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Luglio 2002Algebra binaria1 Luglio 2002. Algebra binaria2 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEI SISTEMI DI ELABORAZIONE Nel calcolo manuale le grandezze numeriche.

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1 Luglio 2002Algebra binaria1 Luglio 2002

2 Algebra binaria2 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEI SISTEMI DI ELABORAZIONE Nel calcolo manuale le grandezze numeriche vengono rappresentate con simboli grafici per la rappresentazione delle varie cifre. Nel calcolo automatico esse saranno costituite da enti riconoscibili e riproducibili dalle apparecchiature impegnate (esempio le diverse tensioni in un circuito, presenza di diverse configurazioni di fori in aree preassegnate in una certa zona di una superficie di carta)

3 Luglio 2002Algebra binaria3 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEI SISTEMI DI ELABORAZIONE (Cont.1) Nei sistemi fisici utilizzati per la rappresentazione convenzionale di numeri, si impiegano dispositivi che possono trovarsi solo in 2 diverse configurazioni (per motivi di semplicità e sicurezza). Dobbiamo quindi definire un sistema di numerazione binario e unalgebra binaria.

4 Luglio 2002Algebra binaria4 I NUMERI NATURALI Sequenze delle 10 cifre (0,1…9) Indo - Arabici (furono introdotti in Europa dagli Arabi nel Medio Evo) In base 10 Posizionali (non addittivi)

5 Luglio 2002Algebra binaria5 NUMERI NATURALI (Cont.1) 1728 = 8 * * * * 10 3 In generale un numero naturale X D di m+1 cifre può essere rappresentato dalla sequenza X m X m-1 ……… X 1 X 0 Ed è dato dalla seguente formula m X d =x 0 * x 1 * ……+ x m-1 * 10 m-1 + x m * 10 m = x i * 10 i i =o

6 Luglio 2002Algebra binaria6 ESEMPI DI CONVERSIONE A BASE DECIMALE Nel sistema binario le cifre sono 0 e 1 (La numerazione binaria, già nota agli antichi cinesi, è stata oggetto di studi di Nepero [Aritmetica Locale] di F. Bacone e specialmente di Leibniz, che introdusse le notazioni tuttora in uso) = 1* * * * * *2 5 = = = Nel sistema ottale le cifre sono = 7* * *8 2 = = Nel sistema esadecimale (base 16) le cifre sono ABCDEF A4F 16 = 15* * *16 2 = =

7 Luglio 2002Algebra binaria7 Conversione da decimale a base diversa 169 : 2= 84 con resto di 1 84 : 2= 42 con resto di 0 42 : 2= 21 con resto di 0 21 : 2= 10 con resto di 1 10 : 2= 5 con resto di 0 5 : 2= 2 con resto di 1 2 : 2= 1 con resto di 0 1 : 2= 0 con resto di = Verifica: 1* * * *2 7 = = 169 Conversione da binario a ottale ed esadecimale = Corrisponde a A

8 Luglio 2002Algebra binaria8 I PRIMI 16 NUMERI IN BASE 10,2,8,16 SISTEMA DI NUMERAZIONE decimalebinarioottaleesadecimale A B C D E F

9 Luglio 2002Algebra binaria9 I NUMERI NEGATIVI Sign Magnitude Ones Complement Twos Complement 000 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -1 da – (2 m – 1 – 1) a (2 m - 1 – 1) da – (2 m - 1 ) a (2 m-1 –1) in base 2 con numeri di m cifre

10 Luglio 2002Algebra binaria10 Con 32 bits: = = = … = = = = = … = = = -1 10

11 Luglio 2002Algebra binaria11 CAMBIAMENTO DEL SEGNO -Fare il complemento a uno (cioè cambiare gli 1 in 0 e viceversa) -Sommare 1 nella posizione meno significativa Esempio: opposto di 4 10 cioè 0000…… …… …… ora verifichiamo calcolando nuovamente lopposto 0000…… ……

12 Luglio 2002Algebra binaria12 OPERAZIONI ARITMETICHE SU NUMERI BINARI addizione moltiplicazione , , ,1 x100011:101= ,01= 10,01= 10,01= ,00 101, , Le operazioni aritmetiche su numeri binari si eseguono con le usuali regole, tenendo presenti le seguenti tavole di addizione e di moltiplicazione:

13 Luglio 2002Algebra binaria13 CIRCUITI DI COMMUTAZIONE Le informazioni sulle quali il calcolatore è chiamato ad operare sono contenute in organi elementari che possono assumere soltanto due stati. x 1 Circuito di x 2 y=f (x 1,x 2,…,x n ) commutazione x n Il progetto di un calcolatore e la descrizione del suo funzionamento sarebbero compiti ardui, se si facesse costante riferimento alla costituzione fisica dei circuiti. Significativi vantaggi si possono ottenere dai diagrammi a blocchi.

