso X= complemento di X o X negato

7 7 Esistono sedici diverse funzioni di due variabili binarie AND OR NORNAND XOR SAME

8 8 Operatore logico OR (somma logica) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura svolge la funzione logica evidenziata dalla tabella A B A+B AB OR Tabella della Verità (Truth Table) Significato logico: Se o A o B o entrambi sono veri, anche A+B è vero

9 9 Operatore logico AND (prodotto logico) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura svolge la funzione logica evidenziata dalla tabella A A·B AB AND Tabella della Verità Truth Table Significato logico: Se e A e B sono veri, anche A·B è vero B A·B

10 10 Leggi elementari della logica binaria 1) 0 + X = X 2) 1 + X = 1 3) X + X = X 4) X + X = 1 5) 0 · X = 0 6) 1 · X = X 7) X · X = 0 8) X · X = X 9) X = X 10) X + Y = Y + X 11) X·Y = Y · X 12) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z 13) X · (Y · Z) = (X · Y) · Z 14) X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z) 15) X + X · Y = X 16) X · (X + Y) = X 17) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z 18) X + X · Y = X + Y 19) X · Y + Y · Z + X · Z = X · Y + X · Z proprietà commutativa proprietà associativa proprietà distributiva identità ausiliarie Dimostrabili mediante ragionamento deduttivo Consentono di semplificare le funzioni logiche complesse Postulati

11 11 Esempio 1: semplificare la seguente funzione logica Soluzione: regola 14 regola 4 regola 14 regole 14 e 18 regola 14 regole 2 e 6 Funzione logica binaria in forma minima N.B. La minimizzazione della funzione logica binaria ne consente la sintesi con un numero minimo di operatori logici fondamentali.

12 12 Leggi di De Morgan a) prima legge di De Morgan (X+Y) = X·Y b) seconda legge di De Morgan (X·Y) = X + Y Ne consegue che una qualsiasi funzione logica può essere implementata utilizzando: o sole porte logiche OR e NOT o sole porte logiche AND e NOT La scelta ottimale dipende dalla tecnologia con cui vengono integrate le porte logiche elementari

13 13 Dimostrazione prima legge di De Morgan: XYX+Y Z = X + Y; Z = X + Y = X · Y ? X + Y + X · Y = X + Y + X = 1 + Y = 1 (X + Y) · ( X · Y) = X · X · Y + Y · Y · X = 0 Z + Z = 1 Z · Z = 0 Dimostriamo che soddisfa le due proprietadel complemento: X · Y XY Oppure:

14 14 Una qualsiasi funzione logica binaria di cui sia nota la Tabella della verità, può essere espressa da: a) somma di prodotti delle variabili binarie di ingresso b) prodotto di somme delle variabili binarie di ingresso Tali espressioni costituiscono le cosidette Forme canoniche della funzione Forme canoniche

15 15 Esempio 1: esprimere come somma di prodotti fondamentali la funzione logica a tre variabili binarie definita dalla Tabella della Verità: A B F C Si considerino le sole combinazioni delle variabili binarie di ingresso corrispondenti ad una uscita F di valore 1, e per queste sole si scrivano i prodotti delle variabili (se 1) o dei loro negati (se 0). Forma canonica della funzione logica definita dalla tabella della verità. a) somma di prodotti

16 16 Esempio 2: esprimere come prodotto di somme fondamentali la funzione logica a tre variabili binarie definita dalla Tabella della Verità: A B F C Si considerino le sole combinazioni delle variabili binarie di ingresso corrispondenti ad una uscita F di valore 0, e per queste sole si scrivano le somme delle variabili (se 0) o dei loro negati (se 1). b) prodotto di somme Forma canonica della funzione logica definita dalla tabella della verità

17 17 II.3 Operatori logici universali NAND = AND negato = AND con NOT in cascata Altri operatori di conveniente impiego: Tutti disponibili in forma integrata (Porte logiche) NOR = OR negato = OR con NOT in cascata XOR OR esclusivo SAME OR esclusivo negato

