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Dario Bianchi - 2003Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dell’Informazione Corso di Laurea in Ingegneria Civile Prof. Dario Bianchi.

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1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dell’Informazione Corso di Laurea in Ingegneria Civile Prof. Dario Bianchi

2 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dell’Informazione Numeri reali Numeri interi Testi Grafici Disegni Fotografie Filmati Suoni In un calcolatore vogliamo rappresentare vari tipi di informazioni:

3 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dell’Informazione L’informazione può essere rappresentata in due forme: – Analogica – Digitale Nella forma analogica una grandezza è rappresentata in modo continuo. Nella forma digitale una grandezza è rappresentata in modo discreto. La gran parte delle grandezze fisiche sono di tipo continuo (ad esempio unsegnale acustico). Tuttavia alcuni tipi di informazioni “artificiali” sono di tipo discreto (ad esempio un testo scritto).

4 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Per elaborare delle grandezze di tipo continuo con un calcolatore, bisogna utilizzare una sua rappresentazione digitale. La rappresentazione digitale é una approssimazione della rappresentazione analogica. L’errore di approssimazione dipende dalla precisione della rappresentazione digitale. Rappresentazione dell’Informazione

5 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Internamente ad un elaboratore ogni informazione è rappresentata da una sequenza di bit (cifre binarie) Una sequenza di bit non dice puo` rappresentare entita` diverse: Ad esempio la sequenza di cifre binarie: puo’ rappresentare: – l’intero 65 – il carattere A – il valore di un segnale musicale – il codice del colore di un punto sullo schermo Rappresentazione dell’Informazione

6 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Codici Un codice é un sistema di simboli atto a rappresentare una informazione di qualsiasi genere (caratteri, numeri, etc.). Ogni simbolo é messo in corrispondenza biunivoca con una entitá che si vuole rappresentare. Un codice binario usa come simboli le cifre binarie “0” e “1”.

7 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Sistemi Numerici Un numero N puó essere rappresentato come una sequenza di cifre: N=d n-1 d n-2 d 1 d 0 d -1 d -2 d -m corrispondente a: N=d n-1 r n-1 +d n-2 r n-2 + +d 0 r o + d -1 r d -m r -m dove: d = cifra r = base n = numero cifre parte intera m = numero cifre parte decimale

8 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Sistemi Numerici Sistema Decimale R=10, d=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 N=d n-1 10 n-1 +d n-2 10 n-2 + +d 0 + d d -m 10 -m Esempio: =

9 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Sistemi Numerici Sistema Binario R=2, d=0,1 N=d n-1 2 n-1 +d n-2 2 n-2 + +d d d -m 2 -m Esempio: = = La cifra binaria é detta “bit” (binary digit – pezzo, pezzetto: cioé l’unitá più piccola di informazione). E’ il sistema usato nei calcolatori.

10 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Sistemi Numerici Sistema Ottale R=8, d=0,1,2,3,4,5,6,7 N=d n-1 8 n-1 +d n-2 8 n-2 + +d d d -m 8 -m Esempio: = = 87 10

11 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Sistemi Numerici Sistema Esadecimale (Base 16,indicato anche con H) R=16, d=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F N=d n-1 16 n-1 +d n-2 16 n-2 + +d d d -m 16 -m Esempio: A1 H = A1 16 = = Per avere 16 simboli distinti bisogna aggiungere: A H =10 C H =12 E H =14 B H =11 D H =13 F H =15

12 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Conversioni di Base Conversione dalla base 10 ad una base qualsiasi: parte intera N=d 0 r 0 +d 1 r 1 +d 2 r 2 + +d n-1 r n-1 N=d 0 +r(d 1 +r(d 2 (… +d n-1 ))) Quindi dividendo N per la base r si ottiene come quoziente d 1 +r(d 2 (… +d n-1 )) e come (resto d 0 la cifra meno significativa). Dividendo ancora il quoziente per la base si ottiene la cifra di peso 1 e così via fino ad avere un quoziente 0

13 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Conversioni di Base = Esempio di conversione dalla base 10 alla base 2: parte intera d0d0 d1d1 d2d2 d3d3 d4d4 d5d5 d6d6

14 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Conversioni di Base Conversione dalla base 10 alla base 2: parte frazionaria N=d d d -m 2 -m Se moltiplichiamo N per la base 2 otteniamo per la parte intera d -1. Moltiplicando ancora per 2 la parte frazionaria otteniamo come parte intera d -2 etc. Il risultato termina quando il risultato della moltiplicazione e’ esattamente 1 o quando si é raggiunta la precisione voluta (una rappresentazione puo’ essere finita in una base e infinita in un’altra).

