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1 Sistemi di numerazione 26/11/2010. 2 posizionali Sistemi di numerazione posizionali: base La base del sistema di numerazione cifre Le cifre del sistema.

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1 1 Sistemi di numerazione 26/11/2010

2 2 posizionali Sistemi di numerazione posizionali: base La base del sistema di numerazione cifre Le cifre del sistema di numerazione posizione relativa Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio Esempio: Il sistema decimale (Base 10) Cifre : = 5· · · ·10 0 Posizione:

3 3 Sistemi in base B La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nellordine, 1,2,…,B 1; se B>10 occorre introdurre B 10 simboli in aggiunta alle cifre decimali N = c n B n +c n 1 B n c 2 B 2 +c 1 B 1 +c 0 B 0 frazionario Un numero frazionario N si rappresenta come (0,c 1 c 2 …c n ) B intero Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (c n c n 1 …c 2 c 1 c 0 ) B N = c 1 B 1 +c 2 B c n B n c n cifra più significativac 0 meno significativa c n è la cifra più significativa, c 0 la meno significativa

4 4 Numeri interi senza segno Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a B n 1 (B n numeri distinti) Esempio Esempio: base 10 2 cifre: da 0 a = … Esempio Esempio: base 2 2 cifre: da 0 a = = 100 valori 2 2 = 4 valori

5 5 Il sistema binario (B=2) La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione bitbinary digit Cifre: 0 1 bit (binary digit) Esempi Esempi: (101101) 2 = = = (45) 10 (0,0101) 2 = = 0 + 0, ,0625 = (0,3125) 10 (11,101) 2 = = , ,125 = (3,625) 10 Formapolinomia

6 6 byte Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario a 8 cifre) Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e = 255 È lelemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (16 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit)… Dal bit al byte b7b6b5b4b3b2b1b0b7b6b5b4b3b2b1b …………… = 256 valori distinti

7 7 Dal byte al kilobyte Potenze del 2 Cosa sono KB (Kilobyte), MB (Megabyte), GB (Gigabyte)? 2 4 = = = = 1024 (K=Kilo) 2 20 = (M=Mega) 2 30 = (G=Giga) 1 KB = 2 10 byte = 1024 byte 1 MB = 2 20 byte = byte 1 GB = 2 30 byte = byte 1 TB = 2 40 byte = byte (Terabyte)

8 8 Da decimale a binario Numeri interi intero Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è lultimo resto Esempio Esempio: convertire in binario (43) : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = resti bit più significativo (43) 10 = (101011) 2

9 9 Esempio: conversione decimale in binario numeri interi

10 10 frazionario Si moltiplica ripetutamente il numero frazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione Da decimale a binario Numeri razionali Esempio Esempio: convertire in binario (0,21875) 10 e (0,45) 10 0,45 2 = 0,9 0,90 2 = 1,8 0,80 2 = 1,6 0,60 2 = 1,2 0,20 2 = 0,4 etc. (0.45) 10 ( ) 2 0, = 0,4375 0, = 0,875 0,875 2 = 1,75 0,75 2 = 1,5 0,5 2 = 1,0 ( ) 10 = ( ) 2

11 11 Da binario a decimale forma polinomia Oltre allespansione esplicita in potenze del 2 forma polinomia… …si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit… si continua fino al bit meno significativo Esempio Esempio: convertire in decimale (101011) 2 bit più significativo (101011) 2 = = (43) 10 1 x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = = 43 (101011) 2 = (43) 10 Esercizio Si verifichino le seguenti corrispondenze: a)(110010) 2 =(50) 10 b)( ) 2 =(117) 10 c)(1111) 2 =(17) 10 d)(11011) 2 =(27) 10 e)(100001) 2 =(33) 10 f)( ) 2 =(910) 10Esercizio Si verifichino le seguenti corrispondenze: a)(110010) 2 =(50) 10 b)( ) 2 =(117) 10 c)(1111) 2 =(17) 10 d)(11011) 2 =(27) 10 e)(100001) 2 =(33) 10 f)( ) 2 =(910) 10

12 12 Addizione binaria Le regole per laddizione di due bit sono Lultima regola è… (1) 2 +(1) 2 = (10) 2 … (1+1=2) 10 !! = = = = 0 con riporto di 1 Esempio riporti

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15 15 La rappresentazione dei dati e laritmetica degli elaboratori

16 16 Numeri interi positivi I numeri interi positivi sono rappresentati allinterno dellelaboratore utilizzando un multiplo del byte (generalmente 4 byte) Se lintero si rappresenta con un numero di cifre minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più significative Esempio Esempio: 12 viene rappresentato in un byte come…

