A.S.E.10.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 10 Mappe di KarnaughMappe di Karnaugh ImplicantiImplicanti Implicanti principaliImplicanti principali.

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1 A.S.E.10.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 10 Mappe di KarnaughMappe di Karnaugh ImplicantiImplicanti Implicanti principaliImplicanti principali Sintesi ottimaSintesi ottima

2 A.S.E.10.2 Richiami Funzione XORFunzione XOR Enumerazione di funzioniEnumerazione di funzioni Reti logicheReti logiche Reti logiche combinatorieReti logiche combinatorie Reti logiche sequenzialiReti logiche sequenziali SimboliSimboli Concetto di cicloConcetto di ciclo Concetto di minimizzazione (funzione costo)Concetto di minimizzazione (funzione costo) Realizzazioni diverse della stessa funzioneRealizzazioni diverse della stessa funzione

3 A.S.E.10.3 Mappe di Karnaugh 1 Tecnica tabellare di descrizione delle reti combinatorieTecnica tabellare di descrizione delle reti combinatorie Struttura a matriceStruttura a matrice EsempiEsempi 2 variabili3 variabili 2 variabili3 variabili si riportano solo gli “0” o solo gli “1”si riportano solo gli “0” o solo gli “1” 01 0f(0,0)f(0,1) 1f(1,0)f(1,1) b a000111100f(0,0,0)f(0,0,1)f(0,1,1)f(0,1,0) 1f(1,0,0)f(1,0,1)f(1,1,1)f(1,1,0) b, c a

4 A.S.E.10.4 Adiacenza Una combinazione delle variabili d’ingresso è detta logicamente adiacente a un’altra se le due combinazioni sono differenti solo in corrispondenza di un solo bitUna combinazione delle variabili d’ingresso è detta logicamente adiacente a un’altra se le due combinazioni sono differenti solo in corrispondenza di un solo bit Nelle mappe, l’ordine delle combinazioni delle variabili è scelto in modo tale che due combinazione geometricamente adiacenti siano anche logicamente adiacenteNelle mappe, l’ordine delle combinazioni delle variabili è scelto in modo tale che due combinazione geometricamente adiacenti siano anche logicamente adiacente

5 A.S.E.10.5 Mappe di Karnaugh 2 4 variabili4 variabili due colonne adiacenti differiscono per una sola variabiledue colonne adiacenti differiscono per una sola variabile due righe adiacenti differiscono per una sola variabiledue righe adiacenti differiscono per una sola variabile la prima i l’ultima colonna sono adiacentila prima i l’ultima colonna sono adiacenti La mappa è scritta su un cilindro verticaleLa mappa è scritta su un cilindro verticale la prima i l’ultima riga sono adiacentila prima i l’ultima riga sono adiacenti La mappa è scritta su un cilindro orizzontale (ovvero la mappa sta su un toroide)La mappa è scritta su un cilindro orizzontale (ovvero la mappa sta su un toroide) c d a b 00011110 00f(0000)f(0001)f(0011)f(0010) 01f(0100)f(0101)f(0111)f(0110) 11f(1100)f(1101)f(1111)f(1110) 10f(1000)f(1001)f(1011)f(1010)

6 A.S.E.10.6 Mappe di Karnaugh 3 5 variabili5 variabili e = 0e = 1 e = 0e = 1 Le caselle con la stessa lettera sono adiacentiLe caselle con la stessa lettera sono adiacenti Attenzione alle caselle con lettere in rosso SONO ADIACENTiAttenzione alle caselle con lettere in rosso SONO ADIACENTi c d a b 00011110 00az 01 a x 11y 10bb c d a b0001111000 c z ce 01 d x 11dy 10e

7 A.S.E.10.7 Esempio Per la funzione prima trovata si haPer la funzione prima trovata si ha abcz 0001 0010 0101 0110 1001 1011 1101 1110 00011110011 1111 a b, c00011110000 10 a

8 A.S.E.10.8 Osservazioni Data una funzione di “n” variabiliData una funzione di “n” variabili Ogni casella della mappa corrisponde a un mintermine della funzione (prodotto di “n” termini)Ogni casella della mappa corrisponde a un mintermine della funzione (prodotto di “n” termini) Due caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-1) terminiDue caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-1) termini Quattro caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-2) terminiQuattro caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-2) termini Otto caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-3) terminiOtto caselle adiacenti danno luogo a un prodotto di (n-3) termini

9 A.S.E.10.9 Esempio 1 Funzione “f ”di 4 variabiliFunzione “f ”di 4 variabili La forma canonica SP si ottiene sommando le caselle dove f vale “1”La forma canonica SP si ottiene sommando le caselle dove f vale “1”