15 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Conversioni di Base Esempio di conversione dalla base 10 alla base 2: parte frazionaria × × × × 2 d -1 d -2 d =

16 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Conversioni di Base Esempio di conversione dalla base 10 alla base 2: parte intera e frazionaria Per convertire un numero che ha parte intera e parte frazionaria si effettuano le conversioni separatamente. Esempio: = = =

17 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Conversioni di Base Conversione fra le basi 8 o 16 e la base 2: Le notazioni in base 8 e 16 possono essere pensate come delle abbrevviazioni della notazione in base 2. Ogni cifra ottale corrisponde a 3 cifre binarie: = Ogni cifra esadecimale corrisponde a 4 cifre binarie: = ( = )

18 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operazioni sui numeri binari Come per I numeri decimali ma con le seguentui tabelle: Somma:Prodotto: ×

19 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operazioni sui numeri binari Somma: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 con riporto 1 (2 10 ) 1+1+1=1 con riporto 1 (3 10 ) riporto

20 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operazioni sui numeri binari Sottrazione: 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1 con un prestito dal bit piu’ a sinistra riporto riporto

21 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operazioni sui numeri binari Prodotto: ×

22 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operazioni sui numeri binari Divisione: ×

23 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione degli interi positivi Quante cifre sono necessarie per rappresentare in numero X in base 2 ? –Se usiamo k bit abbiamo 2 k configurazioni possibili. –Possiamo quindi rappresentare i numeri compresi fra 0 e 2 k -1

24 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione degli interi positivi Tutti I numeri x con 2 k < x ≤ 2 k - 1 richiedono k bit per essere rappresentati Anche 2 k-1 < x + 1 ≤ 2 k K-1 < ≤ k Quindi per rappresentare il numero x occorrono k bit con k= |¯log 2 (x+1) ¯| Cioé l’intero immediatamente superiore a log 2 (x+1)

25 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione degli interi positivi Il risultato vale anche per una generica base r k= |¯log r (x+1) ¯| Se B e’ il numero di cifre binarie che serve a rappresentare il numero x e D é il numero di cifre necessarie sempre per rappresentare x B/D=|¯log 2 (x+1) ¯| / |¯log 10 (x+1) ¯| = |¯log 10 (x+1) / log 10 (2) ¯| /( |¯log 10 (x+1) ¯| ~3.3 Occorrono all’incirca 10 cifre binarie per rappresentare 3 cifre decimali. Si usano queste abbrevviazioni: –Kilo = 2 10 = 1024 ~ 1000 –Mega = 2 20 = ~ –Giga = 2 30 = ……… ~

26 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri nei calcolatori La rappresentazione naturale dei numeri interi é quella binaria. La memoria é organizzata in celle (“parole”) con un numero fisso di bit (ad esempio 8). Corrisponde a Usando 8 cifre binaerie (bit) possiamo rapprtesentare I numeri compresi fra 0 e =

27 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri nei calcolatori L’uso un numero finito di cifre porta ad una aritmetica modulare. Pensiamo a degli incrementiunitari (0) (1) (2) ……… (255) (1) (256 -> 0) (1) ……….. Quando si raggiunge il numero 255 (tutti 1) non potendo rappresentare il 256 che richiederebbe 9 bit si torna allo 0. Si ha quindi una aritmetica modulo 256. In generale se si usano parole di k bit si ha una aritmetica modulo k.

28 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione degli interi relativi Disponendo di k bit si possono avere 2 k configurazioni diverse. Metá devono essre usate per I numeri positivi, l’ altra metá per quelli negativi. Ci sono due possibili rappresentazioni: –in modulo e segno –in complemento a 2

29 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione degli interi relativi in modulo e segno Il bit più significativo viene usato per rappresentare il il segno: 0 per i numeri positivi 1 per quelli negativi Le cifre restanti rappresentano il modulo > > Lo zero ha due rappresentazioni: (+0) e (-0) segnomodulo

30 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione degli interi relativi in modulo e segno Algoritmo di somma: –Confrontare I bit di segno dei due numeri –Se sono uguali: Somma i moduli Assegna come bit di segno del risultato il bit di segno degli operandi –Altrimenti: Confronta i valori assoluti dei due numeri Assegna come bit di segno del risultato quello dell’operando con modulo maggiore Sottari i moduli nell’ordine giusto Macchinoso!! (Analoga la sottrazione).

