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Sistemi posizionali, numeri binari, complemento a due Rappresentazioni numeriche.

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Presentazione sul tema: "Sistemi posizionali, numeri binari, complemento a due Rappresentazioni numeriche."— Transcript della presentazione:

1 Sistemi posizionali, numeri binari, complemento a due Rappresentazioni numeriche

2 Conversione dalla base 10 alla base 2 Dato un numero N la sua rappresentazione in base due sarà del tipo c k c k-1 c k-2 … c 1 c 0 (dove c i è una cifra binaria) Per convertire un numero in base dieci nel corrispondente in base due si devono trovare i resti delle divisioni successive del numero N per due

3 Conversione dalla base 10 alla base 2 Esempio: il numero 6 10 : 6/2 = 3 resto 0 3/2 = 1 resto 1 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso lalto, si ha che la rappresentazione binaria del numero 6 10 è 110 2

4 Conversione dalla base 10 alla base 2 Esempio: il numero 345 10 : 345/2 = 172 resto 1 172/2 = 86 resto 0 86/2 = 43 resto 0 43/2 = 21 resto 1 21/2 = 10 resto 1 10/2 = 5 resto 0 5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso lalto (in quanto si ottengono a partire dalla cifra meno significativa, lunità), si ha che rappresentazione binaria del numero 345 10 è 101011001 2

5 Conversione dalla base 2 alla base 10 Sia c m c m-1 c m-2 … c 1 c 0 un numero rappresentato in base 2, usiamo: c m x 2 m + c m-1 x 2 m-1 + c m-2 x 2 m-2 + … + c 1 x 2 1 + c 0 x 2 0 = N Esempio: 101011001 2 1 x 2 8 + 0 x 2 7 + 1 x 2 6 + 0 x 2 5 + 1 x 2 4 + 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 256 + 64 + 16 + 8 + 1 = 345

6 Altri basi: ottale, esadecimale Sistema ottale Utilizza una notazione posizionale basata su otto cifre (0,1,…,7) e sulle potenze di 8 Esempio: 103 8 = 1 x 8 2 + 0 x 8 1 + 3 x 8 0 = 67 Sistema esadecimale Utilizza una notazione posizionale basata su sedici cifre (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) e sulle potenze di 16 Esempio: 103 16 = 1 x 16 2 + 0 x 16 1 + 3 x 16 0 = 259 Esempio: AC4 16 = 10 x 16 2 + 12 x 16 1 + 4 x 16 0 = 2756

7 Operazioni su numeri binari Vediamo solo il caso della addizione nella codifica binaria: Si mettono in colonna i numeri da sommare Si calcola il riporto ogni volta che la somma parziale supera il valore 1 Addizione: 0 + 0 = 0 con riporto 0 0 + 1 = 1 con riporto 0 1 + 0 = 1 con riporto 0 1 + 1 = 0 con riporto 1

8 Operazioni su numeri binari Addizione: 0 + 0 = 0 con riporto 0 0 + 1 = 1 con riporto 0 1 + 0 = 1 con riporto 0 1 + 1 = 0 con riporto 1 Esempi: 1 + 1 = 1 0 1 0 1 + 1 1 = 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 + 1 0 0 0 1 1 0 = 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 + 1 1 = 1 0 1 0

9 Codici a lunghezza fissa Se si usa un numero prestabilito di cifre si ha un codice a lunghezza fissa In questo modo si pone anche un limite al numero massimo rappresentabile Esempio: qual è il numero più grande rappresentabile con 4 cifre? In base 10:9999 In base 2:1111(=15 10 ) In base 16:FFFF(=65535 10 ) In base 8:7777(=4095 10 )

10 Codici a lunghezza fissa Numeri maggiori di quello massimo rappresentabile causano problemi di overflow Ovvero per essere rappresentati richiedono più cifre di quelle a disposizione Esempio: 4 cifre In base 10:9999 + 1= 10000 10 In base 2:1111 + 1= 10000 2 (=16 10 ) In base 16:FFFF + 1= 10000 16 (=65536 10 ) In base 8:7777 + 1= 10000 8 (=4096 10 )