18 18 Operatore logico NOR (somma logica complementare o negata) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura svolge la somma logica negata delle variabili binarie evidenziata dalla tabella B A A+B AB Equivalente a: NOT B A A+B NOR OR

19 19 Operatore logico NAND (prodotto logico complementare o negato) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura svolge il prodotto logico negato delle variabili binarie evidenziato dalla tabella NAND B A A·B AB Equivalente a: ANDNOT B A A·B

20 20 NAND e NOR sono operatori logici universali Una qualsiasi funzione logica F(A,B,C,…) è implementabile tramite opportune combinazioni: o di soli operatori logici NAND o di soli operatori logici NOR Dimostrazione: Tramite soli operatori logici NAND (o analogamente NOR) è possibile implementare i tre operatori logici fondamentali AND, OR, NOT Segue verifica per gli operatori NAND. Analoga procedura si applica per gli operatori NOR

21 21 Esempio 1: implementare loperatore NOT mediante operatori NAND A B=A A·B 1 soluzione NAND B=A A A·A=A 1 Tabella della Verità

22 22 AB A·B Esempio 2: implementare loperatore AND mediante operatori NAND Soluzione NAND A·B Tabella della Verità NAND A B A·B

23 23 AB A·B A+B Esempio 3: implementare loperatore OR mediante operatori NAND Soluzione A·B= A+B Tabella della Verità NAND A B B A A·B De Morgan NAND

24 24 Sintesi a NAND ( ) A partire da unespressione del tipo somme di prodotti (SP) oppure somme di prodotti di somme (SPS), ecc.: 1) inserire tutte le parentesi sottintese dalla espressione SP (priorità al prodotto logico); 2) complementare tutte le variabili che risultano direttamente operate dal simbolo di somma logica; 3) sostituire tutti i simboli + e · con Esempio (SP) : F= a + b · c = (a + ( b · c) ) ( a + ( b · c) ) = ( a ( b c) ) Caso particolare F = b · c F = b c = b · c + 0 = (( b · c) + 0 ) ( ( b · c) + 1) = ( ( b c) 1)

25 25 Sintesi a NOR ( ) A partire da unespressione del tipo prodotti di somme (PS) oppure prodotti di somme di prodotti (PSP), ecc.: 1) inserire tutte le parentesi sottintese dalla espressione PS; 2) complementare tutte le variabili che risultano direttamente operate dal simbolo di prodotto logico; 3) sostituire tutti i simboli + e · con Esempio (PSP): F= c · (a + d ) · (a + c · d) = c · (a + d ) · (a + ( c · d )) c · (a + d ) · (a + ( c · d )) = c (a d ) (a ( c d )) Caso particolare F = b + c F = b c = ( b + c) · 1 = (( b + c) · 1 ) ( ( b + c) · 0) = ( ( b c) 0)

26 26 Operatore logico XOR (Exclusive OR) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura confronta le variabili in ingresso e fornisce uscita 1 solo quando gli ingressi sono fra loro differenti B A AB XOR 1 Significato logico: Se o A o B (non entrambi!) sono veri, anche F è vero Funzione logica XOR

27 27 Operatore logico SAME (Exclusive OR negato) convenzionalmente rappresentato dal simbolo di figura confronta le variabili in ingresso e fornisce uscita 1 solo quando gli ingressi sono fra loro uguali B A AB SAME 1 Significato logico: Se entrambi A e B sono o veri o falsi, anche F è vero Funzione logica SAME F SAME

28 28 II.4. Mappe di Karnaugh Metodo alternativo di rappresentazione delle funzioni logiche binarie Funzione logica binaria: Alle n variabili binarie di ingresso A, B, C,… corrispondono 2 n possibili combinazioni (minterms) per F BA B A·BA·B A·BA·B A·BA·B A B A C A B C A B CA B C A B A B C Esempio: n=2 (2 2 =4 minterms) Esempio: n=3 (2 3 =8 minterms)

29 29 A B C D A B C DA B C D A B A B C D Esempio: n=4 (2 4 =16 minterms) A B C D C D N.B. La sequenza delle variabili di ingresso in caselle adiacenti si diversifica sempre per un solo bit. Per n>4 introduco unadiacenza nella terza dimensione …