31 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Complemento Complemento alla base: –Dato un numero x di base r e di k cifre é definito come r k - x Complemento alla base -1: r k -1- x

32 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Complemento Complemento a 2: 2 k – x –Es: x= k= = Complemento a 1: 2 k -1- x –Es: x= k= =

33 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Complemento Complemento a 1: 2 k -1- x –Lo si ottirne semplicemete scambiando 0 con 1 e 1 con 0 –Es: x= k= x complemento di x Complemento a 2: 2 k – x –Si fa il complemento ad 1 di x e gli si somma 1 –Es: x= k= x complemento a 1 1 = sommo complemento a 2

34 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri negativi in complemento a 2 Supponiamo di avere una cella di k bit I numeri positivi vengono rappresentati dal loro modulo e hanno il bit piu’ significativo (segno) = 0 I numeri negativi vengono rappresentati facendo il complemento a due del corrispondente numero positivo. Hanno il bit piu’ significativo (segno) = 1 Si rappresentano come positivi i numeri da 0 a 2 k-1 -1 Si rappresentano come negativi i numero che vanno da -2 k-1 a -1

35 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri negativi in complemento a Supponendo una cella di 8 bit (k=8, 2 k =256) 2 k-1 -1 = k-1 = -128

36 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri negativi in complemento a 2 Supponiamo di voler calcolare A-B con una cella di k bit. Possiamo calcolare A + (-B) dove –B e’ il complemento a 2 di B dato da 2 K -B. Si ottiene A - B = A + (-B) = A + 2 K - B in quanto il termine 2 K non é rappresentabile in k bit. Per fare una sottrazione possiamo sommare il complemento a 2 del secondo operando

37 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri negativi in complemento a 2 Come possiamo interpretare un numero in complemento a due? Se il bit più significativo (segno) =0 allora il numero é positivo e le sue cifre ci danno il modulo –Es: = + 51 ( ) Se il bit più significativo (segno) =1 allora il numero é negativo e per avere il modulo si deve fare il complemento a 3 –Es: negativo – complemento a 1 – 1 – complemento a 2 = 77 ( ) –il numero originale era -77

38 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri negativi in complemento a 2 Esempi (supponiamo k=5, possiamo rappresentare I numeri da -16 a + 15): = = (sesto bit eliminato)

39 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri negativi in complemento a 2 Esempi (supponiamo k=5, possiamo rappresentare I numeri da -16 a + 15): = = (sesto bit eliminato)

40 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri negativi in complemento a 2 Esempi (supponiamo k=5, possiamo rappresentare I numeri da -16 a + 15): = OVERFLOW + 17 non e’ rappresentabile con 5 bit = (sesto bit eliminato) OVERFLOW -18 non e’ rappresentasbile Con 5 bit

41 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rappresentazione dei numeri negativi in complemento a 2 OVERFLOW (Supero di capacitá) Si ha quando il risultato non é rappresentabile con il numero di bit disponibili. Si ha solo sommando due numeri entrambi positivi o entrambi negativi. In questo caso il segno del risultato risulta opposto a quello degli operandi.

42 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operazioni di Shift (Scorrimento) Shift a sinistra: moltiplica per Shift a destra: divide per 2

43 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Numeri reali Rappresentazione in virgola fissa Dobbiamo supporre di utilizzare n bit per la parte intera e m bit per la parte frazionaria: xxxxx.xxx Il numero Corrisponderebbe (usando le ultime tre cifre come parte frazionaria) a: =

44 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Numeri reali Rappresentazione in virgola fissa La rappresentazione in virgola fissa limita fortemente l’intervallo numerico utilizzabile. Possiamo infatti rappresentare numeri da 2 -3 =0.125 a 2 5 =31 Il numero di cifre significative dipende dal suo valore assoluto: = ha 8 cifre significative Anche = ha 8 cifre significative Ma nella rappresentazione in virgola fissa diventerebbe: =9.75 con notevole perdita di precisione.

45 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Numeri reali Rappresentazione in virgola mobile (Floating point) Notazione esponenziale pio’ essere scritto come Anche nella notazione binaria possiamo dire = = In questo caso la precisione del numero non dipende dal suo valore assoluto.

