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1 Corso di Informatica (Programmazione) Lezione 1 (8 ottobre 2008) Sistemi numerici posizionali Codifica binaria degli interi senza segno Codifica binaria.

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1 1 Corso di Informatica (Programmazione) Lezione 1 (8 ottobre 2008) Sistemi numerici posizionali Codifica binaria degli interi senza segno Codifica binaria degli interi con segno in Modulo e Segno

2 2 Sistemi numerici posizionali Un sistema numerico si dice posizionale se le cifre (o simboli) usate per scrivere i numeri assumono un valore che dipende dalla posizione in cui si trovano. In un sistema numerico posizionale di base b, un numero N b è espresso come somma di potenze di b moltiplicate per un coefficiente intero: n è il numero di cifre di N b

3 3 Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico decimale (b=10) cifre usate {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N 10 = Si può scrivere anche: N 10 = 4 x x x x unità 5 decine 3 centinaia 1 migliaia

4 4 Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico decimale (b=10) indicando con C i la cifra in posizione i a partire da quella meno significativa (il 4) che ha posizione 0: N 10 = C 3 C 2 C 1 C 0 si può scrivere: N 10 = C 0 x C 1 x C 2 x C 3 x 10 3

5 5 Esempio: sistema numerico decimale (b=10) quindi si ha: per un numero in base decimale di n cifre si ha: Sistemi numerici posizionali

6 6 Lestensione della sommatoria precedente ad un numero di qualsivoglia cifre (n) in una generica base b è perciò immediata: Sistemi numerici posizionali

7 7 Un sistema numerico posizionale di base b utilizza le cifre da 0 a b-1 se b <= 10: esempio: b=2 {0, 1} 0 e 1 sono i cosiddetti bit b=8 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b=10 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Sistemi numerici posizionali

8 8 Un sistema numerico posizionale di base b utilizza le cifre da 0 a b-1 e simboli aggiuntivi se b > 10: esempio: b=16 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} A 10, B 11, C 12, D 13, E 14, F 15 Sistemi numerici posizionali

9 9 Esempio: sistema numerico ottale (b=8) N 8 = si può scrivere: N 8 = 4 x x x x 8 3 = Attenzione: numerale è la sequenza di cifre che rappresenta un numero. Quindi e sono due numeri diversi che hanno lo stesso numerale

10 10 Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico esadecimale (b=16) N 16 = 4F 16 si può scrivere: N 16 = F x x 16 1 = 15 x x 16 = 79 10

11 11 Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico binario (b=2) N 2 = si può scrivere: N 2 = 0 x x x x x 2 4 = = 26 10

12 12 Sistemi numerici posizionali Conversione da base 10 a base b dato un numero N 10 in base 10 si effettuano successive divisioni intere per b fino ad ottenere un risultato nullo. I resti, elencati a partire da quello ottenuto per lultima divisione effettuata, forniscono il numerale che rappresenta, in base b, il numero decimale dato.

13 13 Sistemi numerici posizionali Esempio: conversione da base 10 a base 2 N 10 = / 2 resto = 0 3 / 2 resto = 1 1 / 2 resto =

14 14 Codifica binaria degli interi senza segno Problema: quanti e quali interi senza segno si possono rappresentare con un numero prefissato n di bit? n bit Con n bit si possono avere 2 n disposizioni (con ripetizione) di 0 e 1 in n posizioni gli interi che si possono rappresentare sono quindi 2 n

15 15 Codifica binaria degli interi senza segno Lintervallo degli interi che si possono rappresentare in n bit va da n bit a 1 x x … + 1 x 2 n-1 = (2 n -1) n bit

16 16 Codifica binaria degli interi senza segno Esempio: per n=8 bit si possono rappresentare 256 interi che vanno da bit bit = 1 byte 1 KiloByte (kb) = 10 3 bytes 1 MegaByte (MB) = 10 6 bytes 1 GigaByte (GB) = 10 9 bytes a 255

17 17 1) = 0 con riporto 1 2) = 0 3) = 1 4) = 1 Regole della somma bit a bit

18 18 Codifica binaria degli interi senza segno Esempio: somma di due interi senza segno in 8 bit

19 19 Codifica binaria degli interi senza segno Esempio: somma di due interi senza segno in 8 bit Overflow 11 Il risultato è errato in quanto (= ) non è rappresentabile in 8 bit

20 20 Codifica binaria degli interi con segno Problema: rappresentare un intero con segno con un prefissato numero n di bit n bit Un intero con segno è un oggetto composto da: - segno - modulo Esempio: +5 ha segno + e modulo 5

21 21 Codifica binaria degli interi con segno Rappresentazione del segno n bit Il segno viene rappresentato dal bit più significativo (quello più a sinistra): - bit a 1 segno negativo - bit a 0 segno positivo

22 22 Codifica binaria degli interi con segno Rappresentazione del modulo n bit Il modulo viene rappresentato negli (n-1) restanti bit secondo tre possibili codifiche: - Modulo e Segno - Complemento a 1 - Complemento a 2

23 23 Codifica binaria degli interi con segno Codifica in Modulo e Segno n bit La sequenza dei bit del modulo è semplicemente quella che fornisce (come somma di potenze) il modulo dellintero da rappresentare.

24 24 Codifica binaria degli interi con segno Esempio: codifica in Modulo e Segno (n=8 bit)

25 25 Codifica binaria degli interi con segno Intervallo di rappresentazione della codifica in Modulo e Segno n bit Gli interi con segno rappresentabili in Modulo e Segno vanno da (-2 n-1 +1) a (2 n-1 -1). Ad esempio per n=8 bit lintervallo va da -127 a 127.

26 26 Codifica binaria degli interi con segno Vantaggio della codifica in Modulo e Segno - semplice rappresentazione Svantaggi della codifica in Modulo e Segno - difficile implementazione della somma (non si possono applicare le regole viste in precedenza) - doppia rappresentazione dello 0 (1|00…00 e 0|00…00)

27 27 Codifica binaria degli interi senza segno Esempio: somma di due interi in Modulo e Segno Errato!


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