30 30 A B C D A B C DA B C D A B A B C D Esempio: n=5 (2 5 =32 minterms) A B C D C D E A B C D A B C DA B C D A B A B C D C D E

31 31 ABCD A B C D A B Esempio: n=6 (2 6 =64 minterms) C D E F ABCD A B E F ABCD A B C D A B C D E F ABCD A B E F ABCD

32 32 Rappresentazione della funzione logica binaria: A B F C Tabella della verità Mappa di Karnaugh AB In ognuna delle 2 n caselle della Mappa di Karnaugh si riporta il valore assunto dalla funzione F corrispondente alla combinazione delle n variabili di ingresso relativa alla casella stessa (valore del mintermine). C

33 33 Rete combinatoria di costo minimo Criteri di ottimalità Una R.C. si dice di costo minimo se soddisfa in ordine gerarchico i seguenti obiettivi: minimo transitorio (massima velocità di elaborazione) minimo numero di gates minimo numero di interconnessioni tra i gates La corrispondente espressione minima ha le seguenti proprietà: è di tipo S.P. o P.S. (due stadi in cascata di AND/OR o OR/AND) impiega il minimo numero di AND, OR, NOT i prodotti e le somme elaborano il minimo numero di letterali (raggruppamenti di massima dimensione)

34 34 Procedura di minimizzazione di funzioni logiche binarie rappresentate mediante mappa di Karnough Sintesi di F minima come somma di prodotti logici. Procedura: a) raggruppare gli 1 contigui (in orizzontale o in verticale) in sottogruppi di 1, 2, 4, 8, … b) identificare il numero minimo di sottogruppi distinti, partendo dai sottogruppi maggiori b) con riferimento al sottogruppo: escludere le variabili binarie che cambiano considerare le sole variabili binarie che rimangono invariate come variabile stessa se 1, variabile negata se 0 c) trascrivere il prodotto logico per ciascun sottogruppo d) rappresentare la F come somma dei prodotti logici suddetti

35 35 F = BC Esempio AB C A B F C Tabella della veritàMappa di Karnaugh Individuo il sottogruppo (1 sottogruppo da 2) individuo la variabile che cambia: A trascrivo il prodotto delle variabili che rimangono invariate: BC Funzione logica minima: Procedura convenzionale: applico le regole della logica binaria Forma canonica: assendo:

36 36 Esempio AB C Mappa di Karnaugh Funzione logica minima: Esempio AB C Mappa di Karnaugh Funzione logica minima: due sottogruppi da 2 celle, di cui uno verticale ed uno orizzontale N.B.: le celle al bordo orizzontale o verticale si considerano fra loro contigue

37 AB CD Esempio 4 Mappa di Karnaugh F= A C + B C D + A B C D Funzione logica minima: 1 sottogruppo da 4: 1 sottogruppo da 2: 1 sottogruppo da 1: B C D

38 AB CD Esempio 5 (comprese condizioni indifferenza) Mappa di Karnaugh F= A C + A B D Funzione logica minima: 1 sottogruppi da 4: A C 1 sottogruppo da 2: A B D

39 39 Mappe di Karnaugh con variabili riportate Sono mappe che contengono variabili al loro interno e si possono ottenere come compressione di mappe ordinarie. Possono essere considerate una forma intermedia tra lespressione booleana e la mappa di una funzione logica. 1 X Y AB C Esempio

40 40 Procedura di sintesi di una mappa a variabili riportate a)Si azzerano tutte le variabili riportate nella mappa e si esegue una normale sintesi degli 1 contigui b)Si pongono uguali ad indifferenza gli 1 appena sintetizzati e si sceglie poi una variabile ponendola uguale a 1 lasciando le rimanenti a 0. Si sintetizza la mappa cosi ottenuta e si pone il risultato in AND con la variabile scelta (le altre si tralasciano !). c)Si ripete loperazione precedente per tutte le variabili riportate sulla mappa considerando una variabile e la sua negata come variabili indipendenti da sintetizzare in due passi distinti. d)Lespressione booleana finale e lOR di tutti gli AND trovati. N.B. Le condizione di indifferenza restano immutate e possono essere usate per ottimizzare la copertura. Sintesi basata su somma di prodotti logici.