11 Codici a lunghezza fissa In generale, con N cifre a disposizione e base b il più grande numero (intero positivo) rappresentabile si può esprimere come b N – 1 Esempio: N=4 In base 10:9999 = 10 4 - 1 In base 2:1111 = 2 4 - 1 In base 16:FFFF = 16 4 - 1 In base 8:7777 = 8 4 - 1

12 Codici a lunghezza fissa Esempio di overflow nel sistema binario dovuto a operazioni aritmetiche: 5 + 4 = 9 (in sistema decimale) abbiamo usato solo un cifre decimale per il risulto Ricordiamo: 5 10 = 101 2,4 10 = 100 2 Errore: overflow (non può essere codificato 9 10 = 1001 2 con tre bit) 1 0 1 + 1 0 0 = 1 0 0 1 (in sistema binario)

13 Rappresentazione dei numeri In realtà, una semplice codifica binaria come quella discussa fino ad ora non è sufficiente, per due motivi: Numeri negativi Numeri con la virgola Per questi numeri vengono utilizzate delle rappresentazioni differenti Per esempio complemento a due per rappresentare i numeri negativi

14 Rappresentazione dei numeri negativi Si può pensare di usare un bit per il segno 0 identifica + 1 identifica - Gli altri bit vengono usati per codificare il valore assoluto (modulo) del numero

15 Rappresentazione dei numeri negativi Con 3 bit avremo: 000+0 001+1 010+2 011+3 100-0 101 110-2 111-3 Problemi: Il numero 0 ha due rappresentazioni Per loperazione di somma si deve tener conto dei segni degli addendi 0 0 1 0 + (+2) 1 0 1 1 =(-3) 1 1 0 1(-5 ERRATO)

16 Rappresentazione dei numeri negativi Complemento a due: Il bit più significativo rappresenta il segno del numero: 0 per i numeri positivi e 1 per i numeri negativi La rappresentazione di un numero positivo si ottiene codificando il valore assoluto del numero con i bit restanti La rappresentazione di un numero negativo si ottiene in tre passi: Si rappresenta in complemento a due il numeri positivo con lo stesso valore assoluto del numero negativo da codificare Si invertono tutti i bit in tale rappresentazione (0 1,1 0) Si somma uno al risultato ottenuto al passo precedente

17 Complemento a due Esempio (con 4 bit a disposizione): La codifica di +5 è 0101 La codifica del numero –5 avviene in tre passi: La rappresentazione in complemento a due di +5 è 0101 Invertendo tutti i bit si ottiene 1010 Sommando 1 si ottiene 1011, la rappresentazione in complemento a due di -5

18 Complemento a due Per ottenere un numero con segno data la sua rappresentazione in complemento a due: Se il primo bit è 0 il numero è positivo: per calcolarne il valore assoluto si esegue la conversione da binario a decimale Se il primo bit è 1 il numero è negativo: Si ignora il primo bit Si invertono i restanti bit Si converte il numero da binario a decimale Si somma uno al numero ottenuto per ottenere il valore assoluto del numero negativo

19 Complemento a due Esempio: 1011 Si esclude il primo bit Invertendo 011 si ottiene 100 che è codifica di 4 Va aggiunto 1 per ottenere il valore assoluto 5 Il risultato è quindi -5

20 Esercizio Esercizio: Rappresentare -35 10 in complemento a 2 00100011 2 = +35 10 11011100 + 1 = ------------ 11011101 Complemento a uno Soluzione: -35 10 = 11011101 2

21 Complemento a due Con 3 bit avremo: 000+0 001+1 010+2 011+3 100-4 101-3 110-2 111 Esempi di addizione: 0 0 1 0 + (+2) 1 0 1 1 =(-5) 1 1 0 1(-3) 0 1 1 1 + (+7) 1 0 1 1 =(-5) 0 0 1 0(+2) Nel secondo esempio, loverflow è ignorato

22 Codifica dei numeri Codificare il numero 132 10 nella corrispondente rappresentazione binaria Ordinare in modo crescente i seguente numeri: 104 10, 12 8, 100010000 2, 10011 10 Codificare il numero negativo –12 10 nella rappresentazione in complemento a due

23 Concludendo … « There are only 10 types of people in the world: those who understand binary and those who don't » « Ci sono solamente 10 tipi di persone nel mondo: chi comprende il sistema binario e chi no »


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