17 17 Numeri con segno Per rappresentare numeri con segno, occorre utilizzare un bit per definire il segno del numero Si possono usare tre tecniche di codifica Modulo e segno Complemento a 2 Complemento a 1

18 18 Modulo e segno Il bit più significativo rappresenta il segno: 0 per i numeri positivi, 1 per quelli negativi Esiste uno zero positivo (00…0) e uno zero negativo (10…0) Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi fra (2 n 1 1) e 2 n 1 1 Esempio Esempio : con 4 bit si rappresentano i numeri fra 7 ( (2 3 1)) e 7 (2 3 1) positivi negativi

19 19 Complemento a 2 Il complemento a 2 di un numero binario (N) 2 a n cifre è il numero Il complemento a 2 si calcola… Effettuando il complemento a 1 del numero di partenza (negazione di ogni cifra): si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0 Aggiungendo 1 al numero ottenuto Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti complemento a N N 1 2 n (N) 2 = 10……0 (N) 2 { n

20 20 Interi in complemento a 2 numeri positivi I numeri positivi sono rappresentati (come) in modulo e segno numeri negativi I numeri negativi sono rappresentati in complemento a 2 la cifra più significativa ha sempre valore 1 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n zeri) Il campo dei numeri rappresentabili è da 2 n 1 a 2 n 1 1 Esempio Esempio : numeri a 4 cifre Nota:

21 21 Sottrazione binaria 1 Le regole per la sottrazione di due bit sono La sottrazione può divenire complicata: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, loperazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo 0 0 = = = = 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra Esempio

22 22 Secondo le regole di fianco Es verifica: = = = = 8 infatti = 8 Sottrazione binaria = = 1 con prestito = = 0

23 23 Sottrazione binaria – 3 Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come ununica operazione N 1 N 2 = N 1 (2 n N 2 ) 2 n complemento a 2 di N 2 : rappresentazione di ( N 2 ) si trascura il bit n 1 Si calcola il complemento a 2 di N 2 Si somma N 1 con il complemento a 2 di N 2 Si trascura il bit più significativo del risultato Esempio Esempio : (010001) 2 (000101) 2 = (17) 10 (5) (12) 10 {

24 24 Sono utili perché loperazione di somma algebrica può essere realizzata non curandosi del bit di segno In complemento a 1 (più semplice da calcolare)… Zero ha due rappresentazioni: e La somma bit a bit funziona quasi sempre In complemento a 2… Zero ha una sola rappresentazione La somma bit a bit funziona sempre Rappresentazioni in complemento ( 6) = ( 5) ( 12) (6) = ( 10) ( 4)

25 25 Calcolare -(-( 7) + 10 in complemento a due su 5 bit. - 7 = = Il risultato vale = +3. Esempio

26 26 Calcolare (-7) - 4 in complemento a due su 5 bit. Si opera come se loperazione fosse (-7) + (-4). -7 = = Esempio

27 27 Overflow overflow Loverflow si ha quando il risultato di unoperazione non è rappresentabile correttamente con n bit Per evitare loverflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi Cè overflow se cè riporto al di fuori del bit di segno e non sul bit di segno, o se cè riporto sul bit di segno, ma non al di fuori Esempio Esempio : 5 bit [ 16, 15] Punteggio nei vecchi videogame… sorpresa per i campioni! = = 32768

28 28 Moltiplicazione binaria Le regole per la moltiplicazione di due bit sono Moltiplicare per 2 n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando 0 0 = = = = 1 Esempio x x = = 2 4

29 29 La divisione binaria di A per B viene calcolata in modo analogo alla divisione decimale, così da ottenere un quoziente Q ed un resto R, tali che A = B Q R La divisione binaria si compone di una serie di sottrazioni Dividere per 2 n equivale a scorrere il numero a destra di n posizioni; le cifre scartate costituiscono il resto Divisione binaria ( ^ ^^ 51:16 = 3 con resto = 11 con resto =

30 30 Cenni su Algebra di Boole

31 31 Algebra di Boole Abbiamo detto che un elaboratore opera confronti semplici. Introduciamo lalgebra booleana. Si deve a Boole (matematico inglese, XIX sec.) Si basa su 2 stati: – ON – acceso – OFF – spento Le variabili booleane possono assumere solo 2 valori: 0 e 1 Con le variabili booleane si costruiscono funzioni booleane che possono assumere solo 2 stati: TRUE e FALSE

32 32 TABELLE DI VERITA E OPERATORI Gli operatori logici che esprimono le relazioni tra le variabili sono: NOT, AND, OR, XOR Esistono poi NAND e NOR (operatori universali) che permettono di esprimere qualsiasi altra delle precedenti espressioni, utilizzando un solo tipo di operatori Ogni funzione booleana ha una sua tabella della verità

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