10 A.S.E.10.10 Esempio 2 Data la funzione definita dalla seguente mappa:Data la funzione definita dalla seguente mappa: si ha:si ha:

11 A.S.E.10.11 Definizione Il prodotto “p ” si definisce implicante della finzione “f “ se p e f valgono “1” per la stessa configurazione degli ingressiIl prodotto “p ” si definisce implicante della finzione “f “ se p e f valgono “1” per la stessa configurazione degli ingressi I mintermini della funzione sono tutti implicanti della funzioneI mintermini della funzione sono tutti implicanti della funzione Una funzione si può sempre scrivere come somma di implicantiUna funzione si può sempre scrivere come somma di implicanti Una casella delle mappe di Karnaugh è un implicante di ordine 1 (0) [1]Una casella delle mappe di Karnaugh è un implicante di ordine 1 (0) [1] Due caselle adiacenti sono un implicante di ordine 2 (1) [2]Due caselle adiacenti sono un implicante di ordine 2 (1) [2] Quattro caselle adiacenti sono un implicante di ordine 3 (2) [4]Quattro caselle adiacenti sono un implicante di ordine 3 (2) [4] Otto caselle adiacenti sono un implicante di ordine 4 (3) [8]Otto caselle adiacenti sono un implicante di ordine 4 (3) [8] L’espressine di un implicante si ricava direttamente dalle mappe di KarnaughL’espressine di un implicante si ricava direttamente dalle mappe di Karnaugh

12 A.S.E.10.12 Esempio Per la funzione prima vista si ha:Per la funzione prima vista si ha: Impicante di “z “ Impicante di ordine 2 Impicante di ordine 3 Impicante di ordine 1

13 A.S.E.10.13 Esempio Esempio di implicanti di ordine 2Esempio di implicanti di ordine 2

14 A.S.E.10.14 Esempio Esempio di implicanti di ordine 3Esempio di implicanti di ordine 3

15 A.S.E.10.15 Esempio Esempio di implicanti di ordine 4Esempio di implicanti di ordine 4

16 A.S.E.10.16 Definizione RichiamoRichiamo –Una funzione si può sempre scrivere come somma di implicanti Un implicante p* si dice implicante principale se non esiste nessun altro implicante p’ tale che p’ copra p*Un implicante p* si dice implicante principale se non esiste nessun altro implicante p’ tale che p’ copra p* Per ogni funzione f esiste almeno un insieme di implicanti principali tale che f può essere espressa come somma di soli implicanti principaliPer ogni funzione f esiste almeno un insieme di implicanti principali tale che f può essere espressa come somma di soli implicanti principali

17 A.S.E.10.17 Esempio Per la funzione prima vista :Per la funzione prima vista : si ha:si ha: L’implicane verde non è principaleL’implicane verde non è principale

18 A.S.E.10.18 Sintesi ottima È necessario definire una funzione COSTO da minimizzareÈ necessario definire una funzione COSTO da minimizzare Definiti letterali le variabili dirette o complementate presenti in una funzioneDefiniti letterali le variabili dirette o complementate presenti in una funzione Date due forme diverse della stessa funzioneDate due forme diverse della stessa funzione La forma “A ” ha un costo minore della funzione “B ” se A contiene meno letterali.La forma “A ” ha un costo minore della funzione “B ” se A contiene meno letterali. Minimizzare una funzione vuol dire trovare la forma con meno letteraliMinimizzare una funzione vuol dire trovare la forma con meno letterali Si possono definire altre funzioni COSTO in funzione della tecnologia realizzativaSi possono definire altre funzioni COSTO in funzione della tecnologia realizzativa

19 A.S.E.10.19 Ottimizzazione mediante le Mappe di Karnaugh Passo 1Passo 1 individuare sulla mappa tutti gli implicanti di ordine superiore possibile che coprono tutta la funzioneindividuare sulla mappa tutti gli implicanti di ordine superiore possibile che coprono tutta la funzione Passo 2Passo 2 Scegliere un insieme più piccolo possibile di implicanti principali che coprono la funzioneScegliere un insieme più piccolo possibile di implicanti principali che coprono la funzione NOTANOTA L’ottimizzazione si fa per ispezione visivaL’ottimizzazione si fa per ispezione visiva

20 A.S.E.10.20 Esempio Per la funzione prima vista :Per la funzione prima vista : si ha:si ha: La scelta 3 da luogo ad una funzione migliore delle altreLa scelta 3 da luogo ad una funzione migliore delle altre

21 A.S.E.10.21 Conclusioni ImplicantiImplicanti Implicanti principaliImplicanti principali Concetto di minimizzazione (funzione costo)Concetto di minimizzazione (funzione costo) Sintesi ottimaSintesi ottima