41 41 1 D D 0 AB C Esempio 1 D AB C 0 Azzero le variabili e sintetizzo gli 1. Sintetizzare la seguente mappa a una variabile riportata.

42 AB C 1 Pongo D=0, D=1, 1=indifferenza. Calcolo F come OR dei tre AND AB C 0 Pongo D=1, D=0, 1=indifferenza.

43 E 0 0D AB C Esempio 2 E AB C 0 Azzero le variabili e sintetizzo gli 1. Sintetizzare la seguente mappa a due variabili riportate AB C 0 Pongo D=1, E=0, E=0, 1=indifferenza.

44 AB C 1 Pongo D=0, E=1, E=0, 1=indifferenza. Calcolo F come OR dei tre AND AB C 1 Pongo D=0, E=0, E=1, 1=indifferenza.

45 45 Esempio 3 Sintetizzare la seguente mappa con caselle contenenti espressioni booleane di due variabili riportate. 1 0 D · E 0 00D+E AB C 1 D Metodo 1: ogni operazione booleana distinta va trattata come una variabile indipendente (cosi come in precedenza si e fatto per una variabile e la sua negata) AB C 1 0 Azzero le variabili e sintetizzo gli 1.

46 AB C - Pongo D=1, DE=0, D+E=0, 1=indifferenza AB C - Pongo D=0, DE=1, D+E=0, 1=indifferenza AB C - Pongo D=0, DE=0, D+E=1, 1=indifferenza.

47 47 Calcolo infine F come OR delle diverse sottoespressioni. N.B. Lespressione cosi ottenuta non e minima! Metodo 2: per ottenere una sintesi migliore devo considerare le come variabili le singole variabili e non le celle AB C 1 0 Azzero le variabili e sintetizzo gli AB C - Pongo D=1, E=0, 1=indifferenza, implicazioni D+E=1, DE=0

48 AB C - Pongo D=0, E=1, 1=indifferenza, implicazioni D+E=1, DE= AB C - Pongo D=1, E=1, 1=indifferenza, implicazioni D+E=1, DE=1 Gia coperta ! Calcolo infine F come OR delle diverse sottoespressioni.

49 49 II.5. Progetto logico Data una funzione logica binaria, determinare una possibile combinazione di Operatori logici che la implementino Operatori logici elementari AND; OR; NOT Operatori logici universali NAND; NOR La soluzione non è univoca: esiste una soluzione ottimale: vincoli tecnologici ed economici

50 50 Progetto logico: procedura Descrizione funzionale della rete combinatoria definizione della relazione logica fra luscita F e le variabili binarie di ingresso A, B, C,... Rappresentazione tramite Tabella della verità Deduzione della funzione logica F(A, B, C,…) in forma canonica (o somma di prodotti o prodotti di somme) Minimizzazione della funzione logica o tramite le leggi elementari della logica binaria o tramite le Mappe di Karnaugh Sintesi della funzione tramite Operatori logici elementari (AND, OR, NOT) e/o universali (NAND, NOR)

51 51 Descrizione funzionale della rete combinatoria Esempio: date tre variabili binarie in ingresso A, B, C, si abbia: F=A per C=0; F=B per C=1 Rappresentazione tramite Tabella della verità A B F C Deduzione della funzione logica F(A, B, C,…) in forma canonica Somma di prodotti: Prodotto di somme:

52 52 Minimizzazione della funzione logica o tramite le leggi elementari della logica binaria o tramite le Mappe di Karnaugh AB C Mappa di Karnaugh Funzione logica minima: 2 sottogruppi orizzontali da 2: AC, BC Equivalente (ma meno conveniente): 1 sottogruppo verticale da 2: 2 sottogruppi singoli da 1:

53 53 Sintesi della funzione tramite operatori logici elementari (AND; OR; NOT) A B C B NOT C OR C AC AND F A C BC A B C