46 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Numeri reali Rappresentazione in virgola mobile (Floating point) Semplice precisione: 1 bit segno mantissa 1 bit segno esp[onente 23 bit modulo mantissa 7 bit modulo esponente La mantissa consente una precisione 23/3.3 cifre decimali. L’esponente puó variare da -127 a +127 ed il range di un numero floating point é fra e

47 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Numeri reali Rappresentazione in virgola mobile (Floating point) Semplice precisione: 1 bit segno mantissa 1 bit segno esp[onente 23 bit modulo mantissa 7 bit modulo esponente La mantissa consente una precisione 23/3.3 cifre decimali. L’esponente puó variare da -127 a +127 ed il range di un numero floating point é fra e

48 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Precisione Interi –“corti” 16 bit = 2 byte da ~ a ~ –“lunghi” 32 bit =4 byte da ~ a ~ Floating point –Semplice precisione 32 bit = 4 byte –Doppia precisione 64 bit = 8 byte

49 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operazioni sui numeri Floating Point Moltiplicazione (divisione): –Si moltipliclano (o si dividono) le mantisse –Si sommano (o si sottraggono) gli esponenti Condizione di errore –OVERFLOW: si ha un esponente (positivo) troppo grande ( ) –UNDERFLOW: si ha un esponente (negativo) troppo piccolo ( ) –Divisione per Zeri: operazione non ammessa.

50 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operazioni sui numeri Floating Point Addizione e sottrazione: Bisogna prima allineare I due operandi: Es: = = Si puo’ avere una perdita di precisione nell’allineamento dei due numeri (si perdono le cifre meno significative del numero con esponente più piccolo).

51 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Codici Codice: sistema di simboli che permette la rappresentazione dell’informazione Esempi:    Decodifica agevole vs codici compressi

52 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Definizioni SIMBOLO: entità di cui non si da qui una definizione formale STRINGA: sequenza finita di simboli giustapposti (lunghezza della stringa, stringa vuota) ALFABETO: insieme finito di simboli LINGUAGGIO: insieme di stringhe di simboli tratti da un alfabeto

53 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Esempi di alfabeti Alfabeto italiano: {A, B, C, D, …Z} Alfabeto greco: {α, β, γ, δ,...ω} Alfabeto binario: {0, 1}

54 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Alfabeto usato dal calcolatore Interruttore (aperto/chiuso) Foro su scheda (aperto/chiuso) Transistor (in conduzione/spento) Tensione (alta/bassa) Dominio di magnetizzazione (  /  ) Riflettività di un’areola (alta/bassa)

55 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Alfabeto usato dal calcolatore Gli elaboratori utilizzano una logica e un’aritmetica binaria Ai due stati di un dispositivo vengono associati i due simboli 0 e 1

56 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Codifica dei simboli E’ necessario determinare delle regole di corrispondenza, dette codifiche La codifica mette in corrispondenza (biunivoca) ogni simbolo appartenente all’alfabeto più ricco con una stringa di simboli appartenente all’alfabeto più ridotto.

57 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Codifica Problema: codificare i simboli dell’alfabeto A utilizzando stringhe del linguaggio L, con A qualsiasi e L={ stringhe di N bit } Cardinalità C dell’alfabeto A: numero di elementi di A

58 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Codifiche ridondanti

59 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Distanza di Hamming E’ definita come il minimo numero di bit di cui differiscono due parole qualsiasi del codice se N=M si ha che H=1 se c’è ridondanza, H  1

60 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Rilevazione e correzione di errori La ridondanza può servire per rilevare o correggere errori nel codice Num di errori rilevati: R = H-1 Num di errori corretti:

61 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Esempio di codifica ridondante Parità: si ottiene dal codice non ridondante aggiungendo un simbolo in modo che il numero di ‘1’ sia pari (parità pari) o dispari (parità dispari). Avendo H=2 può solo rilevare un errore

62 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Codice BCD BCD: Binary Coded Decimal Simbolo: Codifica: Con Parita`: …

63 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Codici autocorrettivi Per avere la possibilita’ di correggere bisogna avere una distanza di Hamming H>=2 Esempio (Non realistico: in realta` la ridondanza puo’ essere piu’ bassa) Codici: 0   111 (H=3) {001,010,100} sono codici errati  0 {110,101,011} sono codici errati  1

64 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Codice ASCII American Standard Code for Information Interchange 7 bit quindi 128 simboli diversi ASCII esteso (8bit) –diverse estensioni in dipendenza dal paese –oppure aggiunge la parità

65 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile ALGEBRA BOOLEANA Boole matematico inglese (XIX secolo) La sua algebra viene utilizzata solo dall’inizio del XX secolo (primi sistemi di calcolo) Si basa su due soli stati: –acceso (ON) –spento (OFF)