14 Luglio 2002Algebra binaria14 LALGEBRA E I CIRCUITI DI COMMUTAZIONE Lapplicazione dellalgebra della logica alla schematizzazione di circuiti elettrici di commutazione operanti su segnali binari fu proposta per la prima volta da Shannon in un suo articolo del I circuiti sono allora schematizzabili per mezzo di formule o per mezzo di diagrammi logici. Se un dato circuito fisico adempiente date funzioni è realizzato in modo che i segnali in entrata ed in uscita soddisfano alle condizioni di variazioni discrete fra due soli valori, si potranno fare considerazioni sul comportamento del circuito stesso riferendosi solo al suo modello logico (algebrico e grafico) e prescindendo dalla realizzazione fisica effettiva.

15 Luglio 2002Algebra binaria15 LALGEBRA DI BOOLE PER LO STUDIO DEI CIRCUITI DI COMMUTAZIONE Per la schematizzazione dei circuiti di commutazione e per lalgebrizzazione delle dipendenze fra i segnali relativi si adopera la formulazione dellalgebra della logica, proposta da G. Boole nella sua opera del 1854: An investigation of the laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities Caratteristiche: -Semplicità -Identità con lalgebra usuale -Tutte e sole le operazioni definite da Boole sono applicabili alla schematizzazione dei circuiti di commutazione

16 Luglio 2002Algebra binaria16 DEFINIZIONI FONDAMENTALI DELLALGEBRA DI BOOLE Costante booleana: grandezza capace di possedere e conservare il suo valore (0 o 1); es. tubazione in flusso continuo o interrotto Variabile booleana: grandezza capace di assumere solo due valori (0 o 1); es. interruttore Prodotto logico di n variabili booleani A 1 … A n è la funzione X = A 1 * A x * …. A n AND assume il valore 1 se e solo se tutte le variabili valgono 1 Somma logica di A 1 … A n è la funzione X = A 1 + A x + …. A n OR assume il valore 0 se e solo se tutte le variabili valgono 0 Inversione della variabile booleana Y, la funzione X = Y NOT assume il valore 0 se Y vale 1, assume valore 1 se Y vale 0 Di conseguenzaX*X = 0X+X=1 Non equivalenza la funzione f(x,y): assume valore 1 se le variabili sono diverseOR ESCLUSIVO NOR = ORNAND = AND

17 Luglio 2002Algebra binaria17 SOMMA A 32 BITS NellUnità Aritmetica la somma viene eseguita bit per bit prelevandoli dai registri. Ad ogni bit corrisponde una circuiteria ad hoc Si procede da destra a sinistra prestando grande attenzione ai riporti: = = 6 10 = = … (0) (0) (1) (1) (0) (riporti) … … … (0)0 (0)0 (0)1 (1)1 (1)0 (0)1

18 Luglio 2002Algebra binaria18 Teoricamente la sottrazione si potrebbe ottenere con appositi circuiti che operano pure bit per bit. con il prestito = = 6 10 = = 1 10 In pratica si somma al minuendo lopposto del sottraendo = = = = 1 10 Il risultato può essere troppo grande rispetto ai 32 bit = = 2 10 = = Ci vorrebbero 33 bits!

19 Luglio 2002Algebra binaria19 A B CA AND NOT (B OR C)A OR (B AND (NOT C))

20 Luglio 2002Algebra binaria20 OPERATORI LOGICI (o porte logiche) Reti logiche: circuiti che realizzano una funzione logica

21 Luglio 2002Algebra binaria21

22 Luglio 2002Algebra binaria22 c = AND (B1,B2) R = OR (AND (NOT (B1), B2), AND (B1, NOT (B2)))


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