54 54 Sintesi della funzione tramite operatori logici universali (NAND oppure NOR) In questo esempio parto da forma SP, quindi uso il NAND: A B C NAND AC NAND F BC A B C

55 55 Esempio: dimostrazione della identità ausiliaria X · (X + Y) = X XYX+Y X·(X+Y) Applico le regole dellalgebra binaria per la verifica a posteriori della identità. X · (X + Y) = X · X + X · Y = X + X · Y = X Tutte le leggi elementari della logica binaria sono dimostrabili mediante analoga procedura Appendice Verifica mediante tabella della verità

56 56 Esempio: dimostrazione della identità ausiliaria X · Y + Y · Z + X · Z = X · Y + X · Z mediante diagrammi di Venn (teoria degli insiemi) X X XY Z X·YX·Y X·ZX·Z Y · Z = X · Y · Z +X · Y · Z

57 57 Esercizio Cinque astronauti A, B, C, D, E sono stati addestrati per partecipare ad una missione spaziale. Individuare gli equipaggi possibili tenendo conto che prove psico-fisiche impongono di soddisfare contemporaneamente i seguenti vincoli: - A o B devono essere sicuramente inclusi, ma non insieme; - C o E devono essere sicuramente inclusi, anche insieme; - qualora D sia incluso, lo deve essere anche B; - A e C possono essere o entrambi inclusi o entrambi esclusi; - qualora E sia incluso, lo devono essere anche C e D. Soluzione - ??? Risposta - Devono partire A e C.

58 58 Dimostrazione seconda legge di De Morgan: XYX·Y Z = X · Y ; Z = X · Y = X + Y ? X · Y + X + Y = Y + X + Y = 1 + X = 1 ( X · Y) · (X + Y) = X · Y · X + X · Y · Y = 0 Z + Z = 1 Z · Z = 0 complemento ? X + Y XY

59 59 Forme algebriche compatte Esempio: a) somme di prodotti F m(a, b, c,...), dove a, b, c rappresentano il corrispondente decimale dei valori delle variabili dingresso per cui luscita vale 1. b) prodotti di somme F M(A, B, C,...) dove A, B, C rappresentano il corrispondente decimale dei valori delle variabili dingresso per cui luscita vale 0 Nel caso di funzioni incomplete si aggiunge un termine d(x, y, z,...) dove x, y, z rappresentano il corrispondente decimale dei valori delle variabili dingresso per cui luscita è indeterminata) A B F C F m(1, 3, 6)+d(2, 5) F M(0, 4, 7)+d(2, 5)

60 60 Procedura di minimizzazione di funzioni logiche binarie rappresentate mediante mappa di Karnough Sintesi di F minima come prodotto di somme logiche Procedura: a) raggruppare gli 0 contigui (in orizzontale o in verticale) in sottogruppi di 1, 2, 4, 8, … b) identificare il numero minimo di sottogruppi distinti, partendo dai sottogruppi maggiori b) con riferimento al sottogruppo: escludere le variabili binarie che cambiano considerare le sole variabili binarie che rimangono invariate come variabile stessa se 0, variabile negata se 1 c) trascrivere la somma logica per ciascun sottogruppo d) rappresentare la F come prodotto delle somme logiche suddette

61 AB C A B F C Tabella della verità Mappa di Karnaugh Individuo il sottogruppo (1 sottogruppo da 2) individuo la variabile che cambia: trascrivo la somma delle variabili che rimangono invariate: Funzione logica minima: Esempio 1

62 62 Esempio AB CD Mappa di Karnaugh Funzione logica minima: F = ( C + D ) · (A + B + D )

63 63 Esercizio Realizzare la sintesi a NOR della funzione logica espressa dalla seguente Mappa di Karnaugh: AB CD Funzione logica minima di tipo PS: F = A ·( B + D ) · (C + D )

64 64 F = (A) · ( B + D ) · ( C + D ) (A ) · ( B + D ) · ( C + D ) ( A ) ( B D ) ( C D ) NOR C D A B F


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