66 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Variabili booleane Le variabili possono assumere solo due valori: 0 e 1 Si chiamano Variabili logiche o booleane

67 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Funzioni booleane Usando le variabili booleane, si possono costruire le funzioni booleane F(x,y,z) che possono assumere solo due stati: –true –false

68 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Tabella della verità Ogni funzione booleana è caratterizzata dalla propria tabella della verità xyzF

69 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Funzioni booleane Funzioni completamente specificate: se per tutte le combinazioni delle variabili il suo valore è determinato Esempio: uno studente può chiedere la tesi solo se ha superato tutti gli esami ed è regolarmente iscritto

70 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Funzioni booleane Funzioni non completamente specificate: se a una o più combinazioni delle sue variabili non corrisponde alcun valore della funzione Esempio: uno studente si laurea solo se ha superato tutti gli esami e ha svolto la tesi

71 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Costanti booleane Oltre alle variabili vi sono anche le costanti Essendo l’Algebra Booleana definita su due soli simboli, esistono solo due costanti: –0 –1

72 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operatori logici Tra le variabili e le costanti possono intervenire delle relazioni Le relazioni si esprimono utilizzando gli operatori logici Definiti insieme agli operatori logici, i postulati definiscono il loro comportamento

73 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Tipi di operatori Esistono due tipi di operatori, in dipendenza dal numero di variabili che utilizzano: –monadici –diadici

74 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile L’operatore NOT Il risultato è il complemento dell’unica variabile x NOT x

75 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile L’operatore AND Il risultato è vero solo se sono vere entrambe le variabili aba AND b

76 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile L’operatore OR Il risultato è vero solo se è vera almeno una delle variabili ab a OR b

77 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile L’operatore XOR Il risultato è vero solo se è vera solo una delle due variabili aba XOR b

78 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operatori - nomenclatura NOT:inversione( ¯ ) AND: prodotto logico( · ) OR:somma logica( + ) XOR:or esclusivo(  )

79 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Operatori universali Con gli operatori NOT, OR, AND, XOR si possono costruire tutte le funzioni booleane Esistono due operatori (NAND, NOR) che permettono la sintesi di qualsiasi funzione, utilizzando un unico tipo di operatori

80 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile L’operatore NAND Il risultato è vero solo se è falso l’AND tra le due variabili aba NAND b

81 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile L’operatore NOR Il risultato è vero solo se è falso l’OR tra le due variabili ab a NOR b

82 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Espressioni logiche Un insieme di variabili e/o costanti booleane a cui siano applicati gli operatori logici si dice espressione booleana o logica Una espressione logica rappresenta una funzione logica: ad esempio:

83 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Precedenze tra operatori Le precedenze sono simili al + e al x dell’algebra consueta: –priorità alta x –priorità bassa +

84 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Proprietà dell’algebra booleana X·0 = 0 X+1 = 1 X·1 = X X+0 = X X·X = X X+X = X idempotenza X·X = 0 X+X = 1 complementazione X·Y = Y·X X+Y = Y+X commutativa X·(X+Y) = XX+(X·Y) = X assorbimento X·(X+Y) = X ·Y X+(X·Y) = X+Y assorbimento X·(Y+Z) = X·Y+X·Z X+(Y·Z) = (X+Y)·(X+Z) distributiva

85 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Proprietà dell’algebra booleana X·(Y·Z) = (X·Y) ·Z = X·Y·Z X+(Y+Z) = (X+Y)+Z = X+Y+Z associativa ( X ) = X X·Y = X + YX+Y = X ·Y De Morgan

86 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Proprietà operatori universali NOR (  ) NAND (  ) X  1 = 0X  0 = 1 X  0 = XX  1 = X X  X = XX  X = X X  Y = X·YX  Y = X+Y X  Y = X+YX  Y = X·Y

87 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Sommattore x n y n c n-1 rnrn cncn x 1 y 1 c 0 r1r1 c1c1 x 0 y 0 c 0 r0r0 c0c0

88 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Sommatore xixi yiyi c i-1 riri cici r i = (x i  y i )  c i-1 c i = c i-1 (x i  y i ) + x i y i

89 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Reti logiche Reti combinatorie: le uscite dipendono solo dagli ingressi Reti sequenziali: le uscite dipendono dagli ingressi e dalle uscite precedenti (Effetti di memoria: latch, flip-flop)

90 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile Latch RS r s Q Q RSQQ’ Q = stato precedente Q’=Stato successivo


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